Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Одноимпульсный переход возможен только в том случае, когда орбиты имеют по крайнеймере одну общую точку. Маневры с двумя и большим числом импульсов применяются при произвольном расположении орбит. Чем меньше число импульсов, темпроще проводить оптимизацию маневра. Наиболее часто рассматриваются двухи трехимпульсные маневры.При двухимпульсном маневре первый импульс прикладывается для переходас начальной орбиты на траекторию, которая имеет по крайней мере одну общуюточку с конечной орбитой.
Второй импульс прикладывается в общей точке длявыравнивания скорости КА до требуемой..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»168Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРассмотрим случай, когда начальная и конечная орбиты с одинаковым направлением вращения не пересекаются и имеют произвольную ориентацию линий апсид,удовлетворяющую условиюπ|ωf − ωi | < ,2где ωf , ωi — аргументы перицентра конечной и начальной орбит. Тогда с помощьюинтегралов площадей и энергии можно представить суммарную характеристическую скорость как функцию начального ri и конечного rf радиусов, а затем определить ri и rf из условия минимума величины характеристической скорости.
Длялюбых начальных и конечных орбит, удовлетворяющих приведенным выше условиям, непосредственной проверкой можно установить, что абсолютный минимумхарактеристической скорости достигается при переходе из перицентра внутреннейорбиты в апоцентр внешней [4.12]. В силу обратимости задачи обратный переходдолжен осуществляться из апоцентра внешней орбиты в перицентр внутренней.Если фиксирована точка схода с внутренней орбиты, а точка выхода навнешнюю орбиту может выбираться, то оптимальным является переход в апоцентрвнешней орбиты. При обратном переходе из фиксированной точки внешней орбитыв произвольно выбираемую точку внутренней орбиты оптимальным оказываетсяпереход в перицентр внутренней орбиты [4.12].При пересечении начальной и конечной орбит появляется возможность осуществления одноимпульсных маневров, наряду с двухимпульсными.
Оказалось,что, когда одна из орбит является круговой, а другая эллиптической, то двухимпульсный маневр экономичнее, чем одноимпульсный маневр в точке пересечения.Если одна из апсидальных точек эллипса совпадает с круговой орбитой, то потребность во втором импульсе пропадает, и оптимальным становится одноимпульсныйманевр [4.13].Когда ориентация начальной и конечной орбит может выбираться произвольно,то наименьшее значение характеристической скорости двухимпульсного маневрадостигается при совпадении линий апсид обеих орбит ωi = ωf (рис.
4.7). В этомслучае импульсы являются апсидальными, т. е. они прикладываются в перицентреили апоцентре по касательным к начальному и конечному эллипсам. Любыемногоимпульсные апсидальные переходы сводятся к двухимпульсным, если максимальный из всех промежуточных радиусов апоцентров не превышает радиусаапоцентра конечной орбиты [4.12, 4.13].Каждый импульс для проведения маневра вычисляется как векторная разностьмежду потребной и располагаемой скоростями в данной точке. Так, при двухимпульсном апсидальном переходе первый импульс есть разность между скоростямив перицентрах переходного эллипса (имеющего перицентр rπi и апоцентр rαf )и начального эллипса. Все параметры, относящиеся к начальному эллипсу, будемобозначать дополнительным индексом «i», а параметры конечного эллипса —индексом «f ».
С учетом соотношения (4.1.21) имеем!ΔV1 = Vcir (rπi )2rαf−rπi + rαf'2rαirπi + rαi.(4.2.1).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.2. Компланарные маневры169Рис. 4.7. Двухимпульсный перелет между соосными эллиптическими орбитамиВторой импульс есть разность между скоростями в апоцентрах конечногои переходного эллипсов. Он вычисляется с использованием формулы (4.1.22):!ΔV2 = Vcir (rαf )2rπf−rπf + rαf!2rπirπi + rαf.(4.2.2)4.2.3.
