Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Но если ψ3 = 0, а ψ1 = −1, тоcos ϑ = 1,sin ϑ = 0.Тяга направлена горизонтально, и высота не может увеличиваться. Посколькурассматривается задача об оптимальном выведении, такой режим в ней не можетвозникать.2.2.3. Учет центрального поля притяжения. Обсудим теперь более точнуюпостановку задачи, когда вместо плоскопараллельного поля рассматривается центральное поле земного притяжения [2.8, 2.10].
Как показано в работе [2.8], учетвращения Земли практически не влияет на выбор оптимальной программы управления, поэтому даже в уточненной задаче его можно не принимать во внимание.Будем считать, что начало стартовой системы координат 0xln yln совмещено с начальной точкой полета второй ступени (т. е. находится за пределами плотных слоеватмосферы). Ось 0yln направлена вертикально вверх, а ось 0xln — по направлениюдвижения (рис. 2.5). Если R0 — расстояние от центра Земли до начала системыкоординат, то в текущей точке с координатами x, y составляющие ускорения земногопритяжения будут определяться соотношениямиμ(R0 + y)gy = − ,3[x2 + (R0 + y)2 ]μxgx = − ,3[x2 + (R0 + y)2 ](2.2.19)где μ — произведение гравитационной постоянной на массу Земли.Вводя обозначенияx1 = x,x2 = V x ,x3 = y,x4 = V y ,x5 = m,запишем полную систему уравнений движения ЛА (в этом случае нельзя опуститьуравнение для горизонтальной координаты x):W β̃W β̃α1 + gx , ẋ3 = x4 , ẋ4 =α2 + gy , ẋ5 = −β̃.x5x5Начальные условия (при t = 0) предполагаются известными:ẋ1 = x2 ,ẋ2 =xi (0) = xi0(i = 1, .
. . , 5),(2.2.20)(2.2.21)а в конце активного участка (при t = T) на заданной высоте hT угол наклонатраектории (к местному горизонту) должен равняться нулю. Отсюда имеем тритерминальных условия с учетом заданной конечной массой ЛА:x4 (T)x1 (T)=−, x5 (T) = mT ,x21 (T) + [R0 + x3 (T)]2 − RE = hT ,R0 + x3 (T)x2 (T)(2.2.22)где RE — радиус поверхности Земли..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2.
Оптимальная программа выведения на орбиту81Рис. 2.5. Схема выведения в центральном гравитационном полеБудем искать такое управление u = (α1 , α2 , β̃), которое обеспечивает максимальную величину конечной скоростиV (T) = x22 (T) + x24 (T)(2.2.23)при одновременном удовлетворении терминальных условий (2.2.22).
Область допустимых управлений определяется соотношениями (2.2.4), (2.2.5).Гамильтониан задачи включает два слагаемых:W = ψ1 x2 + ψ2 gx + ψ3 x4 + ψ4 gy .K(u) = β̃(ψ2 α1 + ψ4 α2 ) − ψ5 , H2 (x, ψ)x5Из рассмотрения функции K(u) следует, что оптимальная ориентация векторатяги задается условиямиψ2ψ4α1 = − , α2 = − ,ψψилиψ4tg ϑ =(ψ2 = 0),(2.2.24)ψ2.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»82гдеГлава 2. Активный участокψ = ψ22 + ψ42 .Величина тяги должна принимать граничные значенияβ̃max , если H1 > 0,β̃ =β̃min , если H1 < 0,гдеH1 =Wψ + ψ5x5— функции переключения.Рассмотрим сопряженную систему∂gy∂gx− ψ4,∂x1∂x1ψ̇2 = −ψ1 ,∂gy∂gxψ̇3 = −ψ2− ψ4,∂x3∂x3ψ̇4 = −ψ3 ,ψ̇1 = −ψ2ψ̇5 =(2.2.25)W β̃(ψ2 α1 + ψ4 α2 )x25и найдем для нее условия, заданные в конечный момент времени t = T.
Для этогопроанализируем условие трансверсальности [2.10] · δx · δxδV − Hδt + ψ− δV − Hδt + ψ= 0,t=Tt=0которое с учетом фиксированных начальных значений (2.2.21), конечной массы mTи времени T принимает вид(δV + ψ1 δx1 + ψ2 δx2 + ψ3 δx3 + ψ4 δx4 )t=T = 0.(2.2.26)Здесь знак «δ» обозначает вариацию соответствующего параметра.Используя равенство (2.2.23), получим вариацию конечной скоростиx2 (T)x4 (T)δV (T) = δx2 (T) + δx4 (T).x22 (T) + x24 (T)x22 (T) + x24 (T)В силу условий (2.2.22), вариации δxi (T) (i = 1, .
. . , 4) связаны между собойсоотношениямиx1 (T)δx1 (T) + [R0 + x3 (T)]δx3 (T) = 0,1x1 (T)x4 (T)1δx1 (T) −δx4 (T).δx2 (T) −δx3 (T) = 2R0 + x3 (T)[R0 + x3 (T)]2x2 (T)x2 (T)Поэтому в конечный момент времени T лишь две из четырех вариаций являютсянезависимыми. Примем в качестве независимых вариаций δx2 (T), δx4 (T), а затем.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2. Оптимальная программа выведения на орбиту83выразим δx1 (T), δx3 (T) через независимые вариации:[R0 + x3 (T)]31x4 (T)δx4 (T) ,δx2 (T) −δx1 (T) =x2 (T)[R0 + x3 (T)]2 + x21 (T) x22 (T)x4 (T)x1 (T)[R0 + x3 (T)]21δx−δx(T)+(T).δx3 (T) =24x2 (T)[R0 + x3 (T)]2 + x21 (T)x22 (T)Подставим δV (T), δx1 (T), δx3 (T) в уравнение (2.2.26) и приравняем к нулюкоэффициенты перед независимыми вариациями δx2 (T), δx4 (T).
