Соловьев В.А., Лысенко Л.Н., Любинский В.Е. Управление космическими полетами. Часть 2 (2010) (1246993), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Число обусловленности — важнейшая характеристика матрицы и играет главенствующую роль в оценках воз зможного относительного изменения вектора решения системы и"ейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вследствие возму~ения элементов матриц или столбца правых частей.
107 Глава 14. Определение движения й:в по илмеренияи ТНП Пусть решается СЛАУ Сх=й, (14.13) и необходимо оценить, как изменится решение системы х. если изменить вектор й правых частей на малую величину Ы. Оказыва. ется справедливо следующее неравенство: бх/х < а сопб(С) Ьй/й. (14.14) Здесь а — некоторый коэффициент, зависящий от точности испощ„ зуемой машинной математики и порядка решаемой системы. При чем равенство (14.14) достигается хотя бы на одном векторе 64. Аналогичное соотношение справедливо для случая, когда матрица С возмущена на значение 6С: бх/х < 13 сопб(С)ЬС/й. (14.15) Таким образом, число обусловленности является множителем в этих оценках и показывает, во сколько раз может увеличиться относительная погрешность решения системы (14.13) из-за погрешностей вычисления элементов С и б, погрешностей решения системы и просто неточности представления чисел в разрядной сетке ЭВМ.
Разумеется, верхняя граница увеличения погрешностей достигается не при каждом решении, так как это зависит от ориентация вектора Бй в М-мерном пространстве столбцов матрицы С. Однако при решении конкретной системы фактические ошибки бй и ЬС неизвестны, и исследователь должен быть готов к наихудшему варианту.
Как показали исследования, реальные значения нормальных чисел обусловленности матрицы СНУ могут достигать уровня 10 ... 1О . В таких условиях даже малые ошибки в элемени и тах матрицы А и вектора Ьи могут привести к значительному искажению искомых поправок Ьпо. Следуя [13, !5], введем понятие обусловленности задачи ОПД КА. Задача ОПД хорошо обусловлена, если имеющаяся совокупность измерений й' обеспечивает устойчивое отыскание и"с тре буемой точностью, т.
е. матрица СНУ хорошо обусловлена, в про тивном случае задача ОПД плохо обусловлена. В алгоритме решения должны быть предусмотрены средства для обнаружения случаев плохой обусловленности задачи и методы, позволяющие даже прв этом получить приемлемый результат.
108 1д -". 1еетоом онредеяения норииетров движения разработанные методы решения плохо обусловленных задач кно разделить иа лве группы. К первой отнесем методы, осно„иые на качественном анатизе конкретной физической задачи и воляюпше априори оценить возможность решения на различных борках измерений. Ценность такого подхода заключается в том, „го ои позволяет предвидеть трудные для решения случаи и заранее ~дзожить варианты планирования сеансов измерений для надежного опрелеления параметров лвижения или сократить количество параметров.
поддежашзьх уточнению. Для практического решения задачи ОПЛ зтн рекоменлацни имеют ограниченную ценность, поскольлу, во-первых. онн выводятся с использованием разных упрощений, а во-вторых. часто исследователь лишен возможности влиять на выборку измерений и решает задачу по имеющимся сеансам ИТНП. Ко второй группе отнесем методы, основанные на усовершенствованиях вычисзппельной процедуры решения СНУ. Подобные методы позволяют повысить точность и устойчивость алгоритма ОПД.
К ним причисляют усовершенствованные методы обращения плохо обусловленных матриц. методы частичной регуляризадии ограничением элементов обратной матрицы, регуляризующне процессы типа Ньютона — Канторовича, стабилизирующий метод Девенберга — Мангуарла, методы использования априорной информации и др. Одним из наиболее перспективных методов решения плохо обусловленных задач ОПД считается метод сингулярного разло'жения матриц, обладающий рядом преимуществ по сравнению с остальными. В соответствии с ним любая вещественная матрица С т и н ранга е может быть представлена в виде С = ЦХЪ", 114.16) где г) — ортогональная матрица т х т; У вЂ” ортогональная матрица "" "' Š— псевдодиагональная матрица т я и вида о, О О ... О О пз О ... О О О ...
о, О О О ... О О и " чем п~ > аз > ... > ггг > Π— сингУлЯРные числа матРицы С. 109 Глава!4. Определение движения КА па изиеренияи ГНИ Ранг матрицы определяют путем анализа множества ее сингу. лярных чисел: (14.! 7) Если! этих чисел оказались нулевыми, то гап1с (С) = т — 1 = 1г.
