Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Из вершины F опустимперпендикуляр на сторону 0I, тогдаctg ∠FIN =r0 − RE cos Φfr̃0 − cos ΦfIN==.FNRE sin Φfsin Φf(3.2.10)Сравнивая соотношения (3.2.9) и (3.2.10), можно установить, что∠FIN,2т. е. оптимальный угол бросания равен половине угла, образованного начальнымрадиусом r0 и линией визирования точки падения F из начальной точки I (рис. 3.5).Далее,π∠BIC = − θ0 ,2ππ∠FIC = − ∠FIN + θ0 = − θ0 ,22поэтому∠BIC = ∠FIC.θ0 =0Таким образом, при оптимальном угле бросания начальный вектор скорости Vделит пополам угол между местной вертикалью и линией визирования точкипадения ГЧ [3.3]..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»130Глава 3.
Баллистика головной частиИз формулы (3.2.9) при r̃0 = 1 имеемctg 2θ0 = tgΦf,2откуда следует простая зависимость оптимального угла бросания от угловойдальности пассивного участка:θ0opt =Φfπ−.44(3.2.11)3.2.3. Параметры движения на пассивном участке. Если угол бросания отличается от оптимального, то можно указать совокупность значений ν0 и θ0 ,обеспечивающих заданную дальность пассивного участка Lf . На рис.
3.6 и 3.7приведены начальные условия стрельбы при r̃0 = 1 (когда радиусы начальнойи конечной точек совпадают) и r̃0 = 1.06 (перепад высот между начальнойи конечной точками порядка 350 км). Видно, что при r̃0 = 1 ÷ 1.06 и θ0 = 20◦ ÷ 40◦различие в потребных величинах начального параметра ν0 невелико (Δν0 ≤ 0.05).При θ0 = 10◦ и увеличении r̃0 от 1 до 1.06 имеет место более существенноеуменьшение величины ν0 (Δν0 ≈ 0.15).Рис. 3.6. Параметры траектории стрельбы при r̃0 = 1Если зафиксировать r̃0 и сравнить потребные ν0 при углах бросанияθ0 = 20◦ ÷ 40◦ , то для дальностей Lf ≤ 8000 км разница в ν0 оказывается малой.Для больших дальностей угол бросания θ0 сильно влияет на величину ν0 .
Значенияν0 > 1 не рассматривались.Одной из наиболее важных характеристик движения является самая высокаянад Землей точка полета ГЧ (апогей). Радиус апогея ra вместе с дальностью пассивного участка Lf определяет основные геометрические соотношения траектории.Найдем угловую дальность Φa от начальной точки до апогея, а затем вычислимрадиус апогея ra (рис. 3.2)..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2. Обратная задача131Рис. 3.7.
Параметры траектории стрельбы при r̃0 = 1.06Угловая дальность Φa определяется из условияdr= 0 илиdΦ−∂F∂Φ∂F∂r= 0,где F(r, Φ) = 0 — уравнение (3.1.19). Последнее равенство выполняется при∂F/∂Φ = 0. Дифференцируя (3.1.19) по Φ, получим после сокращений Φ 2r 1 + tg2 θ0 − (r0 + r) ν0 tg − ν0 r tg θ0 = 0,2откудаtgν0 tg θ0Φa=,222(1 + tg θ0 ) − (r̃ + 1) θ0(3.2.12)где r̃ = r0 /ra .Подставим (3.2.12) в уравнение (3.1.19) и в результате несложных преобразований придем к квадратному уравнению относительно r̃:ν0 cos2 θ0 r̃ 2 − 2r̃ + 2 − ν0 = 0.Решая его, найдемr̃ =1−1 − (2 − ν0 ) ν0 cos2 θ0.ν0 cos2 θ0Перед радикалом выбран знак минус, который обеспечивает минимальноезначение r̃ = r0 /ra и тем самым максимальное значение относительного радиусаrar̃a = ,r0так как r0 = const..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»132Глава 3.
Баллистика головной частиПостроенные на рис. 3.6 и 3.7 зависимости относительного радиуса апогея r̃aсоответственно для r̃0 = 1.0 и 1.06 показывают, что величина r̃0 слабо влияетна r̃a . Действительно, различие Δr̃a ≤ 0.05, т. е. не превышает несколькихпроцентов. Наиболее существенно на радиус апогея влияет дальность пассивногоучастка Lf и начальный угол наклона траектории θ0 . Например, при Lf ≈ 10 000 кми изменении θ0 от 10◦ до 40◦ радиус апогея увеличивается в ∼1.4 раза.
