Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеРис. 4.1. Эллиптическая орбитаБольшая полуось эллиптической орбиты a (рис. 4.1) определяет среднее расстояние КА от центра притягивающего телаrπ + rαa=.2Величину c называют линейным эксцентриситетом, так какce= .aМалую полуось b можно вычислить из соотношенийb = a 2 − c2 = a 1 − e2 .При e = 0 имеет место круговая орбита, которая характеризуется постояннымрадиусомr = p = rcirи постоянной скоростью'Vcir (r) =μ,r(4.1.20)определенной с помощью формулы (4.1.9).
Эту скорость называют круговой илипервой космической.Определим теперь скорость в характерных точках эллиптической орбиты.Прежде всего, отметим, что скорости в перицентре и апоцентре связаны правиломрычага (4.1.12), а вычисляются они по формулам (4.1.10) и (4.1.11). Однакоэти формулы не очень удобны для практического применения, поскольку онитребуют знания величин эксцентриситета и параметра орбиты. Более наглядными.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.1. Классификация невозмущенных траекторий157оказываются формулы, которые определяют скорости в апсидальных точках орбитычерез радиусы перицентра и апоцентра. Если подставить соотношения (4.1.19)в (4.1.10) и (4.1.11), то после несложных преобразования получим с учетом (4.1.20):'2rαVπ = Vcir (rπ ),(4.1.21)rπ + rα'2rπ.(4.1.22)Vα = Vcir (rα )rπ + rαРассмотрим уравнение, устанавливающее связь между временем полета и положением КА на эллиптической орбите.
Подобное соотношение было уже полученодля вычисления времени полета ГЧ на пассивном участке, однако в уравнение(3.2.32) входят начальные и конечные параметры траектории, которые удобны длязадач баллистической стрельбы, но усложняют вычисления в задачах орбитальногодвижения.
Для таких задач целесообразнее в качестве аргумента использоватьвеличины, фиксирующие угловое положение КА в плоскости орбиты.Рис. 4.2. Связь между эксцентрической и истинной аномалиямиКак и прежде, будем исходить из интеграла площадей, при этом учтем уравнение орбиты (4.1.2) и соотношение (4.1.5). Тогда по аналогии с (3.2.20) можнозаписатьp3/2 ϑdϑt − tπ = √,(4.1.23)μ 0 (1 + e cos ϑ)2где tπ — время пролета перицентра (ϑ = 0).
Этот интеграл зависит от величиныe, т. е. от класса траектории полета. В случае эллиптической траектории вместоистинной аномалии вводят новую переменную E — эксцентрическую аномалию.Геометрическую связь между эксцентрической и истинной аномалиями иллюстрирует рис.4.2.Введем прямоугольную систему координат 0xy, начало которой совпадаетс центром эллипса, ось 0x направлена по линии апсид в сторону притягивающего.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»158Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полетела F1 , а ось 0y направлена по малой полуоси эллипса (рис.4.2). Тогда координатыточек эллипсаx = a cos E, y = b sin E = a 1 − e2 sin E.(4.1.24)Параллельным сдвигом вдоль оси апсид на величину c = ae получим из 0xyвспомогательную систему координат F1 ξη, в которой координаты точек эллипсаξ = x − ae = a(cos E − e), η = y = a 1 − e2 sin E.Но с другой стороны, для полярной системы координат с полюсом в точке F1ξ = r cos ϑ,η = r sin ϑ.Используя уравнение связиr2 = ξ 2 + η 2 ,установим соотношение между истинной и эксцентрической аномалиями:22r2 = a2 (cos E − e) + a2 1 − e2 sin2 E = a2 (1 − e cos E) .Отсюдаr = a (1 − e cos E) ,а из уравнения орбиты (4.1.2)r=тогдаp,1 + e cos ϑp.1 + e cos ϑС помощью соотношений (4.1.3) и (4.1.4) найдемp = a 1 − e2 ,a (1 − e cos E) =а затем1 − e cos E =откудаcos E − e,cos ϑ =1 − e cos EДалее,tg(4.1.25)1 − e2,1 + e cos ϑ√1 − e2 sin Esin ϑ =.1 − e cos E(4.1.26)'√1 − e2 sin E1 + e sin Esin ϑϑ===,21 + cos ϑ1 − e cos E + cos E − e1 − e 1 + cos Eилиϑtg =2'1+e Etg .1−e 2(4.1.27)Именно в таком виде обычно используется уравнение связи истинной и эксцентрической аномалий..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.1.