Импульсные маневры между круговыми орбитами. Переход междукруговыми орбитами является частным случаем рассмотренных маневров междуэллиптическими орбитами. Однако этот случай имеет большое практическоеприменение, так как во многих задачах предполагается использование круговыхили околокруговых орбит. Ведь круговая орбита характеризуется постоянствомрадиуса и величины скорости в любой ее точке, что предоставляет определенныеудобства при решении прикладных задач.Для перехода между круговыми орбитами требуется не меньше двух импульсов,поскольку такие орбиты не могут пересекаться.
В предложенной Гоманном [4.14]двухимпульсной программе управления импульсы прикладываются по касательнойк начальной и конечной орбитам. Переходная траектория представляет собойполуэллипс Гоманна, перицентр которого находится на начальной орбите, а апоцентр — на конечной (рис. 4.8). Гоманн не проводил специального анализа, однакоон предполагал, что предложенный им маневр энергетически выгоднее другихдвухимпульсных маневров.
Лишь позднее была доказана оптимальность такогоманевра [4.5, 4.9].Суммарные затраты скорости на гоманновский маневр вычисляются по формулам (4.2.1), (4.2.2) при rπi = rαi = ri и rπf = rαf = rf :.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»170Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРис. 4.8. Переходный полуэллипс Гомана между круговыми орбитами!ΔVΣ = Vcir (ri )!2rf2ri,− 1 + Vcir (rf ) 1 −ri + rfri + rf(4.2.3)где ri , rf — радиусы соответственно начальной (внутренней) и конечной (внешней)круговых орбит. Соотношение (4.2.3) можно разделить на Vcir (ri ), вводя одновременно относительный радиусrfr̃ = ,(4.2.4)riтогда''2r̃21ΔṼΣ =−1 + √ 1−.(4.2.5)1 + r̃1 + r̃r̃Проанализируем зависимость ΔṼΣ (r̃). С этой целью найдем значение r̃extr ,при котором dΔṼΣ /dr̃ = 0. Дифференцируя (4.2.5), получим после некоторыхпреобразований√√√ 2 2r̃ − (1 + r̃)1 + r̃ − 2dΔṼΣ== 0.dr̃2r̃ (1 + r̃) r̃ (1 + r̃)Из условия обращения в нуль числителя дроби этого соотношения получимкубическое уравнениеr̃3 − 15r̃2 − 9r̃ − 1 = 0,единственный положительный корень которого r̃extr ≈ 15.58 соответствует максимуму зависимости ΔṼΣ (r̃):max ΔṼΣ = ΔṼΣ (15.58) = 0.536r̃С учетом (4.2.5) найдемlim ΔṼΣ =r̃→∞√2 − 1 ≈ 0.414,.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.2.
Компланарные маневры171т. е. график ΔṼΣ (r̃) имеет горизонтальную асимптоту. Кроме того, существуетточка перегиба, посколькуmax ΔṼΣ > lim ΔṼΣ .r̃r̃→∞График ΔṼΣ (r̃) представлен на рис. 4.9. Построенная зависимость иллюстрируетна первый взгляд парадоксальный факт: если запас идеальной, т. е. располагаемойскорости КА обеспечивает переход на орбиту радиуса r̃ = 15.58, то переходзаведомо может быть совершен на любую орбиту сколь угодно большого радиуса.Физически√этот факт объясняется тем, что величина первого импульса ограниченазначением 2 − 1, при котором скорость отлета становится параболической.
С другой стороны, второй импульс неограниченно убывает при r̃ → ∞. В результатеи возникает отмеченное поведение суммарных затрат характеристической скоростипри возрастании r̃.Рис. 4.9. Потребная скорость для перелета между круговыми орбитами по полуэллипсуГоманаЕсли разность между радиусами начальной и конечной орбит становитсябольшой, то трехимпульсный маневр оказывается экономичнее двухимпульсного.Такой маневр с уходом на переходную траекторию, пересекающую внешнюю орбиту, был предложен Штернфельдом [4.15]. Трехимпульсную траекторию переходаиногда называют биэллиптической, поскольку она состоит из двух сопряженныхполуэллипсов Гомана (рис.
