Соловьев В.А., Лысенко Л.Н., Любинский В.Е. Управление космическими полетами. Часть 2 (2010) (1246993), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Выоор ачионагьныг структур моделирования двннсення по которьгм вычисляют производные; использование разлнчньхк методов вычислений частных производных (методы конечных раз. ностей, анюнтнческие, специальные и комбинированные); сцо.
собность установления набора включаемых пользователем в спи ски дифференцируемых величин и аргументов, обеспечивающих решение всех задач, возлагаемых на комплекс (набор должен быть легко дополняемым путем введения новых признаков параметров и включения в библиотеку кол~плекса соответствующих блоков вычисления частных производных) посредством организации вы.
числений матриц частных производных. Как показали выполненные исследования 115), указанным тре. бованиям в значительной степени удовлетворяют системы диффе. ренцнальных уравнений движения КА в неособенных перемениык или ММД, разрабатываемые на их основе. Однако рассмотрение типовых структур ММД мы начнем с их классического представления в качестве дифференциальных уравнений движения КА в поле тяготения центрального тела под действием сил, определяемых потенциальной функцией П„и совокупности сил Р, не обладающих потенциалом.
13.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХАППАРАТОВ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ Движение бесконечно малой массы в поле тяготения притяги. вающего тела с массой М типа (13.!) может быть представлено в виде — х(г)=- — '+Р, е(~з дП, (13.6) в(гз бх где х(г) = (х(г), у(г), г(г)~ — вектор-столбец, характеризующий по ложение КА в инерциальной системе координат; П, — потенциал силы несферического гравитационного поля тяготения Земли; ивсе остальные силы, включая влияние Луны и Солнца, положение которых задается либо таблично, либо в виде рядов, полученньФ вне задачи о движении ИСЗ. При движении КА по низким орбитам ему присущи опреде ленные соотношения внешних воздействий, испытываемых в по лете (влияния притяжения Луны, Солнца и давления солнечного света на низких орбитах уступают влиянию атмосферы). 62 х З Е 3 равнении двиисенин КА в нряхюугольньа координатах 4 дП, . 4 .
— =- — '+Ее, у= —; и~а ~' ' '=ж (13.7) хй дП, . й. — =- — '+рх, 2т —. е1г дх й . ( дП, дП, Члены правых частей первых трех уравнений ~- — ', — — ', дх ' ду ' — представляют собой проекции ускорений на оси инер- гП,') дх циальной системы координат, обусловленные силой тяготения Земли.
Члены Е„, гу, г", — проекции ускорения торможения от силы лобового сопротивления атмосферы, действующей на КА. Поскольку низкоорбитальные ИСЗ движутся на высотах Ь = = 200...1000 км, основными источниками возмущений на таких расстояниях от Земли являются несферичность планеты и сопротивление атмосферы. Превалирует несферичность Земли. Сопротивление атмосферы существенно до высоты 500„.600 км и оказывает влияние на движение на высотах до 1500 км. Хотя возмущения, обусловленные несферичностью Земли, значительно больше возмущений из-за сопротивления атмосферы„они не «разрушакзтх> орбиту спутника, а только деформируют и поворачивают ее в просгранстве.
Торможение же в атмосфере даже на больших выти, оп сотах (1000...1500 км) изменяет форму орбиты спутника и, по су' определяет продолжительность его существования. тичес настоящее время разработано большое количество матемаРанич ескнх моделей потенциального поля тяготения Земли, Мы ог"имся рассмотрением частной формы моделей, представляечерез сферические шаровые функции, которые выражаются "Рисоединенные функции Лежандра, точнее, нормирован- Л козффициенты и присоединенные ассоциативные функции ежандра: 63 Порей,зя к проекциям на оси инерциальной системы координат 1С . СК).
связанной с 3 ей, имеем оЫ дП, . х1х, — =- — '+Г"„, Ххк —; й дх хй Глава /3. Выбор рационасьмьсс етоуктур мос!е исровакив доим.вист з л г тл П, = — 1+ ) ~( — ) Р„„(япср, «х л== т=а (13.8) где /М =(3986004,418+0,008)-10а- геоцентрическая гравнтацион. ная постоянная Земли, м'/с', и — большая полуось зллмпсоила Землсс г — модуль радиуса-вектора в связанной СК; С, . 5„— нормнра. ванные безразмерные числовые козффициенты; ср — геоцентриче.
окая широта„Х вЂ” геоцентрическая долгота; Р„(я!и ср, ) — нормированная присоединенная функция Лежандра порядка и степени т. Нормированная присоединенная функция Лежандра вычисляется по следующей формуле: Р„(япср,„) = Р (з!пср„,), (13.9) — (и- т)!(2и+ 1)/с ~1, т=О; где/с = ~ Р„(япср,„) — присоединенная функция Ле- ~2, т,-сО; жандра, Р„(япср, )=(1 — яп ср, )з ( Рл(япср, )]. (13.10) с/(з!псрел) Здесь Р„(япср ) — полиномы Лежандра, Рл (Бспсргн) = (яп срсв 1) 2" и! с/(япср,„)" =,Г( — 1) ' яп' з'ср .
