Соловьев В.А., Лысенко Л.Н., Любинский В.Е. Управление космическими полетами. Часть 2 (2010) (1246993), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При наличии начальных условий возможно решение системы уравнений невозмущенного движения, т. е. нахождение шести нн тегралов, в которых в качестве постоянных фигурируют перечне ленные кеплеровы элементы. Однако применительно к возмущенному движению даже при малых возмущениях решение системы з функции кеплеровых элементов невозможно. 78 Соотношения (13.42) и (13.43) определяют координаты и составляющие скорости КА а инерциальной СК в зависимости от истинной аномалии 9 и пяти постоянных: й, 1, го, р, е. Шестая постожная т — время прохождения КА через перицентр — входит в уравнение связи 9 со временем: э'э -'.
этеээектэ от инерцииоьной СК к еигтене оекзьэируюиэш элементов В эход из такого положения указал Лагранж. Им была предло- ,кена н идея искать решение системы уравнений возмущенного двикени . „„я. используя формулы невозмущенного движения в предположе женин. что кеплеровы элементы 2, Й, оэ, е, р, т являются функ- „„и времени. Итак, согласно методу Лагранжа, возмущенное и неко озмушенное движения определяют одними и теми же соотнон,1ями, разница состоит в том, что в невозмущенном движении „ементы э, Й, оэ, е, р (или а) постоянны, а в возмущенном зависят т времени. '(аким образом, единственной траектории возмущенного движения соответствует бесконечное множество невозмущенных траеь арий.
обладающих тем свойством, что они имеют одну общую огибщошую траекторию возмущенного движения. Это семейство носит название оскулирующих орбит, описываемых с использованием переменных оскулирующих элементов: г' = 2(г), Й = Й(г), ... При вычислениях на ЭВМ, как известно, часто применяют формальный подход к преобразованию непрерывных моделей к дискретным путем замены производной первой разностью, отнесенной к конкретному такту вычислений.
В данном случае вычисленное приращение функции позволяет определить искомое значение функции на следующем шаге счета по схеме ХЫ~ =Хт +Ать. В этой связи могут оказаться весьма полезными, хотя и не совсем строгие, но приемлемые на практике конечные зависимости '(к). Й(й), ..., используемые для перехода от известных строго вычисленных относительно геоцентрической инерциальной СК значений инерциальных парамегрош скорости ~» = текушего значения радиуса-вектора эз = 180 широты (р» = агсгй 12 ( ~2 аготы Хк = агс28 — — Йзгь —, а также значений тРаек- ~Х2~ ~ Л торного го бэ и курсового ак углов: Глава 13. Выбор раииона»нных сснрлтпр моделирования двинсения х»1'х~ + г»$Ъ» + х~РЪ~ ',1 180 гйп Г х »» 1'» х О» = агса(п с Сз»»ь с, „(Д„~,,~ 1 180 е» вЂ” — агссоа (с„1 1»» = — а»с»8( — )+Х» — л; (,Сз,) (13.45) для угла наклонения орбиты 1» =агсяп (Сг») +(С2») (13.46) для большой полуоси эллиптической орбиты (13.47) для эксцентриситета (13.48) для аргумента широты г» С» и» =агсяп (13,49) в,~~с„~' (с„)' 80 Соответствующие формулы перехода от ннерциальных пара.
метров к оскулирующим элементам будут иметь следующий вид: для долготы восходящего узла - В 2нфференьавьььние уравнения д'аиження в неоеобенньи неременньье чя аргумента пернгея 2(Р,)'в1пЕ, Е„ 12 ее 04 = иь — аГСЯП (13.59) В включение приведел» представляющее в ряде случаев интерес ра2кение для определения значения текущей высоты орбиты над „нервностью Земли, аппроксимируемой эллипсоидом вращения, (гг а)' — (а2-б2)[(хг)'+(уг)'~ где а и Ь вЂ” большая н малая полуоси эллипса соответственно. 13.6.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В НЕОСОБЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Ыа 2 ( . а~21 — = — 1 5ев1п Э+ Т вЂ” ~; й й~~ г 2 41е ч ~ ( есов9 — = — ~ЯяпЭ+Т~ +совЭ 422 йа~ 1+ есовЭ й 1 г — — 1г' — сови; Й Щ а 1 г — — И' — япи; 412 йаТ,яп! а ь1го (2+ есовЭ ) . 1, 4144 = — ~-Ясов Э+ Т1 ~ в1п 9) — сов1 —; ( 1+есовЭ ) ) й ~~и ~а~~ ( г' совг . — !! — В' —,япи); 422 г2 1 — 2 4~2 (13,52) 81 Другой представляющей существенный интерес формой записи СДУ является, как отмечалось, ММД в форме Эйлера для кеплеровых элементов орбиты.
