Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Следовательно, идеальная скорость характеризует полные энергетические возможности ЛА (отсюда —второе название этой скорости).Идеальная скорость не зависит от режима работы двигателя (из-за допущенияPsp v = const).Если ЛА является многоступенчатым, то суммарная идеальная скорость вычисляется по формулеVch = g0Ni=1Psp vi lnm0i.mfi(2.4.2)Здесь N — число ступеней.Важным параметром для баллистических расчетов является величина отношения начальной массы ступени к ее конечной массе zi = m0i /mfi .Иногда в баллистическом анализе используется обратная числу zi величинаμfi = 1/zi = mfi /m0i .Величина Vch определяет приращение скорости, больше которого ЛА не можетполучить, если он только не движется, разгоняясь дополнительно к тяге еще поддействием силы притяжения.Основные способы увеличения величины Vch :• увеличение числа ступеней N или изменение разбиения ступеней (распределение полной массы ЛА по ступеням),• использование двигателей с более высокой удельной тягой Psp ,• увеличение числа zi каждой ступени.Как правило, эти способы оказываются взаимосвязанными.
Например, переходна новый двигатель с повышенной удельной тягой обычно требует установки новыхбаков, что в свою очередь приводит к изменению числа zi ступени. Или применениеРДТТ, имеющих более тяжелые баки, чем ЖРД, требует увеличения количестваступеней, чтобы пассивная масса ЛА отбрасывалась чаще. С другой стороны,возможно увеличение числа zi ступени за счет совершенствования конструкциии уменьшения ее массы.Для существующих многоступенчатых ЛА числа zi ступеней находятся в диапазоне 2 ÷ 6, а для одноступенчатого ЛА числа zi могут достигать 8 ÷ 10[2.5, 2.11, 2.12]..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.4. Интегрирование уравнений движения1032.4.2.
Приближенное интегрирование уравнений движения. Рассмотримупрощенные уравнения движения ЛА в скоростной системе координат:dVm= P cos α − mg sin θ − X ,dtmV 2dθ= P sin α − mg cos θ + Y +cos θ,mVdtR+hdhdL= V sin θ,= V cos θdtdtс начальными условиямиV (0) = V0 ,θ(0) = θ0 ,h(0) = h0 ,L(0) = L0 .Для получения оценки приращения конечной скорости ЛА за время работыдвигателя tf сделаем некоторые упрощающие предположения. В частности, будемсчитать известной зависимость от времени угла наклона траектории θ(t) и рассмотрим только уравнение для скорости:PXdV =cos α − g sin θ −dt.(2.4.3)mmВеличина тяги двигателя на высоте h вычисляется по формуле (см. п.
1.7)P(h) = Pv − ph Sa .ОтсюдаP(h) = Pv (1 − p̃γ̃),где(2.4.4)p̃ = ph /p0— относительное давление воздуха на высоте h,p0 SaPv − P0=PvPv— коэффициент высотности двигателя, рассматриваемый только для двигателяпервой ступени, который начинает работать с поверхности Земли, а заканчиваетпрактически в пустоте.После подстановки соотношения (2.4.4) в уравнение (2.4.3) получим посленесложных преобразований:PvPvPvXdV =− (1 − cos α) −p̃γ̃ cos α − g sin θ −dt.mmmmγ̃ =Проинтегрируем почленно это уравнение на участке полета одной ступени отt = 0 до t = tf :tftftfPvPvPvdt−(1 − cos α) dt−p̃γ̃ cos α dt −ΔV = Vf − V0 =mmm0tf−0tfg sin θ dt −00Xdt.m0(2.4.5).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»104Глава 2. Активный участокВ соответствии с (2.4.1), первый интеграл в (2.4.5) определяет идеальнуюскорость ступениm0ΔVch = g0 Psp v ln.mfВторой интеграл отличен от нуля, если угол атаки α ≡/ 0.
Этот интегралопределяет потери скорости на управление, которые возникают в процессе полетапри неколлинеарности векторов тяги и скорости:tfΔVctr =Pv(1 − cos α) dt = (1 − cos α)avmtf0илиPvdtm0ΔVctr = (1 − cos α)av ΔVch ,где(1 − cos α)av— среднеинтегральное по траектории полета значение.Третий интеграл обусловлен уменьшением тяги двигателя первой ступени приполете в атмосфере по сравнению с тягой в вакууме. (Для верхних ступеней этотинтеграл равен нулю.) Будем называть потерями скорости из-за уменьшения тягидвигателя в атмосфере (по сравнению с вакуумом) величинуtfΔVeng =Pvp̃γ̃ cos α dt = γ̃(p̃ cos α)av ΔVch .m0Учитывая, что на участке полета первой ступени α ≈ 0, получимΔVeng = γ̃p̃av ΔVch ,где p̃av — среднеинтегральное значение функции по траектории.Четвертый интеграл определяет потери скорости, вызванные действием притяжения.