4.10). Суммарная нормированная характеристическаяскорость при трехимпульсном маневреΔṼΣ = (ΔV1 + ΔV2 + ΔV3 ) /Vcir (ri ).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»172Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полевычисляется по формуле''''2r̃α2r̃22r̃α11+√ΔṼΣ =−1+ √−−1 ,1 + r̃αr̃ + r̃α1 + r̃αr̃ + r̃αr̃αr̃(4.2.6)где r̃α = rα /ri — отношение радиуса апоцентра переходной траектории к радиусувнутренней круговой орбиты.Рис. 4.10. Трехимпульсный перелет между круговыми орбитамиСравнение двух- и трехимпульсных маневров показало, что при относительномрадиусе орбит r̃ < r̃2 , где r̃2 ≈ 11.94, оптимальным является двухимпульсныйманевр. Если r̃ > r̃3 , где r̃3 ≈ 15.58, то трехимпульсный маневр оказываетсяэкономичнее.
В промежуточном случае r̃2 < r̃ < r̃3 существует предельноезначение r̃lim (r̃i , r̃f ) такое, что при r̃α < r̃lim оптимальным будет двухимпульсный маневр, а при r̃α > r̃lim выгоднее трехимпульсный маневр [4.13]. Областиоптимальности двух- и трехимпульсных маневров в зависимости от ri /rf = 1/r̃и ri /rlim = 1/r̃lim показаны на рис. 4.11 [4.11]. Следует подчеркнуть, что величинаr̃3 , при превышении которой трехимпульсный маневр оказывается заведомо лучшедвухимпульсного, соответствует r̃extr , при котором характеристическая скоростьдвухимпульсного маневра достигает максимального значения.Любой многоимпульсный апсидальный переход (между эллиптическими иликруговыми орбитами) сводится к трехимпульсному, если максимальный из радиусов промежуточных апоцентров больше радиуса апоцентра внешней заданнойорбиты [4.12].Заметим, что в задачах перелета КА с одной орбиты на другую длительность маневра обычно не ограничивается.
Тем не менее, в практических ситуациях слишком.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.3. Пространственные маневры173Рис. 4.11. Области оптимальности двух- и трехимпульсных маневров между круговымиорбитамибольшое время перелета (например, при трехимпульсных маневрах) по целому рядупричин может оказаться нежелательным. Поэтому длительность маневра, нарядус затратами характеристической скорости, тоже должна приниматься во вниманиепри проектно-баллистических расчетах орбитальных маневров. Время перелетапо эллиптической траектории вычисляется с помощью формулы (4.1.29), а приперелете по полуэллипсу Гоманна время равно половине периода обращения КА(4.1.30) на орбите с соответствующими радиусами перицентра и апоцентра.4.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАНЕВРЫПространственные маневры необходимы, если начальная и конечная орбиты являются некомпланарными.
Понятно, что пространственный маневр всегда требуетбольших затрат характеристической скорости по сравнению со случаем, когдате же орбиты находятся в одной плоскости. Задача оптимального импульсногопространственного маневра между произвольными орбитами является очень сложной, и ее общее решение пока не получено. Найденные оптимальные решениянекоторых частных задач позволяют выявить основные закономерности рациональ-.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»174Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном поленого пространственного маневрирования и пользоваться ими при решении многихприкладных задач.4.3.1.
Поворот плоскости движения. Пусть требуется изменить плоскость движения, сохраняя неизменным радиус круговой орбиты. Импульсный маневр поворота плоскости орбиты осуществляется при прохождении КА линии узлов,образованной начальной и конечной плоскостями движения. Вектор импульсаскорости для осуществления маневра вычисляется по формуле =Vf − V i,ΔV i, V f — векторы скорости в общей точке соответственно начальной и конечнойгде Vорбит. Тогда величина импульса скорости определяется формулойΔV = Vi2 + Vf2 − 2Vi Vf cos Δi,(4.3.1)где Δi — угол некомпланарности начальной и конечной орбит. По условиюVi = Vf = Vcir , поэтомуΔi.ΔṼ = ΔV /Vcir = 2 sin2Отсюда видно, что поворот плоскости движения всегда связан с большими энергетическими затратами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
