Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При наличии двух точек пересечения,когда существуют оба корня (3.1.21), знак плюс будет соответствовать углу Φнисходящей траектории, а знак минус — восходящей (рис. 3.2). Можно показать,что для обычных начальных условий r0 , V0 , θ0 баллистической стрельбы уравнение(3.1.19) описывает эллиптическую траекторию [3.1].Чтобы найти дальность пассивного участкаLf = RE Φf ,(3.1.22).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.1. Прямая задача123надо установить угловую дальность Φf до точки пересечения траектории с поверхностью Земли, т. е.
положить в (3.1.21) r = RE . Тогда2b(RE ) + [b(RE )] + a(RE )c(RE ).(3.1.23)Φf = 2 arctga(RE )Рис. 3.2. Дальность пассивного участкаВ частном случае, когда радиусы начальной и конечной точек совпадают повеличине, имеемa(r0 ) = 2r0 (1 + tg2 θ0 − ν0 ),b(r0 ) = ν0 r0 tg θ0 ,c(r0 ) = 0,поэтомуtgилиΦ2b(r0 )= tg Φa =2a(r0 )ν0 tg θ0.1 + tg2 θ0 − ν0Здесь Φa — угловая дальность от начальной точки до апогея траектории.Полученные соотношение (3.1.21) и (3.1.23) позволяют с приемлемой точностью вычислить дальность внеатмосферного участка или в первом приближениивычислить дальность пассивного участка по заданным начальным условиям r0 ,V 0 , θ0 .tg Φa =.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»124Глава 3. Баллистика головной части3.1.3.
Определение координат точки падения ГЧ. Точные координаты точкипадения ГЧ находятся путем численного интегрирования уравнений движения.Приближенно эти координаты могут быть определены по конечным формулам безучета атмосферы.Предположим, что в начальной точке I траектории полета ГЧ известны долготаλ0 , широта ϕ0 , радиус r0 , а также скорость V0 , угол наклона траектории θ0 и азимутA0 в абсолютном движении.
Требуется определить долготу и широту F — точкипадения ГЧ на поверхность Земли. На рис. 3.3 с помощью сферы единичногорадиуса показаны основные геометрические соотношения.Используя заданные значения r0 , V0 , θ0 , можно по формуле (3.1.23) вычислитьугловую дальность Φf , пройденную ГЧ в абсолютном движении. Обозначим черезλf и ϕf соответственно долготу и широту точки падения ГЧ на поверхностиневращающейся Земли. Из сферического треугольника INF (рис. 3.3) по известнымформулам сферической тригонометрии найдем разность долгот λf −λ0 и широту ϕf :sin ϕf = cos Φf sin ϕ0 + cos A0 sin Φf cos ϕ0 ,sin A0 sin Φf,cos ϕfcos Φf − sin ϕ0 sin ϕfcos(λf − λ0 ) =.cos ϕ0 cos ϕfsin(λf − λ0 ) =(3.1.24)(3.1.25а)(3.1.25б)Рис.
3.3. Определение координат точки паденияТеперь можно определить координаты точки падения ГЧ на вращающейсяЗемле. За время tf пассивного полета ГЧ от начала движения I до места паденияF (рис. 3.3) точка с координатами λf и ϕf сместится по параллели из-за вращенияЗемли на угол ωE tf . В момент падения ГЧ под ней окажется точка F , имеющая.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2.
Обратная задача125долготуλf = λf − ωE tfи широту(3.1.26)ϕf = ϕf .Заметим, что формула (3.1.26) справедлива при любом направлении стрельбы.Способ расчета времени tf полета ГЧ по эллиптической траектории приводитсяв п. 3.2.3.Найденные географические координаты точки падения ГЧ, λf и ϕf , позволяютопределить угловую дальность пассивного полета с учетом вращения Земли,т. е. угловое расстояние между радиусами-векторами, проведенными в начальнуюточку I и точку падения F :Φf = arccos[sin ϕ0 sin ϕf + cos(λf − λ0 ) cos ϕ0 cos ϕf ].(3.1.27)Аналогично определяется азимут в относительном движении, т. е. угол междуплоскостью меридиана и плоскостью, проходящей через точки I, F и центр Земли:A 0 = arcsinsin(λf − λ0 ) cos ϕfsin Φf.
