Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Интегрирование уравнений движенияТаблица 2.2Параметры движения и составляющие потерьскорости для баллистической ракеты типа«Титан-2» (азимут пуска A = 0◦ )Суммарныепотери скорости,% от VchСтупениПараметрыВ конце работы ступени— время, с— скорость, м/с— угол наклонатраектории, градΔVch , м/сΔVgrav , м/сΔVeng , м/сΔVaer , м/сΔVctr , м/сСуммарные потерискорости, м/с121512530182723720382010898112001652604090014416.50.91.31.6129055320.3Таблица 2.3Параметры движения и составляющие потерь скоростиракеты-носителя типа «Сатурн-5» при выведениина круговую орбиту высотой 200 км (наклонение i = 90◦ )СтупениПараметрыВ конце работы ступени— время, с— скорость, м/с— угол наклонатраектории, градΔVch , м/сΔVgrav , м/сΔVeng , м/сΔVaer , м/сΔVctr , м/сСуммарные потерискорости, м/сСуммарныепотери скорости,% от Vch1231582162390532147977903036251280126570341206110035002674−3610024117.81.20.55.7146396120525.21 В конце работы второй ступени высота оказывается больше 200 км,в результате чего при полете третьей ступени происходит дополнительныйгравитационный разгон.107.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»108Глава 2.
Активный участок2.4.3. Интегрирование уравнений движения с помощью ЭВМ. Если в начальный период развития ракетно-космической техники интегрирование уравненийдвижений, в основном, проводилось ручным способом с использованием различных электромеханических клавишных машин, то сейчас эта задача решается, какправило, с помощью ЭВМ. Применение мощных ЭВМ позволило снять практически все ограничения на порядок систем интегрируемых уравнений, вычислятьправые части дифференциальных уравнений любой сложности и осуществлятьинтегрирование с заданной высокой точностью. Тем не менее, как показывает накопленный опыт, целесообразно каждую рассматриваемую задачу по возможностиупрощать с учетом ее особенностей и требуемой точности получаемого результата.В связи с этим условно выделим три основных класса баллистических задач, длярешения которых необходимо интегрировать уравнения движения ЛА посредствомЭВМ:• проектно-баллистические расчеты по выбору основных характеристик ЛАи оценке его энергетических возможностей,• расчет таблиц стрельбы и формирование полетных заданий при известныхпараметрах ЛА и системы управления,• автономное решение задач навигации, управления и стабилизации на бортуЛА с применением БЦВМ.Проектно-баллистические расчеты обычно имеют массовый характер, так какони связаны с рассмотрением большого числа возможных характеристик ЛА.
Задача поиска оптимального варианта ЛА может решаться при полной автоматизациирасчетов на ЭВМ с применением вариационных методов. Другой путь состоитв сочетании интегрирования с помощью ЭВМ уравнений движения исследуемыхвариантов ЛА и последующего анализа для принятия решения о направлениидальнейшего поиска оптимальных характеристик. При этом рассматриваютсяразличные графики в плоскости варьируемых параметров.
Именно такой способполучил в настоящее время наибольшее распространение из-за своей простоты.Первый способ поиска оптимального решения предъявляет повышенные требования к быстродействию и памяти ЭВМ.Расчеты по выбору основных характеристик ЛА не требуют высокой точности. Поэтому допустимо упрощение уравнений движения. Например, можно неучитывать вращение Земли и отличие гравитационного поля от центрального, нерассматривать уравнения, описывающие работу системы управления, пренебрегатьпереходными режимами работы двигателей, участками разделения ступеней и т.
п.Отмеченные второстепенные факторы практически не влияют на получаемоеоптимальное решение.Для расчета таблиц стрельбы и формирования полетных заданий (установочных данных) используются наиболее точные уравнения движения в рамкахпринятой модели описания полета ЛА, работы его двигательных установок, функционирования системы управления, учета всех переходных процессов, участковразделения и т. д. Установочные данные необходимы для предстартовой настройки системы управления, обеспечивающей выведение на требуемую орбиту илидостижение заданной цели на поверхности Земли..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.4.
Интегрирование уравнений движения109Основные установочные данные (основные установки) включают величинуфункционала управления скоростью при выходе на орбиту или управления дальностью при баллистической стрельбе, а также азимут выведения или стрельбы.Кроме основных установок, могут определяться и вспомогательные, например,для предварительной команды на выключение двигателя (при выключении в двеступени), для моментов разделения ступеней, дросселирования двигателей с цельюограничения величины перегрузки и др. Если в системе управления применяется БЦВМ с адаптивными многошаговыми алгоритмами на основе прогнозирования параметров движения, то установочные данные вводятся для настройки параметров алгоритма, обеспечивающей выполнение заданных терминальныхусловий.Для получения основных установок используются два метода [2.7], построенные на вычислении «попадающей» траектории для заданных краевых условий(т. е.
начальных и терминальных) и на расчете по конечным формулам с помощьютаблиц стрельбы.Первый метод применяется обычно при заблаговременной подготовке исходныхданных и проведении расчетов с использованием универсальной ЭВМ. Второйметод не требует применения ЭВМ и позволяет получать основные установки не только заблаговременно, но и непосредственно в процессе подготовкик запуску.Первый метод может быть использован также для оперативного расчета основных установок, если система подготовки запуска включает специализированнуюЭВМ с соответствующими алгоритмами, которые позволяют быстро определитьпопадающую траекторию и настроить систему управления.Некоторые возможные методы расчета попадающих траекторий и подготовкитаблиц стрельбы рассматриваются в работе [2.7].При машинном счете весьма удобен метод интегрирования Рунге—Кутта высокого порядка (обычно четвертого порядка).
