В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Уравнение теплопроводностиРассмотрим твердое тело, температура которого в точке (x,y,z) в моментвремени t определяется функцией u(x,y,z,t). Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла отболее нагретых частей к менее нагретым. Возьмём какую-нибудь поверхность Sвнутри тела и на ней малый элемент ∆S около точки M(x,y,z). В теории теплопроводности принимается, что количество тепла ∆Q, проходящего через элемент ∆S за время ∆t, пропорционально ∆t ∆S и нормальной производнойтемпературыu, т. е.nu,(1)Q  -t  Snгде  – коэффициент теплопроводности, а n – нормаль к элементу поверхности∆S в направлении уменьшения температуры.Обозначим через q величину теплового потока, то есть количество тепла,проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени.

Тогда(1) можно записать в виде:uq   .nДля вывода уравнения теплопроводности выделим внутри тела произвольный объём V, ограниченный поверхностью S, и рассмотрим изменение количества тепла в этом объёме за промежуток времени  t1 , t2  . Нетрудно видеть,что через поверхность S за промежуток времени  t1 , t2  , согласно формуле (1),входит количество тепла, равноеt2Q1    dt  t1SudS ,dnгде n – внутренняя нормаль к поверхности S.Рассмотрим элемент объёма ∆V. На изменение температуры этого объёмана ∆u за промежуток времени ∆t нужно затратить количество тепла16udt  c V ,tt1t2Q2  u  x, y, z, t2   u  x, y, z, t1   c V  где  – плотность вещества; с – теплоёмкость вещества.Таким образом, количество тепла, необходимое для изменения температуры объёма V на ∆u, равно:t2Q2   dt  ct1VudV .dtПредположим, что внутри рассматриваемого объёма имеются источникитепла.

Обозначим через F  x, y, z, t  плотность источников тепла (количествовыделяемого тепла в единицу времени в единице объёма). Тогда количествотепла, выделяемого в объёме V за промежуток времени  t1 , t2  , будет равно:t2Q3   dt  F  x, y, z, t  dV .t1VСоставим теперь уравнение теплового баланса для выделенного объёмаV. Очевидно, что Q2  Q1  Q3 , то есть22uudtcdVdtdSdt  F  x, y, z , t  dV .t tnVt1St1V1t2ttТак как V и промежуток времени  t1 , t2  произвольны, то для любой точкирассматриваемого тела и для любого момента времени t должно выполнятьсяравенство:u(2)c di   qradu   F  x, y, z, t  .tЕсли тело однородно, то c,  и  постоянны и уравнение (2) можно переписать в виде:2u 2u  2u 2 u a  2  2  2   f  x, y , z , t  ,tyz  xгде a 2 (3)– коэффициент температуропроводности,cа f  x, y , z , t  1F  x, y , z , t  .cВ частном случае, когда температура зависит только от координат x, y, t,что, например, имеет место при распространении тепла в очень тонкой однородной пластинке, уравнение (3) переходит в следующее:172u 2u 2 u a  2  2   f  x, y , t  .ty  xНаконец, для тела линейного размера, например для однородного стержня, уравнение теплопроводности принимает такой вид:2u2  ua f  x, t  .tx 2Граничное условие для уравнения (3) может быть задано различнымиспособами:1.

В каждой точке поверхности S задаётся температура(4а)u S   1  P, t  ,где  1  P, t  – известная функция точки P поверхности S и времени t  0 .2. На поверхности S задан тепловой потокu,q  nоткудаu  2  P, t  ,n S(4б)где  2  P, t  – известная функция.3. На поверхности тела происходит теплообмен с окружающей средой,температура которой uo известна. По закону Ньютона количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, пропорционально разности температур поверхности тела иокружающей среды:q  a  u  u0  ,где α – коэффициент теплообмена.

Это количество тепла должно быть равнотому количеству тепла, которое передаётся через единицу площади поверхности за единицу времени посредством теплопроводности.u,  u  u0   nгде n – внешняя нормаль к поверхности S; или, положив h  a  ,u h  u  uo  S  0 .(4в)nТаким образом, задача о распространении тепла в однородном твёрдомтеле ставится так: найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальномуусловию18u t 0    x, y, z и одному из граничных условий (4).§ 7.

Уравнение диффузииОсновным законом диффузии в неподвижной среде является законФика, согласно которому диффузионный поток пропорционален градиентуконцентрацииC,(1)q  Dnгде С – концентрация диффундирующего вещества, а q – диффузионный поток,то есть количество вещества, переносимое через единицу площади поверхностиза единицу времени. D называется коэффициентом диффузии.Диффузия в неподвижной среде может наблюдаться только в твёрдых телах, так как в жидкостях и газах на эти процессы накладывается движение газаили жидкости – свободная или вынужденная конвекция.Из формулы (1) видно, что закон диффузии Фика аналогичен законуФурье в теории теплопроводности.