Следуя [3 Ц, представим ее в виде Глава 13. Выбор роционитьныт стрэвоиурзводегирования двимсенив 1/(1+соаЭ) =г (а„"з). где 5, 'Г, 1г' — проекции суммарного вектора возмушаюшего уско. ремня на осн орбитальной системы координат (радиус-вектор, перпендикуляр к радиусу-велтору в плоскости орбиты и перпен ьз дикуляр к плоскости орбиты соответственно); ~ =(1 — е-)'; из ~гз аргумент широты; й=(р('аз) — среднее движение; г — радиус- вектор; а, е, (, й, а, Э вЂ” кеплеровы элементы орбиты. Четвертое и шестое уравнения системы (13.52) содержат в правых частях делитель яш, а пятое — делитель е. Поэтому, если орбита близка к круговой или ее наклонение близко к нулю, СДУ (13.52) вырождается и не дает правильного решения.
В правых частях уравнений фигурируют тригонометрические функции угловых переменных: истинной аномалии, аргумента широты и наклонения. Наличие этих функций усложняет алгоритм счета правых частей. Систему (13.52) будем использовать в качестве исходной при выводе правых частей дифференциальных уравнений в неособенных переменных [13]. Первоначально введем неособенные переменные Хо = а; Х~ = есов(в+ й); Х = еяп(в+ й); (13.53) Хз =яп — соей; Хв =яп — япй; Хз = Э+а+й. 2 ' 2 Продифференцируем неособенные переменные по времени: ((~о Ыа ((( й ' в(Х~ в(е в(а . вИ вЂ” = — сов(а + й) — еяп(а+ й) — еяп(а+ й); й ((( Й М Н.з 4е .
в(а в(й — = — яп(а+ й) — е сов(а+ й) — есов(а+ й); ((( й ((( (('( (13,54) (()ц 1 в(( ( (('й . — = — — сов — созй — — яп — япй; ((( 2 Ы( 2 ((( 2 Н.4 1 ((( (, Нй, ( — = — сов — яп й- — яп — сов й; в(( 2 М 2 в(( 2 в(Хз в(и сИ ((( й ~1( ' 82 ! ° Е .тисЯ~еренчиа»нные Чюенени» дни»сени» и неосибенны» нереиенны» Подставим в уравнения (13.54) выражения нз (13.52) для произс, После ряда алгебраических преобразований [13) получим зопбто переходную систему дифференциальных уравнений: =.11/Ре)!Х»зшаз+ ТР5«Л1 +(2+ ез)соаЛ5 1) — ееР4Р5 Лз/Рбс; е8 = =(1,"Рь)1 — 5.",соя Л5 + ТР5 ! Лз + «2+ »1)ягп Лз]) + ИР»Р5 Л1 ~Рас; сй — = ИT (соаЛ5 — РзЛз)/2Рьс; ИЛ» ся — = 671 (51п е 5 — Р1 Л»~~2Рее; ееЛ» й = п«!РАЙ ~)+ !1Р5Ре~Рьс — Рзу . (Р5СС), (! 3.55) 4 =Лй сояЛ5 +е тяп) 5, гэ = Лз сояЛ5+ Лев!ПЛ5,' Рз =ф!+ е!); Р иЛ15юЛ5+АзсоаЛ5,' Ре=Лз51пЛ5+ЛесояЛ5,.