Припостоянном начальном угле наклона траектории θ0 = 20◦ и увеличении дальностиот 10 000 до 15 000 км радиус апогея возрастает в ∼1.3 раза.Найдем некоторые другие параметры траектории полета ГЧ. Для определенияскорости в точке падения F (или любой другой точке траектории, радиус R которойизвестен), можно воспользоваться интегралом энергии (3.1.4)2μ2μV02 −,= Vf2 −r0Rоткудаν0 − 2νf = 2 +(r̃0 = r0 /R),(3.2.13)r̃0где νf = RVf2 /μ.
Поэтому скорость в точке падения (R = RE )'μνfVf =.REУгол наклона траектории в точке падения θf определим с помощью интегралаплощадей согласно условиюr0 V0 cos θ0 = RE Vf cos θf .Отсюда следует, чтоθf = − arccos' ν0r̃0 cos θ0νf(3.2.14)(знак минус взят с учетом падения ГЧ на нисходящей траектории). При r̃0 = 1 изсоотношений (3.2.13) и (3.2.14) имеемνf = ν0 ,θf = −θ0 .Этот результат легко объясняется с учетом симметрии эллиптической траектории полета ГЧ на пассивном участке.Необходимо сделать одно замечание. Хотя неучет атмосферы мало сказываетсяна дальности полета ГЧ по сравнению с траекторией в реальных условиях, однаковеличины νf и θf , вычисленные по формулам (3.2.13), (3.2.14), могут существенноотличаться от действительных значений из-за сильного торможения ГЧ в нижнихплотных слоях атмосферы, начиная с высот 30 ÷ 40 км.Вычислим время полета ГЧ по эллиптической траектории от начальной точкидо точки падения (или любой другой точки, радиус которой задан).
Из дифференциального уравнения (3.1.9) имеемdt =r2dΦ.C(3.2.15).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2. Обратная задача133Проинтегрируем левую и правую части (3.2.15), причем время будет меняться от 0до tf , а угловая дальность — от 0 до Φf :1tf =CΦfr2 dΦ.(3.2.16)0Выразим r из уравнения траектории (3.1.19)r0 ν0 1 + tg2 Φ2r= ,2 1 + tg2 θ0 − ν0 tg2 Φ2 − 2ν0 tg θ0 tg Φ2 + ν0откудаr0 ν0 cos2 θ0.r=1 − (1 − ν0 cos2 θ0 ) cos Φ − ν0 sin θ0 cos θ0 sin ΦВведем следующие обозначения:p = r0 ν0 cos2 θ0— параметр траектории,e=(3.2.17)1 − (2 − ν0 ) ν0 cos2 θ0(3.2.18)— эксцентриситет,cos Φa =11 − ν0 cos2 θ0 ,esin Φa =1ν0 sin θ0 cos θ0 .eТогда получимr=p.1 − e cos(Φa − Φ)(3.2.19)Уравнение (3.2.19) эквивалентно (3.1.19) и определяет коническое сечение, одиниз фокусов которого совпадает с центром Земли.
При выводе уравнения (3.2.19)не делалось никакого предположения относительно класса движения, поэтомуоно справедливо для любой траектории (эллиптической, параболической, гиперболической), хотя, как уже отмечалось, полет ГЧ происходит по эллиптическойтраектории.После подстановки (3.2.19) в (3.2.16) имеемp2tf =CΦf0dΦ[1 − e cos(Φa − Φ)]2.(3.2.20)Для вычисления интеграла (3.2.20) перейдем к новой переменной x, котораясвязана с Φ условиемe + cos x= cos(Φa − Φ).(3.2.21)1 + e cos xДифференцируя левую и правую части (3.2.21), найдем1 − e2 sin xdx = sin (Φa − Φ) dΦ.−2(1 + e cos x).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»134Глава 3.
