Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 18
Текст из файла (страница 18)
М. Энеевым [2.8]. В целях упрощения вводятся следующие предположения:• аэродинамические силы отсутствуют,• поле земного притяжения является плоскопараллельным, ускорение силыпритяжения постоянно для всех высот (g = const),• вращение Земли отсутствует..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»74Глава 2. Активный участокУравнения движения ЛА в плоскости выведения 0xln yln (рис. 2.3) могут бытьзаписаны в видеdVxP= cos ϑ,dtmdVyP= sin ϑ − g,dtmdx= Vx ,dtdy= Vy .dt(2.2.1)Рис. 2.3. Схема выведения ЛА на заданную высотуЗдесь Vx , Vy — горизонтальная и вертикальная составляющие скорости; x, y —текущие горизонтальная и вертикальная координаты; P = W β̃ — тяга двигателя,регулируемая за счет величины секундного расхода топлива β̃ при постояннойскорости истечения W ; g — ускорение силы притяжения;tm(t) = m0 −β̃(t) dt0— текущая масса ЛА; ϑ — угол тангажа.Третье уравнение системы (2.2.1), определяющее горизонтальную координату,можно отбросить, так как в задаче выведения обычно не налагают ограничений надальность активного участка.Вводя обозначенияx1 = Vx , x2 = y, x3 = Vy , x4 = m,получим системуẋ1 =W β̃W β̃α1 , ẋ2 = x3 , ẋ3 =α2 − g, ẋ4 = −β̃,x4x4(2.2.2).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2.
Оптимальная программа выведения на орбиту75для которой заданы начальные условияxi (0) = x10(i = 1, 2, 3, 4).(2.2.2а)Точкой обозначены производные по времени; α1 = cos ϑ, α2 = sin ϑ.Будем искать оптимальную программу изменения вектора тяги P(t), т. е. такоеуправление u = (α1 , α2 , β̃), которое в конце участка выведения(t = T) на заданной высотеx2 (T) = y∗(2.2.3)обеспечивает максимум горизонтальной составляющей скорости x1 (T) принулевой вертикальной составляющей скорости x3 (T). В силу взаимности полученное решение будет обеспечивать также достижение при заданной скоростинаибольшей высоты, а также достижение заданных значений высоты и скоростипри минимальном расходе топлива [2.8]. Следовательно, будет решена задача обоптимальном выведении на орбиту.Область допустимых управлений зададим условиемβ̃min ≤ β̃ ≤ β̃max(β̃min ≥ 0)(2.2.4)и тривиальным соотношениемα21 + α22 = 1.(2.2.5)Время движения на участке выведения T может быть заданным или свободным.В последнем случае будем определять его из условия получения наибольшейгоризонтальной скорости в конце выведения.
Можно считать, чтоT ≥ Teng ,где Teng — время работы двигателя.В соответствии с принципом максимума Л. С. Понтрягина [2.9], составимгамильтониан с учетом соотношений (2.2.2) (см. Приложение 2): u) = ψ1 W β̃ α1 + ψ2 x3 + ψ3 W β̃ α2 − ψ3 g − ψ4 β̃H(x, ψ,x4x4или(2.2.6) u) = K(u) + H2 (x, ψ),H(x, ψ,гдеW(ψ1 α1 + ψ3 α2 ) − ψ4 ,x4 = ψ2 x3 − ψ3 g.H2 (x, ψ)K(u) = β̃(2.2.7)Найдем сопряженную систему:ψ̇1 = 0,ψ̇2 = 0,ψ̇3 = −ψ2 ,ψ̇4 =W β̃(ψ1 α1 + ψ3 α2 ).x24Для нее задано единственное условие в конце участка выведенияψ1 (T) = −1,(2.2.8).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»76Глава 2.