Классификация невозмущенных траекторий159Произведем теперь замену переменной ϑ на E в подынтегральном выражении(4.1.23). Предварительно с помощью соотношений (4.1.26) найдемcos E − ecos ϑ dϑ = 1 − e2dE,2(1 − e cos E)√откуда1 − e2dE.dϑ =1 − e cos E√Тогдаp3/2 E (1 − e cos E)21 − e2t − tπ = √dE,2μ 01 − e cos E(1 − e2 )илиp3/2t − tπ = √(E − e sin E) .3/2μ (1 − e2 )Но согласно (4.1.25)p= a,1 − e2поэтому окончательно получимa3/2t − tπ = √ (E − e sin E) .μ(4.1.28)Это соотношение называют уравнением Кеплера.
Оно устанавливает связьмежду положением КА на эллиптической орбите и временем полета от перицентрадо рассматриваемой точки.Если требуется определить время перелета КА по эллиптической траекториимежду двумя точками, истинные аномалии которых ϑ1 и ϑ2 известны, то с помощьюформулы (4.1.27) можно определить их эксцентрические аномалии E1 и E2 , а затем,используя уравнение Кеплера, вычислить длительность перелетаa3/2t2 − t1 = √ [E2 − E1 − e ( sin E2 − sin E1 )] .μ(4.1.29)Когда протяженность перелета равна одному обороту по орбите, т. е.E2 = E1 + 2π, уравнение (4.1.29) определяет период обращенияa3/2T = 2π √ .μ(4.1.30)Отсюда видно, что период обращения зависит только от параметра μ — произведения гравитационной постоянной на массу притягивающего тела и величиныбольшой полуоси орбиты a, т.
е. среднего расстояния КА от центра притягивающеготела.Пусть T1 и T2 — периоды обращения двух космических аппаратов относительноодного и того же притягивающего тела и a1 , a2 — большие полуоси соответствующих эллиптических орбит. Тогда с помощью формулы (4.1.30) можно установить, чтоT12a3= 13 .2T2a2(4.1.31).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»160Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеЭто соотношение определяет третий закон Кеплера, который применительнок рассматриваемой задаче можно сформулировать так:Квадраты периодов обращения двух космических аппаратов относительноодного и того же притягивающего тела пропорциональны кубам их среднихрасстояний от центра притягивающего тела.Уравнение Кеплера (4.1.28) может быть использовано для определения положения КА на орбите в заданные моменты времени.
В этом случае приходится решатьтрансцендентное уравнение относительно E. Обычно применяются различныеитерационные методы [4.2, 4.4].4.1.2. Гиперболическая траектория. Если постоянная интеграла энергии h̃ > 0,то имеет место гиперболическая траектория. Эта траектория является незамкнутой,и КА может удалиться по ней от притягивающего тела неограниченно далеко(r → ∞), причем движение происходит по той ветви гиперболы, в фокусекоторой находится притягивающее тело. Значение истинной аномалии, при которомзнаменатель уравнения траектории полета (4.1.2) обращается в нуль, называетсяпредельным (ϑlim ):1, r |ϑlim → ∞.ϑlim = arccos −(4.1.32)eСледовательно, при полете по гиперболической траектории истинная аномалиябудет изменяться в диапазоне11− arccos −≤ ϑ ≤ arccos −.eeС учетом значения постоянной интеграла энергии (4.1.17) для гиперболическойтраектории имеем2μ2V2 −= V∞,rно согласно (4.1.18),2μ2= Vpar(r) ,rпоэтому22+ V∞,V 2 (r) = Vpar(4.1.33)т.
е. квадрат местной гиперболической скорости равен сумме квадратов местнойпараболической скорости и скорости на бесконечности. В этой связи величинуV∞ часто называют гиперболическим избытком скорости.Рассмотрим теперь основные геометрические соотношения для гиперболической траектории (рис. 4.3). Радиусы перицентра (F1 π) и формального апоцентра(F1 α) вычисляются по формуламpp, rα =,rπ =1+ee−1тогдаrα − rπ = 2a.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.1.
