Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Так, при реализации полета по программе«Союз–Аполлон» на обоих кораблях использовались андрогинные периферийныестыковочные устройства. Андрогинным называют такое стыковочное устройство,которое может быть как активным, так и пассивным, т. е. стыковка, включая захвати стягивание кораблей, может полностью осуществляться любым из них. Применяемые на космических кораблях «Союз» и «Аполлон» стыковочные устройствадопускают начальную несоосность до 30 ÷ 40 см, угол перекоса в несколькоградусов, скорость сближения до 0.5 м/с и гасят относительные перемещенияв любых направлениях [4.20].4.4.2. Оптимальные режимы управления сближением.
Уравнения движенияКА на участке ближнего наведения удобно рассматривать в орбитальной прямоугольной системе координат Tx1 x3 x5 , начало которой совпадает с целью, осьTx3 направлена по продолжению радиуса-вектора r цели, ось Tx1 — в плоскостиорбиты цели противоположно направлению движения, а ось Tx5 дополняет системукоординат до правой (рис. 4.20). Спроектируем векторное уравнение, описывающееотносительное движение КА в орбитальной системе координат, на ее оси. Предварительно найдем составляющие всех слагаемых в системе координат Tx1 x3 x5 . Для.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»188Глава 4.
Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРис. 4.20. Орбитальная система координатускорения под действием силы тяги имеемPWexh β̃Wexh β̃Wexh β̃=α1 ,α2 ,α3 ,mx7x7x7где Wexh — скорость истечения реактивной струи, β̃ — величина секундного расходамассы топлива,tβ̃ (t) dtx7 = x70 −(4.4.2)0— текущая масса КА, x70 — начальная масса, α1 , α2 , α3 — направляющие косинусывектора тяги. e , кориолисова W C и гравитационного gЗапишем составляющие переносного Wускорений: e = −ϑ̈x3 − ϑ̇2 x1 , − μ + ϑ̈x1 − ϑ̇2 x3 , 0 ,W2r C = −2ϑ̇x4 , 2ϑ̇x2 , 0 ,Wμx1μ (r + x3 )μx5g = − 3 , −,, − 33rSCrSCrSCгдеϑ̇ =√μp,r2ϑ̈ = −2μesin ϑ,r3r=p;1 + e cos ϑ.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.4. Задача встречи189p, e, ϑ — параметр, эксцентриситет и истинная аномалия эллиптической орбитыцели;2rSC = x21 + (r + x3 ) + x25— текущий радиус КА; x2 , x4 , x6 — составляющие относительной скорости КА;точками обозначены производные по времени.С учетом введенных обозначений получим следующие уравнения движения:ẋ1 = x2 ,ẋ2 = ϑ̈x3 + ϑ̇2 x1 + 2ϑ̇x4 −μx1Wexh β̃+α1 ,3x7rSCẋ3 = x4 ,ẋ4 =μμ (r + x3 ) Wexh β̃− ϑ̈x1 + ϑ̇2 x3 − 2ϑ̇x2 −+α2 ,3r2x7rSC(4.4.3)ẋ5 = x6 ,ẋ6 = −μx5Wexh β̃+α3 .3x7rSCПредполагается, что тяга может регулироваться в диапазонеPmin ≤ P ≤ Pmax(4.4.4)за счет секундного расхода массы β̃ при постоянной скорости истечения Wexh .Известны начальные условияxi (0) = xi0 (i = 1, .