— абсолютная скорость ГЧ, то относительную скорость V можноЕсли Vвычислить по формуле −V = VωE × r,где r — текущий радиус-вектор ГЧ.Полученные соотношения дают возможность достаточно просто находить приближенное решение прямой задачи баллистики.3.2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧАОбратная задача баллистики состоит в определении начальных условий движения ГЧ, обеспечивающих попадание в заданную точку цели с географическимикоординатами λf , ϕf . Для упрощения задачи будем предполагать, что начальныекоординаты траектории ГЧ (долгота λ0 , широта ϕ0 , высота h0 ) заданы, а требуетсянайти начальные азимуты A0 , скорость V0 и угол наклона траектории θ0 в абсолютном движении.3.2.1. Определение потребных начальных условий полета ГЧ. Зададимсяв первом приближении временем полета ГЧ на пассивном участке tf .
Все параметры движения, вычисляемые ниже, также относятся к первому приближению.Абсолютные координаты точки прицеливания (на невращающейся Земле) вычисляются по формуламλf = λf + ωE tf ,ϕf = ϕf .Из сферического треугольника INF (рис. 3.3) можно найти угловую дальностьполета ГЧΦf = arccos [sin ϕ0 sin ϕf + cos(λf − λ0 ) cos ϕ0 cos ϕf ](Φf ≤ π),.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»126Глава 3.
Баллистика головной частиа затем азимут в абсолютном движении:sin(λf − λ0 ) cos ϕf,sin Φfcos ϕ0 tg ϕf − cos(λf − λ0 ) sin ϕ0.ctg A0 =sin(λf − λ0 )sin A0 =Определим теперь V0 (или ν0 ) и θ0 , обеспечивающие достижение заданнойугловой дальности Φf . Используя уравнение (3.1.19), где Φ = Φf и r = RE , найдемν0 =2(1 + tg2 θ0 ) tg2(r̃0 + 1 tg2Φf2+ 2 tg θ0 tgΦf2Φf2+ r̃0 − 1.(3.2.1)Напомним, что ν0 = r0 V02 /μ согласно (3.1.18).
Здесь r̃0 = r0 /RE . Из соотношения(3.2.1) видно, что обратная задача решается неоднозначно: заданная угловая дальность Φf может быть достигнута при различных сочетаниях ν0 и θ0 . Следовательно,выбор этих параметров можно подчинить какому-нибудь дополнительному условию. Например, выбирать ν0 минимально возможным при обеспечении заданнойдальности. Можно рассматривать требование минимизации промаха при наличииошибок начальных параметров движения, тогда θ0 оказывается достаточно большим, а траектория — крутой. Если решается задача повышения скрытности полетаГЧ, следует переходить на малые углы θ0 и пологие траектории [3.2].После выбора начальных параметров ν0 и θ0 первого приближения следуетуточнить соответствующее им время движения ГЧ на пассивном участке и повторить расчеты для получения второго приближения.
Итерационный процесспродолжается до достижения требуемой точности. Как правило, этот процесссходится за несколько шагов.В частном случае, когда r̃0 = 1, соотношение (3.2.1) упрощается:ν0 =(1 + tg2 θ0 ) tgtg θ0 + tgΦf2Φf2.(3.2.2)Рассмотрим дополнительное ограничение, связанное с минимизацией начальной скорости V0 (или параметра ν0 ).3.2.2. Оптимальный угол бросания.