Классификация невозмущенных траекторий161Рис. 4.3. Гиперболическая траекторияили2p,−1rα − rπ =e2откудаa=Далее,rπ = a (e − 1) ,и отсюда можно найтиp.e2 − 1(4.1.34)rα = a (e + 1) ,e=1+rπ.aВычислим 0π = 0D cos (π − ϑlim ) = 0De , но по построению 0π = a. Следовательно,0D = ae = c и 0D = 0F1 .2Затем определим (0D) = c2 = a2 e2 и, учитывая, что из прямоугольного треуголь2ника Dπ0 имеем (0D) = a2 + b2 , получим! 2be= 1+a.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»162Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном полеиb=ae2 − 1.(4.1.35)С учетом (4.1.34) и (4.1.35) получим: b2p = a e2 − 1 = .(4.1.36)aВведем теперь понятие прицельной дальности [4.5].
Когда истинная аномалияблизка к −ϑlim , направление движения КА практически совпадает с асимптотойгиперболы. Если предположить, что в этот момент сила притяжения исчезла, тоКА пролетит на расстоянии F1 N от притягивающего тела (рис.4.3). Это расстояниеF1 N и называют прицельной дальностью.Определим величину F1 N. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники0πD и 0NF1 . У них равны гипотенузы 0D = 0F1 = c, как было показано, и равныуглы ∠π0D = ∠N0F1 = π − ϑlim в силу симметрии асимптот гиперболы. ПоэтомуΔ0πD ∼ Δ0NF1 ,F1 N = Dπ = b,т. е.
прицельная дальность равна мнимой полуоси. Полученный результат позволяетвычислить величину постоянной интеграла площадей (3.1.8) через скорость V∞и перпендикулярное к ней плечо b в бесконечно удаленной точкеC = bV∞ ,(4.1.37)а затем дать энергетическое толкование величине действительной полуоси. В самомделе, параметр траектории, согласно (4.1.5), естьp=или с учетом (4.1.37)p=C2μ2b 2 V∞.μНо, с другой стороны, по формуле (4.1.36)p=b2,aa=μ.2V∞поэтому(4.1.38)Приведем для гиперболической траектории геометрический вывод уравненияКеплера, связывающего положение КА на траектории с временем полета отперицентра [4.5].
Из построений на рис. 4.4 следует, что площадь, заметаемаярадиусом-вектором r, естьSF1 πM = SF1 0M − Sπ0M ,гдеSF1 0M =111F1 0 · MN = cb sh H = aeb sh H,222Sπ0M = abH,2.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»4.1. Классификация невозмущенных траекторий163Рис. 4.4. К выводу уравнения Кеплера для гиперболической траекториипоэтому1ab (e sh H − H) .2Используя понятие секториальной скорости (4.1.15), можно записатьSF1 πM =1C (t − tπ ) ,2а затем приравнять эти соотношения с учетом (4.1.36) и равенства√C = μp = μa(e2 − 1).SF1 πM =Тогда окончательно получим уравнение Кеплера для гиперболической траекторииa3/2t − tπ = √ (e sh H − H).μВеличина H вычисляется через истинную аномалию по формуле'He−1 ϑth =tg .2e+1 2(4.1.39)(4.1.40).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»164Глава 4. Орбитальное движение космического аппарата в центральном поле4.1.3.
Параболическая траектория. Если на траектории выполнено условие(4.1.18), т. е. скорость равна параболической, или, как ее еще называют, второйкосмической, КА обладает минимальной необходимой энергией, которая позволяетему удалиться от притягивающего тела неограниченно далеко, однако скоростьпри этом будет стремиться к нулю. Сравнивая соотношения для первой и второйкосмических скоростей, получим√Vpar (r) = 2Vcir (r).(4.1.41)Для практического использования параболическая траектория (e = 1) представляет ограниченный интерес, так как малейшая ошибка в скорости приводитк эллиптическому или гиперболическому движению. Однако параболическая траектория имеет важное значение в теоретических исследованиях, поскольку онаявляется границей между двумя основными классами траекторий.4.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