(14.1$) Наличие погрешностей вычислений приводит к тому, что все о; из множества Я оказываются ненулевыми. Для отбраковки сип. гулярных чисел вводится некоторая величина т, характеризующая относительную точность вычислений на конкретной ЭВМ, и все о; < т. Число обусловленности матрицы С может быть определено с помощью сингулярных чисел по формуле сопд(С) = о /о,„, (14.19) где о „, о,„— максимальное и минимальное сингулярные числа соответственно.
Таким образом, сингулярное разложение матриц дает возможность получить объективную информацию о степени обусловленности решаемой задачи ОПД, что позволяет предусмотреть в специализированных пакетах программ обработки данных соответствующую реакцию для критических случаев (предупреждение оператору, прерывание решения или изменение состава уточняемых параметров). Ранг и число обусловленности СНУ должны выдаваться оператору вместе с другой информацией, помогающей оценить качество решения. Достижению высокой точности ОПД могут препятствовать аномальные и систематические погрешности измерений. Аномальные погрешности могут существенно исказить конечный результат обработки, поэтому все применяемые на практике методы ОПД КА включают ту или иную процедуру выявления недоброкачественных измерений. Как правило, такие измерения из выборки на каждой итерации исключаются, хотя существуют алгоритмы, в которых недоброкачественным измерениям присваивается существенно заниженный вес.
14...'1твнеды оередеяения пирометров движения маибозее простыми и распространенными являются процедуры. ы а которых испояьзузот некоторые эвристические соображения. -1- „ие процедуры моязю разделить на две группы по исходным .дпосылкам. принимаемым относительно погрешностей измерений.
При разработке процедур первой группы множеспю всех изме,ной 'и считается одной выборкой из некоторой гипотетической вокупности ИТНП. Путем оценки внутренней согласованности результатов измерений решается задача отбраковки аномальных измерении. Лдя этого рассчитывается последовательность допустимых отклонений реальных значений й от их расчетных аналогов й1о) на каждой итерации. В процедурявг второй группы предполагается, что сеансы измерений являются выборками. характеризующимися своими погрешностями. Для исключения аномальных погрешностей измерений решают дпе задачи: — выявление сеансов.
содержащих большие погрешности; — искпочение аномальных результатов измерений внутри каждого сеанса. Несмотря на сравнительную простоту, эти процедуры, как правило, существенно зависят от специфики конкретной задачи и ее особенностей (условий наблюдения КА, влияния тех или иных погрешностей модели движения, особенностей работы измерительных средств). Весьма проблематичными при этом являются вопросы нахождения значений конечных допусков, учета влияния на отклонение измерений отдельных погрешностей в начальных условиях и лр.
В последнее время заметно возрос интерес к разработке более строгих и обоснованных способов борьбы с аномальными измере"иями на основе использования достижений теории робастного о"спивания, дискримннантного анализа, распознавания образов. Близкие проблемы приходится решать при разработке способов снижения влияния систематических погрешностей на точность ОПД. Полное исключение этого влияния для МНК происходит при точ"ом учете корреляции между погрешностями измерений. Од"'ко уровень знания значений фактической корреляции обычно "Райне низок.
В практике ОПД КА используют алгоритмы, представляющие Р" основных направления развития способов снижения влияния 111 Тлава!4. Онредеяение движения КА на измеренияи ТИП систематических погрешностей измерений, разработанные в рам. ках МНК: !) обнаружение и исключение из обработки групп измерений содержащих систематические погрешности, путем выбора допус. тимых отклонений измеренных параметров от их расчетных знв чений; 2) выбор веса измерений на основе оценки значений система. тических погрешностей группы измерений; 3) включение характеристик систематических погрешностей измерений в число оцениваемых параметров ц.
Применение перечисленных способов позволяет в ряде случаев заметно повысить точность ОПД. 14.8. ПОВЫШЕНИЕ ОПЕРАТИВНОСТИ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕКУЩИХ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ Наряду с точностью важным показателем качества решения задач обработки ИТНП является оперативность получения результатов, под которой обычно понимают интервал времени, необходимый для вычисления оценок параметров движения КА после поступления в центр обработки последнего измерения. Поскольку практически все методы расчета параметров движения основаны на использовании итерационных процедур, оперативность определяется как временем выполнения каждой итерации„так и скоростью сходимости процесса последовательных приближений (рис. 14.5).
К уменьшению количества итераций обычно приводит привлечение априорной информации об оцениваемых параметрах и ограничение диапазона их возможного изменения. При усложнении модельных зависимостей число необходимых итераций также мо. жет сокращаться, хотя увеличение объема вычислений на каждой итерации не всегда позволяет достигнуть повышения оперативно. сти расчетов. Приведем частный пример повышения точности прогнозирова ния движения КА за счет усложнения учета возмущений в правмх частях СДУ, а следовательно, роста затрат машинного времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