. . , 7)(4.4.5)и конечные условия «мягкой» встречиxi (T) = 0(i = 1, . . . , 6) .(4.4.6)Время сближения T и запас топлива не фиксированы.Найдем оптимальную программу вектора тяги P(t)) при полярном способеуправления, минимизирующую расход топлива на сближение [4.21]. Допустимаявеличина тяги (или секундного расхода массы) определяется условием (4.4.4),а направляющие косинусы вектора тяги связаны соотношениемα21 + α22 + α23 = 1.(4.4.7)Для минимизации расхода топлива на сближение определим max-оптимальноеуправление u = (α1 , α2 , α3 , β̃), обеспечивающее максимум конечной массы x7 (T).Условия абсолютного минимума гамильтонианаWexh(ψ2 α1 + ψ4 α2 + ψ6 α3 ) − ψ7 + ψ1 x2 + ψ3 x4 + ψ5 x6 +H = β̃x7+ ϑ̈ (ψ2 x3 − ψ4 x1 ) + ϑ̇2 (ψ2 x1 + ψ4 x3 ) + 2ϑ̇ (ψ2 x4 − ψ4 x2 ) ++μψ2 x1 + ψ4 (r + x3 ) + ψ6 x5ψ4 − μ,3r2rSC(4.4.8).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»190Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном поленеобходимые для обеспечения максимума x7 (T), имеют видα1 = −ψ2,ψβ̃ =α2 = −β̃maxβ̃minψ4,ψα3 = −ψ6,ψпри H1 > 0,при H1 < 0,(4.4.9)(4.4.10)где ψi = −∂H/∂xi (i = 1, .
. . , 7) — сопряженные переменные,H1 =— функция переключения,Wexhψ + ψ7x7(4.4.11)ψ = ψ22 + ψ42 + ψ62 ,(4.4.12)ψ7 (T) = −1.(4.4.13)Как следует из условия (4.4.10), для оптимального по расходу топлива сближения КА с целью, находящейся на произвольной траектории в центральном полепритяжения (условие эллиптичности орбиты цели не использовано при доказательстве), величина тяги должна принимать граничные значения в допустимомдиапазоне регулирования (4.4.4), если H1 = 0.С учетом условия «свободного» времени H (T) = 0 и конечных условий (4.4.6)получим H1 (T) = 0, т. е. последнее переключение при «мягкой» встрече совпадаетс моментом окончания маневра.Нетрудно показать, что для сближения за минимальное время двигатель КАдолжен непрерывно работать на режиме максимальной тяги.
Действительно, в этомслучае ψ̇7 = Wexh β̃ψ/x27 ≥ 0, но ψ7 (T) = 0, отсюда ψ7 (t) ≤ 0, и поэтому Wexh ψ/x7 − ψ7 > 0. Так как рассматривается min-оптимальное управление,то для обеспечения абсолютного максимума гамильтониана следует приниматьβ̃ (t) ≡ β̃max .4.4.3. Случай круговой орбиты цели.
Оценим возможное число переключениявеличины тяги при минимизации расхода топлива в частном случае компланарногосближения КА с целью, находящейся на круговой орбите. Используя предположение о малости расстояния между КА и целью по сравнению с величинойрадиуса круговой орбиты цели, получим линеаризованные (по составляющимгравитационного ускорения) уравнения оптимального движения:W̃exh β H̃1 ψ2x˜1 = x̃2 , x˜2 = 2x̃4 −, x˜3 = x̃4 ,x̃7ψW̃exh β H̃1 ψ4, x˜7 = −β H̃1 ,(4.4.14)x˜4 = −2x̃2 + 3x̃3 −x̃7ψ%β max при H̃1 > 0,β H̃1 =β min при H̃1 < 0,.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.4. Задача встречи191гдеW̃exh =Wexh,ϑ̇rβ =β̃,ϑ̇x70x1x2x3x4x7, x̃2 =,, x̃3 = , x̃4 =, x̃7 =rrx70ϑ̇rϑ̇rW̃exhψ + ψ7 .H̃1 =x̃7x̃1 =Штрихами обозначено дифференцирование по безразмерному времени τ = ϑ̇t.В этом случае первые четыре уравнения сопряженной системы интегрируютсяв конечном видеψ1 = C1 ,ψ2 = 2 (C2 sin τ − C3 cos τ ) + 3C1 τ + C4 ,ψ3 = 3 (C3 cos τ − C2 sin τ ) − 2 (3C1 τ + C4 ) ,ψ4 = C2 cos τ + C3 sin τ + 2C1 ,(4.4.15)где Ci (i = 1, .