Активный участоктак как помимо условия (2.2.3) необходимо получить нулевую вертикальнуюсоставляющую скоростиx3 (T) = 0(2.2.9)и удовлетворить требованию по конечной массеx4 (T) = mf .(2.2.10)Здесь mf — заданная конечная масса ЛА.Для существования так называемого max-оптимального управления необходи u) достигалмо, чтобы в любой момент времени t ∈ [0, T] функционал H(x, ψ,абсолютного минимума на множестве допустимых управлений (2.2.4), (2.2.5) [2.9].Заметим, что от управления u зависит только часть гамильтониана, а именнофункция K(u), достигающая абсолютного минимума на указанном множестве приусловиях:ψ3,ψ(2.2.11)β̃max , если H1 > 0,β̃min , если H1 < 0,(2.2.12)α1 = −β̃ =гдеψ=ψ1,ψψ12 + ψ22 ,α2 = −H1 =Wψ + ψ4x4(2.2.13)— функция переключения.Как следует из (2.2.12), при оптимальном управлении величина тяги должнабыть максимальной либо минимальной (в пределе — нулевой), если H1 = 0.
Если жефункция переключения тождественно обращается в нуль на некотором конечноминтервале времени, то нельзя определить оптимальную величину секундногорасхода топлива β̃ из принципа максимума, т. е. возникает особое управление [2.9].Этот случай исследуем отдельно.Проинтегрируем первые три уравнения сопряженной системы (2.2.8):ψ1 = C1 ,ψ2 = C2 ,ψ3 = −C2 t + C3 .(2.2.14)С учетом граничного условияC1 = −1,ψ1 = −1.Определим теперь оптимальную ориентацию вектора тяги. Без ограниченияобщности рассматриваемой задачи можно принять, что ϑ = π/2, так как участоквертикального подъема занимает только малую часть времени в начале выведения.Тогда с учетом соотношений (2.2.11) и (2.2.14) получим условие оптимальнойориентации вектора тягиtg ϑ(t) =ψ3α2== C2 t − C3 .α1ψ1(2.2.15).Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2. Оптимальная программа выведения на орбиту77Согласно (2.2.15), при оптимальной программе выведения тангенс угла тангажа должен быть линейной функцией времени («закон линейного тангенса»).
Двапараметра, C2 и C3 , входящие в общее уравнение для программы угла тангажа,должны выбираться из условия получения заданной высоты в конце участкавыведения (2.2.3) и нулевой вертикальной составляющей скорости x3 (T) = 0.Итак, определена структура оптимального закона управления вектором тягиЛА, обеспечивающего максимальную величину горизонтальной составляющейскорости на заданной высоте или минимальный расход топлива для достижениятребуемой горизонтальной составляющей скорости на заданной высоте. Последнееэквивалентно получению максимальной полезной нагрузки.
Тем самым определеноуправление в модельной задаче оптимального выведения полезной нагрузки наорбиту.Если время выведения T не задано, то для его определения существуетследующее соотношение [2.9]: H x(T), ψ(T),u(T) = 0.Подставляя условия оптимального управления (2.2.12) и (2.2.13) в (2.2.2),получим уравнения движения, которые определяют оптимальную траекториювыведения:ẋ1 = −W β̃(H1 ) ψ1,x4ψẋ2 = x3 ,ẋ3 = −W β̃(H1 ) ψ3− g,x4ψẋ4 = −β̃(H1 ),или с учетом (2.2.14)ẋ1 =1W β̃(H1 ),x41 + (−C2 t + C3 )2ẋ2 = x3 ,−C2 t + C3W β̃(H1 )− g,ẋ3 = −x41 + (−C2 t + C3 )2(2.2.16)ẋ4 = −β̃(H1 ).Последнее уравнение (2.2.8) можно записать так:ψ̇4 = −илиψ̇4 = −W β̃(H1 )x24W β̃(H1 )ψx241 + (−C2 t + C3 )2 .(2.2.17)(2.2.17а)Таким образом, рассматриваемая задача оптимального разгона (или выведения)сведена к решению системы (2.2.16) и уравнения (2.2.17 а) с начальными условиями (2.2.2 а) и конечными (терминальными) условиями (2.2.3), (2.2.9) и (2.2.10).Для удовлетворения трех терминальных условий должны быть использованы двеконстанты, C2 и C3 , и произвольное начальное условие ψ4 (0)..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»78Глава 2.