Выбор шага должен осуществлятьсяавтоматически, исходя из заданной точности вычислений и необходимости выполнения требуемых по условию задачи операций в определенные моменты времениили при достижении фиксированных значений некоторых вычисляемых функций.Это обеспечивает экономию машинного времени и требуемую точность расчетапараметров активного участка.Рассмотрим основы метода Рунге—Кутта [2.13]. Пусть дана система дифференциальных уравненийdy = f (x, y)dxи начальные условияy(x0 ) = y0 .Выберем шаг интегрирования δ и для краткости введем обозначенияxi = x0 + iδ,yi = y(xi ),Δyi = yi+1 − yi ,(i = 0, 1, .
. .)..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»110Глава 2. Активный участокЗатем положимk (0) = δ · f (x0 , y0 ),1 (0)k (0) = δ · f x0 + δ , y0 + k1,222k (0)δ(0)2k = δ · f x0 + , y0 +,322k (0) = δ · f x0 + δ, y0 + k (0) ,43где k1 , k2 , k3 , k4 — векторы.Согласно методу Рунге—Кутта, приращения функций приближенно определяются по формуле1 (0)(0)(0)(0)Δy0 =k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ,(2.4.8)6отсюдаy1 = y0 + Δy0 .(0)(0)(0)(0)Далее, приняв (x1 ,y1 ) за исходные данные и повторяя тот же процесс, находим y2 . Аналогично вычисляются последующие значения yi (i = 3, 4, . . .).Формула (2.4.8) имеет четвертый порядок точности, т.
е. коэффициенты этойформулы с точностью до членов порядка δ 4 включительно совпадают с коэффициентами приращения Δy0 , вычисленного по формуле Тейлора. Для автоматическоговыбора шага интегрирования δ в процессе счета существуют различные способы.Один из них, разработанный В. А. Егоровым в Институте прикладной математикиим. М. В. Келдыша АН СССР, заключается в следующем. Для составляющихвектора yi , по которым регулируется величина шага (это могут быть, в частности,все интегрируемые функции), вычисляются контролируемые величины1 (i)(i)(i)(i)(i)lj =k1j − k2j − k3j + k4j .δ(i)Здесь индекс j соответствует номерам контролируемых функций.
Величины ljс точностью до множителя представляют собой третьи члены разложения рассмат(i)риваемых составляющих вектора Δyi в ряд Тейлора, т. е. lj ∼ δ 3 . Именно этивеличины используются для контроля точности интегрирования на каждом шаге.Предварительно на основании имеющегося опыта выбираются малые числа εj ,которые определяют точность контролируемых функций. Далее, на каждом шаге% (i) &вычисляетсяljl̃ = max.jεjЕсли 0.1 ≤ l̃ < 1, то шаг выбран правильно и точность достаточная. Приl̃ > 1 шаг считается слишком большим. Делается дробление шага: вместо δ беретсяδ/2, и счет точки повторяется заново.
В случае l̃ < 0.1 шаг считается слишкоммелким. Происходит увеличение шага: вместо δ берется 2δ, а в качестве результата.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.5. Производные конечной скорости, выводимой полезной нагрузки . . .111выдается уже сосчитанная точка. Таким способом реализуется один из возможныхалгоритмов автоматического выбора шага интегрирования.2.5. ПРОИЗВОДНЫЕ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ, ВЫВОДИМОЙ ПОЛЕЗНОЙНАГРУЗКИ И ДАЛЬНОСТИ СТРЕЛЬБЫ ПО ОСНОВНЫМ ПАРАМЕТРАМ ЛАВ процессе баллистического проектирования ЛА, а также при рассмотрениивозможных путей модификации существующих изделий часто возникает необходимость сравнения близких по своим характеристикам вариантов. Такое сравнениеудобно проводить с привлечением частных производных параметров ЛА и траектории движения (конечной скорости, выводимой полезной нагрузки или дальностистрельбы) по варьируемым параметрам ЛА. В некоторых случаях использованиепроизводных обеспечивает более полную и наглядную информацию, чем прямойрасчет траекторий с помощью ЭВМ.
Например, производные позволяют выявитьвеличину вклада каждого варьируемого параметра ЛА в суммарное изменениерассматриваемой характеристики ЛА или траектории движения.2.5.1. Способы получения производных. Производные могут быть полученыразличными способами, например, численным интегрированием уравнений движения, с помощью конечных формул и др.В первом случае с использованием ЭВМ интегрируются уравнения движенияпри номинальных и варьированных параметрах ЛА, а затем методом конечныхразностей вычисляются производные.
Число вычисленных траекторий должно,по крайней мере на единицу, превышать число варьируемых параметров. Однаков действительности приходится вычислять траектории полета при нескольких значениях одного и того же варьируемого параметра, чтобы выявить зону линейности,в которой допустимо использование производных. Такой подход позволяет вычислить точные значения производных и установить диапазоны их применимости,однако он требует значительных затрат машинного времени.Второй способ является приближенным.
Он состоит в вычислении частныхпроизводных формулы (2.4.7) для конечной скорости по входящим в нее параметрам ЛА. Производные вычисляются при номинальных значениях параметровЛА, а составляющие потерь скорости соответствуют номинальной траекториивыведения. Следовательно, второй способ требует вычисления с помощью ЭВМтолько одной (номинальной) траектории полета. Получаемые формулы обладаютбольшой информативностью и позволяют выявить основные факторы, влияющиена величину каждой производной.2.5.2. Вычисление производных по конечным формулам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