Проведя те же рассуждения, что и при выводе уравнения теплопроводности, получим следующее уравнение диффузии внеподвижной среде:C(2) di  DqradC   F  x, y, z, t  ,tгде F – плотность источников вещества, то есть количества вещества, образующегося вследствие химических реакций в единице объёма за единицу времени.Если коэффициент диффузии D постоянен и F  0 , то уравнение (2) принимает вид:  2C  2C  2C C D 2  2  2  .tyz  x§ 8.

Распределение температуры в неограниченном стержнеНачнём изучение этой задачи с вычисления несобственного интеграла 2 2  ecos  d  .0Рассмотрим сначала частный случай, когда   0 :19 2 20   ed .0Возводя в квадрат, запишем: 2 20   e0 2 2d  e0 2  2  2d    ed d  .(1)0 0Для вычисления двойного интеграла перейдём к полярным координатам r ,  по формулам:  r cos ,   r sin  ,где 0   2и 0     .μоλРис.

4В полярных координатах интеграл (τ) будет иметь вид:2 2 202   d  dre0dr 02e 2r 2 2 20.4 2Таким образом,0 .2(1')Рассмотрим теперь общий случай 2 2       e0и20cos  d (2)0   0  .2Продифференцируем интеграл (2) по параметру β и, интегрируя далее почастям, получим:u  sin  2 2d  e  d  2 2      e  sin    d   du   cos  0 2 2 e 2 2 2 2 2 2esinecos  d  .02 22 2 0Так как двойная подстановка равна нулю, имеем дифференциальноеуравнение:        0 .2 2Разделяя в нём переменные и интегрируя, получим2n  2  c .4(3)Значение константы интегрирования с определим с помощью начальногоусловия (1')c n.2Подставляя это значение в (3), получим:2n  2  n42или, окончательно, 2 2  e0 4cos  d  e .222(4)Задача о распределении температуры в неограниченном однородномстержне описывается уравнением теплопроводности и начальным условием(задача Коши для уравнения теплопроводности)u 2u a2 2 ,t(5)u t 0  f    .(6)21Будем решать эту задачу с помощью прямого1F   2i tf  t  e dt(7)и обратного1f t  2 F   ei td(8)преобразований Фурье.1 ie и проинтегрируем по пе2Умножим обе части уравнения (5) наременной  от  до  :12u  , t  id 1 t e d  dt 2 u  , t  eid du ,t ,dtгде u – преобразование Фурье функции u .a212 2u ia 2  u i  2 e d  2    e ia2i  ue2 u i e d   i i i  ue d   a 2 2 u   , t  ,u 0 и функция ei ограничена.  так как lim u  lim Таким образом, для изображения ū получено обыкновенное дифференциальное уравнение:du a 2 2 u  0 .dt(9)Здесь1u ,t  2i u  , t  e d  ,при t  01u   ,0  2 u  , o  eid  f    ,(10)где f  λ  – преобразование Фурье функции f   .Проинтегрировав уравнение (9) при начальном условии (10), получим:u  , t   f    e22a 2  2tили1u ,t  2if   e e a  t d .2 2Применим теперь обратное преобразование Фурье:1u  x, t  21 u   , t  e d   2i x12 2 2i  x   a  ted d    f   d  ef   e i  x    a 2 2ted .Если преобразуем e   по формуле Эйлераi x e    cos   x     i sin   x    ,i x то получим сумму двух интегралов.

Один из них равен нулю как интеграл отнечётной функции по симметричному промежутку. Поэтому,u  x, t  10 f   d  cos   x    ea 2  2tdили, окончательно,u  x, t  12a  t f   e x  24 a 2td .(11)Интеграл (11) является решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Нетрудно проверить, что функция1  x, t    x  2e4 a 2t(12)2a  tтакже удовлетворяет уравнению теплопроводности. Выясним физическийсмысл этого решения. Для этого рассмотрим элемент однородного стержня x0  h, x0  h  . Если начальное распределение температуры в стержнеu t 0  e  X  x x0 h , x0  h u00x x0 h , x0  h ,то в произвольный момент времениu  x, t  x0  h12a  tu0e  x  24 a 2td .x0  hПусть в начальный момент времени элемент стержня получил количествотепла Q:Q = 2 hρcuo,где ρ – линейная плотность; с – теплоёмкость.23ТогдаQ1u  x, t   c 2a  txo  h1   x4a2ted ,2hxo  h2при h  0x hQ11 o  4ax2tu  x, t  limed . c 2a  t h0 2h xoh2Применим к этому интегралу теорему о среднем значении  x  2Q1u  x, t  e 4a t , c 2a  t2где    x0  h, x0  h илиu  x, t  Q  x0 , t  .cТо есть мы получили распределение температуры в стержне, если первоначальный разогрев был произведён в точке x  x0 .

Характеристики

Список файлов книги