Отсюда найдемдва условия на значения сопряженных переменных ψ2 , ψ4 в конечный моментвремени T:2x2 (T)x4 (T) R0 + x3 (T)ψ2 (T) = − ×− 2R + hTx22 (T) + x24 (T) x2 (T)× {[R0 + x3 (T)]ψ1 (T) − x1 (T)ψ3 (T)},2R0 + x3 (T)x4 (T)1ψ2 (T) = −×+ (R + hTx22 (T) + x24 (T) x2 T)× {[R0 + x3 (T)]ψ1 (T) − x1 (T)ψ3 (T)}.Система уравнений движения (2.2.20) с граничными условиями (2.2.21), (2.2.22)и система сопряженных переменных (2.2.25) с конечными условиями дают полноерешение поставленной задачи.Зависимость программы угла тангажа от времени (2.2.24) может быть полученав явном виде при некоторых упрощающих предположениях. Будем считать, чтопротяженность активного участка мала по сравнению с радиусом Земли.
Тогдана активном участке x1 << R0 , x3 << R0 и с точностью до линейных членовотносительно x1 , x3 можно получить из формул (2.2.19)gx ≈ −g0гдеx1,R0gy ≈ −g0 + 2g0g0 =x3,R0μR20— ускорение земного притяжения на высоте, соответствующей началу системыкоординат. Отсюдаgx ≈ −ν̃ 2 x1 , gy ≈ −g0 + 2ν̃ 2 x3 ,гдеν̃ 2 =g0.R0(2.2.27)Тогда первые четыре уравнения сопряженной системы (2.2.25) принимают вид:ψ̇1 = ν̃ 2 ψ2 ,ψ̇2 = −ψ1 ,ψ̇3 = −2ν̃ 2 ψ4 ,ψ̇4 = −ψ3 ..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»84Глава 2.
Активный участокПосле интегрирования этой системы получим с учетом конечных значений сопряженных переменных:ψ1 (t) = ψ1 (T) cos ν̃(T − t) − ν̃ψ2 (T) sin ν̃(T − t),ψ1 (T)sin ν̃(T − t) + ψ2 (T) cos ν̃(T − t),ν̃√√√ψ3 (t) = ψ3 (T) ch 2ν̃(T − t) + 2ν̃ψ4 (T) sh 2ν̃(T − t),√ψ3 (T) √ψ4 (t) = √sh 2ν̃(T − t) + ψ4 (T) ch 2ν̃(T − t).2ν̃ψ2 (t) =Функции ψ2 (t) и ψ4 (t) подставим в соотношение (2.2.24) и получим формулу,определяющую оптимальную программу угла тангажа как явную функцию времени [2.8]:√√ψ3 (t)√sh2ν̃(T−t)+ψ(T)ch2ν̃(T − t)4tg ϑ = 2ν̃.(2.2.28)ψ1 (t)ν̃ sin ν̃(T − t) + ψ2 (T) cos ν̃(T − t)Угол тангажа ϑ отсчитывается от горизонтальной оси стартовой системыкоординат.Эта программа оптимального управления для центрального поля притяжения(2.2.28) отличается от программы линейного тангенса угла тангажа (2.2.15),найденной для плоскопараллельного поля притяжения.
Установим предельныйслучай, когда обе программы управления совпадают. Предварительно вычислимвеличину параметра ν̃ по формуле (2.2.27). Для ракет-носителей участок полетавторой ступени начинается на высоте 40 ÷ 60 км, отсюда ν̃ ≈ 1.2 · 10−3 с−1 .Длительность активного участка T полета за пределами атмосферы обычно непревышает 150 ÷ 200 с для двухступенчатых и 450 ÷ 500 с для трехступенчатыхракет-носителей.
Поэтому в ряде случаев можно предполагать параметр ν̃(T − t)малым. Тогда√√√sh 2ν̃(T − t) ≈ 2ν̃(T − t), ch 2ν̃(T − t) ≈ 1,sin ν̃(T − t) ≈ ν̃(T − t),cos ν̃(T − t) ≈ 1и формула (2.2.28) принимает видψ3 (T)(T − t) + ψ4 (T).tg ϑ =ψ1 (T)(T − t) + ψ2 (T)(2.2.29)Аналогичную формулу можно также получить, если не учитывать переменность поля земного притяжения.
Когда при этом величиныx1,R0x3,R0ν̃T,x4x2достаточно малы, то получается формула для угла тангажа, аналогичная (2.2.15).Таким образом, все результаты относительно оптимального управления, найденныев предположении плоскопараллельного поля притяжения, оказываются справедливыми и для центрального поля, если малы протяженность в пространствеи длительность по времени активного участка полета ЛА..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2.
Оптимальная программа выведения на орбиту85Проведенный анализ по выбору режимов работы двигателя и оптимальнойпрограммы угла тангажа относится к полету одной ступени ЛА. Как показанов работе [2.8], все результаты можно обобщить и на многоступенчатые ЛА.2.2.4. Программы тангажа и схемы выведения. Как уже отмечалось при анализе участка полета первой ступени, существующие ограничения по допустимойнормальной перегрузке, максимальному скоростному напору набегающего потокавоздуха или скоростному напору в момент разделения первой и второй ступенейприводят к почти единственному приемлемому управлению на первой ступени,которое обеспечивает, как уже отмечалось, траекторию гравитационного разворота,когда в процессе полета угол атаки близок к нулю. Обычно из последнего условияи подбирается программа угла тангажа для первой ступени, по возможности болееблизкая к программе гравитационного разворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