(13.11) (2и — 2г) ! 2" г!(и- г)!(и- 2г)! ™ б4 ~3 В уравнении движения КА в нряиоугоньнык координатае Стелует отметить, что функция потенциала поля тяготения Земли т еоретнчески верна для точек у > а. Также ее можно испол ьзо вать вблизи поверхности Земли с небольшими ошибками, я точек, находящихся ниже поверхностного уровня, она не но для рименима. Нормированные коэффициенты определяют следующим об- разом ! С, (о+ т)! ~С„ 5„(и — е)! (2и+1)я 15„ 113.12) 65 где С„„.
5, — гравитационные коэффициенты, определяемые мо- делью потенциального поля тяготения Земли. При использовании модели %0584 ГПЗ число слагаемых сте- пенного разложения в 113.8) обычно рекомендуется ограничивать значениями и = т = 36. Это связано с тем, что уровень точности коэффициентов С„и 5„при и > 36 в этой модели не приводит при их учете к повышению точности моделирования силовой функции ГПЗ.
При расчете траекторий движения РН КА, а также пРи проектных баллистических исследованиях орбит ИСЗ подоб- ная точность оказывается более чем достаточной. При учете влия- ния потенциального поля Земли на движение КА потребуется вы- числять частные производные потенциала по базисным направле- ниям СК, в которой ведется интегрирование системы уравнений, описывающих их движение. СК П~с~ольку дифференцирование по координатам инерциальной затруднительно, часто используется прием, связанный с вве- дением ием потенциальной СК, оси которой образуют направления, соотв вегствующие увеличению угла широты, угла долготы и Умен ьше млению радиуса-вектора в данной точке пространства свя- занной СК "Ражения, Увснения физического смысла принятого к рассмотрению ~уд~м ния, описывающего потенциал поля тяготения Земли, обсгрукгуру Разложения данного потенциала.
осе член 1 Зон 'лены Разложения можно разделить на три группы. чл ' альные гармоники (рис. 13.1). Пустын = О, тогда имеем сны внд 13 Я 1роннения Оиииеения КА е нряиоугояьных координонигк ", г'екторальные гармоники (рис. 13.3). Пусть, наконец, т = л. -, гда имеем сдедуюшие члены; Тогд Л~1 а~ и — — Р„(! р )с„„ г (! 3.16) Л~ ~ а — Рнн (5!П Ц>ги) 5,щ 51П Л).,и, г хг — -) (13.! 7) г7" Р„(яп 1Р) = соп51. еЕ(Яп 1Р)" (13.18) — Рни (яп 1р)(Снн созтХ -ь они яп те.). (13.19) )г 1 а) г Тогда ч ВЕК1О а да частная производная от потенциала по модулю радиусаРа будет иметь следуюший вид: 67 В этом случае, поскольку порядок дифференцирования и порядок полинома совпадают. определяюшие члены обрашаются в нуль только на меридианах, когда со5 и).
= = О или 51п пл = О. Итак. можно сделать вывод, что первый член слагаемого П, представляет собой потенциал шара со сферическим распределением плотности, а все остальные члены характеризуют отличие Земли от Рис. 13.3. Положительтела сферической формы. ные и отрицательные второе слагаемое определяет зональ- значения секторальных иую гармонику, характеризуюшую по гармоник (гн = 10) 'тарное сжатие Земли.
Тессеральные и сехторальные гармоники будут характеризовать отклонение фор"ы Земли от формы динамически симметричного тела относительно оси врашения. Зональные гармоники, для которых и иечет- и тессеральные гармоники, для которых нечетна разность ~~н1). определяют асимметрию Земли относительно экватора. 4ля улобства введем обозначение Глава!3.
Выбор раииона|ьныл структур моденяеованин движения — '=-, ~1+,')" ~1'„)+ —.,'~ ~' ", (1З.гй) дЛт М( ', 1 Ж' ' дР'„ а частная производная от 1'„— — =:"а, Р„(з(п~р)(С„созтХ+Х з(птХ). (1З.21) г г""' дП,,/М ( в )1+~)~~, 1; )+ ° — 2,~( "„Р ы р1с ~+я,„в а1) (1Ззн птз н=аь Данная форма удобна для программной реализации, если функции д)„„ 1'„и "" представить в виде матриц (М вЂ” 2) н Ж Нормированная дг присоединенная функция Лежандра реализована, например, в пакете Ма21аЬ. Таким образом, расчет производной становится чисгв технической процедурой.
Соответственно частная производная по направлению увели. чения угла Л выразится следующим образом: ( н и 1 и л У"~ 1+ ~ ~ у„. 1= Л~ ~ ~ д"-. (1з.гз) С учетом того, что дР„„д~'„дХ д1'„1 д(гХ) дХ д(гХ) дХ г (1з.г4) В итоге выражение частной производной для потенциала по моду- лю радиуса-вектора получим в виде Д,4. 11нввнения двияеения КА в нряноугольньп координатак З1 СЕи| с(гР) д(гл)~ г 1-, з с 1) г н з сд(гХ) Общн11 вид производной таков; е /, и тЦ рнн(З1П1р)( Сена!нтХ+ЯннепатХ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