Эти составляющие потерь являются самыми существенными, и их обычноназывают гравитационными потерями:tfΔVgrav =g sin θ dt = (g sin θ)av tf ,0где (g sin θ)av — среднеинтегральная по траектории полета величина. Следовательно, гравитационные потери скорости зависят от средней крутизны траекториии времени полета tf .Пятый интеграл определяет потери скорости на преодоление аэродинамического сопротивления и отличен от нуля только для первой ступени.
Этот интегралчасто называют аэродинамическими потерями:tfΔVaer =0X(Cx q)av Sdt =ΔVch ,mPv.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.4. Интегрирование уравнений движения105где (Cx q)av — среднеинтегральная по траектории величина. Видно, что с увеличением размеров ЛА аэродинамические потери должны уменьшаться.Итак, с учетом введенных соотношений для потерь скорости получим приращение скорости на участке полета одной ступени:ΔVf = ΔVch − ΔVctr − ΔVeng − ΔVgrav − ΔVaerили(Cx q)av Sm0g0 Psp v ln− (g sin θ)av tf .ΔVf = 1 − (1 − cos θ)av − γ̃p̃av −Pvmf(2.4.6)Характерно, что три составляющие потерь скорости выражаются в долях отидеальной скорости, которая определяется формулой Циолковского.Для оценки приращения скорости по формуле (2.4.6) необходимо знать среднеинтегральные коэффициенты потерь скоростиp̃av ,(Cx q)av ,(1 − cos α)av ,(g sin θ)av ,зависящие от траектории полета и параметров ЛА.
Приближенные формулы,позволяющие определить гравитационные и аэродинамические потери скорости,а также потери из-за уменьшения тяги двигателя в атмосфере, даны в работе[2.3]. Другой способ определения составляющих потерь скорости основан начисленном интегрировании уравнений движения с вычислением коэффициентовпотерь скорости.В случае варьирования исходных характеристик ЛА составляющие потерьскорости легко пересчитать с учетом изменяющихся параметров. Для летательныхаппаратов, располагающих примерно одинаковой величиной Vch , но достаточношироко отличающихся по стартовой массе, количеству ступеней, начальной тяговооруженности, используемой программы тангажа и т. п., суммарные потери скоростичасто оказываются примерно одинаковыми.
Различие составляет 100 ÷ 200 м/с, т. е.около 1 ÷ 2% от общего запаса Vch .Для многоступенчатого ЛА, который разгоняется от нулевой начальной скорости, оценку конечной скорости можно получить по следующей формуле:Vf =N(ΔVch i − ΔVctr i − ΔVeng i − ΔVgrav i − ΔVaer i )i=1или(Cx q)av Sm01g0 Psp v1 ln− (g sin θ)av1 tf 1 +Vf = 1 − γ̃p̃av −Pvmf 11N m0i(cos)av i g0 Psp vi ln+− (g sin θ)av i tfi .mfi(2.4.7)i=2Таким образом, конечная скорость многоступенчатого ЛА может быть вычислена как разность полной идеальной скорости и потерь на уменьшение тягидвигателя в атмосфере и аэродинамическое сопротивление первой ступени, потерьна управление в процессе полета второй и последующих ступеней, а такжесуммарных гравитационных потерь..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»106Глава 2.
Активный участокВ табл. 2.1 даны основные параметры рассматриваемых в качестве примера баллистической ракеты типа «Титан-2» и ракеты-носителя типа «Сатурн-5» [2.5, 2.11].Результаты вычисления потерь скорости на активных участках полета этих ЛАпредставлены в табл. 2.2 и 2.3.Хотя траектории существенно различаются по своим параметрам и назначению(баллистическая стрельба и выведение на орбиту), суммарные потери скоростиоказываются близкими.
Характерным является уменьшение аэродинамическихпотерь скорости первой ступени при увеличении начальной массы ЛА.Полученные формулы можно использовать для вычисления частных производных конечной скорости, массы полезной нагрузки, дальности стрельбы поконструктивным параметрам ЛА, т. е. нахождения так называемых энергетических,массовых и других «эквивалентов», которые необходимы в итерационной процедуре выбора оптимальных параметров ЛА.Таблица 2.1Основные параметры летательных аппаратовПараметрыТипа «Сатурн-5»1Типа «Титан-2»СтупениНачальная масса, тКонечная масса, тЧисло zМасса топлива, тКомпонентытопливаВеличина тяг, тс— на уровне моря— в вакуумеУдельная тяга, с— на уровне моря— в вакуумеСекундный расходтоплива, т/сИдеальнаяскорость, м/сНачальнаяперегрузкаВремя работы, сДиаметр, мМассаполезнойнагрузки, т1 Когда2 БезСтупени12123150.140.13.74110N2 O4 +аэрозин 5032.55.65.8026.9N2 O4 +аэрозин 5029658653.4321007012612.68440218.51151.90103.5RP − 1 + O2H2 + O2H2 + O2195215—45.434503980—480—92268295—305260300—425—4250.7280.14913.271.130.216382052603625412026741.301.381.160.690.421513182315810390104796.53.6(Азимут стрельбыA = 0)1032(Hкр = 200 км,i = 90◦ )ракета-носитель Сатурн-5 используется для выведения на орбиту.учета утяжеления конструкции при увеличении груза от 44 т («Аполлон») до 103 т..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