. . , 4) — постоянные интегрирования. = (ψ2 , ψ4 )Наличие этих интегралов позволяет исследовать годограф вектора ψи, учитывая соотношениеH̃1 (τ ) =W̃exh ψ (τ ),x̃7 (τ )(4.4.16)определить возможное число переключений тяги.Предварительно найдем условие стационарности ψ2 (τ ):cos (τ + ϕ0 ) = −λ̃,(4.4.17)гдеC2cos ϕ0 = ,C22 + C323C1λ̃ = 2 C22 + C32C3sin ϕ0 = − ,C22 + C32 22C1 C2 + C3 = 0 .(4.4.18)В зависимости от величины параметра λ̃ следует различать два возможныхслучая:1.
При |λ̃| ≥ 1 функция ψ2 (τ ) меняется монотонно, возрастая (С1 > 0) илиубывая (C1 < 0).2. При 0 < |λ̃| < 1 функция ψ2 (τ ) имеет стационарные точки(2k + 1)π ± α0 , если C1 > 0,τ + ϕ0 =2kπ ± α0 , если C1 < 0, (k = 0, 1, . . .),.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»192Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полегде α0 = arccos |λ̃| ≤ π2 . Поэтому во втором случае существует неограниченноечисло чередующихся участков возрастания и убывания ψ2 (τ ).Используем полученные результаты для прогнозирования возможного числапереключений тяги при компланарном сближении.
В общем случае ψ-траекторияпредставляет собой кривую типа циклоиды:sin ξ+ ξ + A0 ,λ̃cos ξ2,+ψ4 (ξ) = 3C132λ̃ψ2 (ξ) = 3C1где ξ = τ + ϕ0 , A0 = C4 /(3C1 ) − ϕ0 .Отсюда следует, что амплитуда колебания ψ2 (ξ) в два раза превосходит амплитуду ψ4 (ξ).
Кроме того, ψ2 (ξ) содержит вековое слагаемое ξ, в то времякак ψ4 (ξ) является ограниченной периодической функцией. Поэтому функцияψ (ξ) = ψ22 (ξ) + ψ42 (ξ) в основном зависит от первой составляющей и имееттакой же характер изменения, как |ψ2 (ξ)|.По числу перемен знака производной ψ(ξ) на неограниченном интервале ξможно выделить три основных случая:1. При |λ̃| ≥ 1 и A0 > 0 нет перемены знака.2.
При |λ̃| ≥ 1 и A0 < 0 не более одной перемены знака.3. При 0 < |λ̃| < 1 неограниченное число перемен знака.Учитывая соотношение (4.4.16), получим соответствующие оценки для числапереключений тяги при неограниченном времени сближения:1. Не более одного переключения (Pmin − Pmax ).2. Не более двух переключений (Pmax − Pmin − Pmax ).3.
Неограниченное число переключений.Как показано в работе [4.21], при сближении в процессе одного витка целиможет иметь место не более трех включений максимальной тяги на оптимальнойпо расходу топлива траектории полета (рис. 4.21).На рис. 4.22 показан пример траектории сближения с тремя включениямимаксимальной тяги.Используя результаты анализа сближения в пределах одного витка цели, можнооценить число включений максимальной тяги при «мягкой» встрече, если времяманевра не превосходит половины периода обращения цели.
В последнем случаечисло включений максимальной тяги не больше двух [4.21].Если положить Pmin = 0 и неограниченно увеличивать Pmax , то режим работыдвигателя будет приближаться к импульсному, а расход топлива на сближение принеизменных начальных условиях будет уменьшаться из-за расширения диапазонадопустимых управлений по величине тяги. Полученные оценки возможного числапереключений тяги сохраняются и на случай импульсного управления, хотя приэтом исключаются программы регулирования тяги б, в, е, ж, к, л, показанныена рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