Баллистика головной частиС помощью (3.2.21) получим√1 − e2 sin x,(3.2.22)1 + e cos xи для установления однозначной связи между Φ и x выберем знак минус. Тогда√1 − e2dx = dΦ.(3.2.23)1 + e cos xНайдем также, используя (3.2.21),sin (Φa − Φ) = ±1 − e2.(3.2.24)1 + e cos xПодставим полученные соотношения (3.2.23) и (3.2.24) в (3.2.20) и вычислиминтеграл:√xfxf(1 + e cos x)21 − e2p2p2dx =tf =(1 + e cos x) dx =C(1 − e2 )2 1 − e cos xC(1 − e2 )3/21 − e cos (Φa − Φ) =x0x0xp=(x + e sin x) xf0 .23/2C(1 − e )2(3.2.25)Прежде чем подставить пределы, проведем некоторые вспомогательные выкладки.Сначала найдемVrtg θ =,VnгдеCdΦVn = r= ,dtrVr =dr dΦpe sin(Φa − Φ)Cdre sin(Φa − Φ)C==,=2 2dtdΦ dtp[1 − e cos(Φa − Φ)] rтогдаtg θ =e sin(Φa − Φ).1 − e cos(Φa − Φ)(3.2.26)Далее, из соотношений (3.2.22) с учетом выбранного знака минус и (3.2.24)√имеем1 − e2 sin(Φa − Φ)sin x = −1 − e cos(Φa − Φ)или, используя (3.2.26),√1 − e2sin x = −tg θ.eТеперь запишем интеграл энергии (3.1.4) в видеν −2h̃= ,rμ(3.2.27)(3.2.28).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2.
Обратная задача135а затем с помощью параметра (3.2.17) и эксцентриситета (3.2.18) вычислимe2 − 1ν0 − 2=.pr0Сравнивая это соотношение с (3.2.28), получимe2 − 1ν−2=prилиe2 − 1p=.rν −2Учитывая уравнение (3.2.19), запишем окончательноe2 − 1.ν −2Из сравнения формул (3.2.24) и (3.2.29) имеем1 − cos(Φa − Φ) =(3.2.29)2 − ν = 1 + e cos xоткуда1−ν.eСледовательно, с учетом знака в формуле (3.2.27):на восходящей ветви траектории,− arccos 1−νex=нанисходящей ветви траектории.arccos 1−νecos x =Подставим теперь соотношение (3.2.27) в (3.2.25), тогда получимx f − x0p2√− tg θf + tg θ0 .tf =C(1 − e2 )1 − e2(3.2.30)(3.2.31)Постоянный множитель в (3.2.31) можно выразить через начальные параметрыдвижения, используя формулы (3.1.8), (3.2.17), (3.2.18):p2r0 ν0 cos θ0=.C(1 − e2 )V0 (2 − ν0 )Итак, окончательная формула для вычисления времени полета ГЧ по эллиптической траектории от начальной точки до точки падения (на нисходящей ветви) имеетследующий вид [3.1]:' 1 − νfp11 − ν0p√+arccos+tgθarccos.−tgθtf =0f1 − e2 μee1 − e2(3.2.32)Входящие сюда величины νf и θf вычисляются по формулам (3.2.13) и (3.2.14).В частном случае, когда r̃0 = r0 /R = 1, имеем νf = ν0 и θf = −θ0 , поэтому' p11 − ν02p√+tgθarccos(3.2.33)tf =0 .1 − e2 μe1 − e2.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»136Глава 3.
Баллистика головной части3.3. РАССЕИВАНИЕ ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙРазброс точки падения ГЧ складывается из следующих основных составляющих:1) ошибки, обусловленные отклонением от расчетных начальных параметровдвижения в момент отделения ГЧ от последней ступени ракеты;2) ошибки, обусловленные возмущенным движением ГЧ при входе в атмосферу.Первая составляющая ошибок, в свою очередь, зависит от принятого методауправления на активном участке и точности его реализации, от выбранной геометрии траектории активного участка.3.3.1.
Влияние метода управления на ошибки начальных параметров движения ГЧ. Вопросы точности реализации метода управления, связанные с определенным составом бортового оборудования и точностью его функционирования(инструментальные ошибки), как правило, не рассматриваются в задачах проектнойбаллистики.Метод управления дальностью, наряду с выбором программы угла тангажа(см. п. 2.3), должен обеспечивать также выбор времени выключения двигателя.Именно время выключения является главным фактором, влияющим на рассеивание.Основная информация о движении ракеты поступает в виде составляющихкажущегося ускорения или интегралов от них, т.
е. в виде составляющих кажущейсяскорости. Некоторые методы управления дальностью основаны на использованииэтой информации в совокупности с бортовыми часами. Двигатель выключается,когда вычисляемый функционал от кажущейся скорости и времени достигаетзаданного значения. Такой прием называется введением в интегратор временнойкомпенсации; он подробно рассматривается в работе [3.1].Все известные методы, как правило, базируются на разложении в ряд по измеряемым параметрам отклонения дальности возмущенной траектории от попадающейноминальной и использовании линейных членов разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