Начальный угол наклона траектории, обеспечивающий максимальную дальность внеатмосферного (или в первом приближении пассивного) участка полета при фиксированных начальной скорости V0и начальном радиусе r0 , называется оптимальным углом бросания θ0opt .Для нахождения θ0opt воспользуемся необходимым условием оптимальностиdΦ= 0,dθ0рассматривая угловую дальность Φ как неявную функцию θ0 , определяемуюуравнением (3.1.19). Это уравнение для сокращения записи представим в видеF(Φ, θ0 ) = 0. ТогдаdFdΦ0= − dθ= 0,dFdθ0dΦ.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2. Обратная задачаоткуда следует, что должно выполняться условиеdF= 0.dθ0Дифференцируя (3.1.19) по θ0 , получим1Φ1Φ4r tg θ0tg2 − 2ν0 r 2 tg = 0cos2 θ02cos θ02tgΦmaxν0=.22 tg θ0optθ0 =127π, Φ = 0 ,2(3.2.3)Подставляя найденное значение tg Φ2 в уравнение (3.1.19), можно найтиоптимальный угол бросания для фиксированных краевых условий:!ν0 [2 − (r̃0 + 1)ν0 ]optθ0 = arctg,(3.2.4)2 [ν0 + 2 (r̃0 − 1)]maxгде r̃0 = r0 /RE — отношение начального радиуса к конечному.Полученное решение в силу взаимности будет обеспечивать также достижениезаданной дальности с минимальной начальной скоростьюV0min .Найдем V0min или, что то же самое, ν0min .
Для этого надо воспользоватьсяусловием (3.2.3) и выразить tg θ0opt через Φmax , ν0 , а затем подставить его в уравнение(3.1.19). В результате придем к квадратному уравнению относительно ν0min : min 2ΦmaxΦmax+ r̃0 − 1 ν0min − 4 tg2= 0,+ 2 (r̃0 + 1) tg2ν022разрешив которое, получим!2maxΦΦmaxΦmaxν0min = − (r̃0 + 1) tg2+ r̃0 − 1 ++ r̃0 − 1 + 4 tg2.(r̃0 + 1) tg2222(3.2.5)Перед радикалом выбран знак плюс, так как в противном случае получили быν0min < 0, что лишено смысла.
Если r̃0 = 1, тоΦmax 1 − sin Φ2.max2cos Φ2maxν0min = 2 tg(3.2.6)На рис. 3.4 построены оптимальные начальные параметры движения ГЧ, θ0optиобеспечивающие максимальную дальность пассивного участка Lmax. Приfмалых начальных скоростях (ν0min << 1) и r̃0 = 1 оптимальный угол бросанияблизок к 45о ; если же r̃0 > 1 , то углы бросания оказываются существенно меньше.С увеличением начальной скорости (ν0min → 1) оптимальные углы бросаниястремятся к нулю, и траектория полета ГЧ становится пологой.Найдем геометрический смысл оптимального угла бросания.
С этой цельюпредварительно преобразуем соотношение (3.2.1), используя заменыΦfsin ΦfΦf21tg==, 1 + tg2 θ0 =, 1 + tg2.21 + cos Φfcos2 θ021 + cos Φfν0min ,.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»128Глава 3. Баллистика головной частиРис. 3.4. Оптимальные параметры движенияТогда получим следующее соотношение:ν0 ==2 sin2 Φf =cos2 θ0 2r̃0 (1+ cos Φf )+ sin2 Φf + 2 tg θ0 sin Φf (1+ cos Φf )−(1+ cos Φf )2cos21 − cos Φf.θ0 (r̃0 − cos Φf ) + sin θ0 cos θ0 sin Φf(3.2.7)С другой стороны, при оптимальном угле бросания справедливо равенство(3.2.3), откуда имеем, опуская верхние индексы (max и opt) и полагая, чтоΦmax = Φf :ν0 =2 sin θ0 sin Φf.cos θ0 (1 + cos Φf )(3.2.8)Приравнивая правые части уравнений (3.2.7) и (3.2.8), найдем после несложныхпреобразований2 sin θ0 =затемsin Φf,cos θ0 (r̃0 − cos Φf ) + sin θ0 sin Φfsin 2θ0 (r̃0 − cos Φf ) = cos 2θ0 sin Φf.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»3.2.
Обратная задача129и окончательноctg 2θ0 =r̃0 − cos Φf.sin Φf(3.2.9)Найденное условие (3.2.9) устанавливает связь между оптимальным угломбросания θ0 и угловой дальностью пассивного участка Φf при заданной величинеотносительно радиуса r̃0 .Рис. 3.5. Геометрическое определение оптимального угла бросанияПостроим теперь треугольник 0IF, соединяющий центр Земли 0, начальную Iи конечную F точки пассивного участка (рис. 3.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