Рь —— йЛо., (! Л~ Л1) ' с=(1 Ц Ле) у=пРесгР5 +ИР4~. Достоинство полученной переходной СДУ состоит в том, что ее и правые части содержат тригонометрические функции только одного ого аргумента Л, и не имеют особенностей при нулевом наклонении "и плоскости орбиты и нулевом значении эксцентрнситета. Реобразуем СДУ к новой независимой переменной Ль При а систем и преобразовании достигается эффект регуляризации «13,! 51, ема уравнений будет одинаково устойчива по Ляпунову для "русевых н эллиптических орбит. После преобразования к новой " 'ависим"мой переменной СДУ запишется в следующем виде: 83 Глава 13. Выбор раииональныл стрЭванур моде5ирования движение — =(5с~ 51пХ5/г) +Т~ с л1 +(2 + г))со545) — И 4 язР4~~»; 4~2 5 — = ( — Яс~ созХ5~ 45+ Тчс~Хз +12+ л))мп1с14%Тл)чрл~~»; 4~2 5 — = (ИТ(соз Х5 — ))~5 ))/2 б 405 4~)~5 — = ()г Я51пХ5 — Ю4))/27; 4~)~5 й — = Р4~С! Р5 у, 412 5 (13.56) РБС где у = й — + И'~Р4.
рз Система дифференциальных уравнений в неособенных переменных может быть использована для расчета орбит с любым е < 1 и произвольным углом 1. Проведенное преобразование к новой независимой переменной А5 эквивалентно по влиянию регуляризнрующему временному преобразованию 41г =г 4415. В силу этого 113.56) обладает всеми достоинствами систем, использующих регуляризирующие преобразования. Другое важное достоинство СДУ (13,56) состоит в том, что в ее правую часть входят ускоре ния, создаваемые притяжением центрального тела.
Поэтому пра вые части СДУ можно рассчитывать с меньшим числом значащих цифр, чем правые части СДУ в геоцентрической СК (кинематиче свих переменных). 13.7. КОНЦЕПЦИЯ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛИНОМНОЙ СРЕДив Идея использования так называемой полиномной среды 1ПС) в комплексах программ БНО разного целевого назначения доказаав свою состоятельность и эффективность 113). Под полиномно» 84 ЕЗ., Егонцвнчын настроенно нолиномной среды Правый полипом Левый полипом Ев Ем рис гзда. Разделение полиномов отиосительио узловой точки Для коэффициентов а,о, а,о, а,о выполняются соотношения овне )л(ЕВ)1 аго = в'г(гв) а о = г"(Ев).
(13.57) 85 дой (таблицазпе полиномов) обычно понимают совокупность „ ний величин интерполяции параметров движения, соотнезиачен чых с определенными интервалами времени, записанных в той сеи и иной форме и сведенных в специальные таблицы. В зависимоили и т типа выоранного интерполяционного процесса (Лагранжа, дцжа-Эткена, степенного) в таблицы могут быть сведены лип~которые коэффициенты интерполяции, либо непосредственно читанные тем или иным способом значения параметров дви.енпя КЛ.
Способ построения ПС зависит от различных факторов: используемой ММД (системы переменных, вида СДУ, метода интегрирования), требований точности и оперативности расчета параметров движения, имеющихся вычислительных ресурсов и др. Последовательность решения задачи расчета таблицы степенных полиномов 8-го порядка в технологическом цикле БНО может быль представлена в следующем виде [131. 1. Вычисляют кннематнческие параметры движения Г,' 'гу', 1", в точках аппРоксимации ео, еь ..., ем и паРаметРы 1',(ев), 1'(ев), )е(ев), х(ев), у(ев), к(ев) в узловой точке ев путем интегрирования СДУ движения КА.
2. По истинным значениям Г,' Р,', Р,' в точках аппроксимации (ее = 1, 2,..., 15) и параметров Г„Р;,, 1'„х, у, з в узловой для обоих полиномов в точке Ев Рассчитывают коэффиЦиенты интеРполЯЦи- ОННЫХ ПОЛИНОМОВ ан, а,м ан (Е' = О, 1, ..., 7), НаХОдящИХСя СЛЕВа От ~очки ев (рис. 13. 10). Глава!3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