Активный участок2.2.2. Анализ структуры оптимального управления. Оценим возможное число участков полета с максимальной и минимальной (или нулевой) тягой, а такжепорядок их чередования в процессе выведения. С этой целью исследуем числоперемен знака функции переключения H1 , так как согласно (2.2.12) по ее знакуопределяется текущий оптимальный режим работы двигателя.Дифференцируя функцию переключения (2.2.13) по времени, найдем, принимаяво внимание (2.2.17):WḢ1 =ψ̇.x4Поскольку W /x4 > 0, то sign Ḣ1 = sign ψ̇, и для оценки нулей функции переключения H1 через поведение ее производной Ḣ1 можно анализировать характеризменения ψ̇. НайдемC2 (C2 t − C3 )ψ̇ = ,(2.2.18)21 + (C2 t − C3 )откудаsign ψ̇ = sign C2 (C2 t − C3 ) .Линейная функция C2 (C2 t − C3 ) на отрезке времени t ∈ [0, T] может иметь небольше одного нуля, что в свою очередь определяет следующие основные случаиизменения ψ̇(t):1.
ψ̇ (t) > 0, t ∈ [0, T], 2. ψ̇ (t) < 0, t ∈ [0, T], 3. ψ̇ (0) ψ̇ (T) < 0,причем а) ψ̇(0) < 0, б) ψ̇(0) > 0.В соответствии с установленными случаями поведения функции ψ̇ (t) (или, чтото же самое, функции Ḣ 1 (t)) оценим возможное поведение функции переключенияH1 (t) на отрезке времени [0, T] и определяемые ею режимы работы двигателя.1. При Ḣ 1 (t) > 0 возможно не более одного изменения знака функции переключения, причем с «−» на «+». Двигатель все время должен работать в режимеминимальной (нулевой) или максимальной тяги или же иметь одно переключениес минимальной (нулевой) тяги на максимальную.2. При Ḣ 1 (t) < 0 возможно не более одного изменения знака функции переключения H1 (t), причем с «+» на «–».
Двигатель все время должен работать в режимеминимальной (нулевой) или максимальной тяги или же иметь одно переключениес максимальной тяги на минимальную (нулевую).3а. При Ḣ 1 (t) < 0, Ḣ 1 (T) > 0 возможно не более двух изменений знакафункции переключения H1 (t), причем с «+» на «−» и снова на «+». Помимоработы двигателя в одном режиме, максимальном или минимальном (нулевом),возможно переключение с максимального на минимальный (нулевой) или наоборот,а также последовательность максимального, минимального (нулевого) и сновамаксимального режимов.3б.
При Ḣ 1 (t) > 0, Ḣ 1 (T) < 0 возможно не более двух изменений знакафункции переключения H1 (t), причем с «–» на «+» и снова на «−». Двигательтакже может работать в одном режиме, максимальном или минимальном (нулевом); возможно переключение с минимального (нулевого) на максимальный илинаоборот, а также последовательность минимального (нулевого), максимальногои снова минимального режимов..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»2.2. Оптимальная программа выведения на орбиту79Возможные оптимальные режимы работы двигателя в задаче выведения показаны на рис.
2.4 а–е. Понятно, что если начальная скорость равна нулю, т. е.Vx (0) = Vy (0), то режимы, показанные на рис. 2.4 а, в, е, практически невозможныиз-за малой (или даже нулевой) тяговооруженности. Поэтому основными можносчитать режимы, показанные на рис. 2.4 б, г, д. В первом случае двигатель привыведении работает на максимальной тяге.
Во втором случае двигатель сначалаработает на максимальной тяге, а затем в момент времени tsw переключается наминимальную. В третьем случае два участка работы двигателя на максимальнойтяге разделены участком полета с минимальной (нулевой тягой) от моментавремени tsw1 до момента времени tsw2 . Реализация той или иной программы работыдвигателя зависит от заданной высоты выведения. Для низких высот подходитрежим постоянной тяги, для средних высот должен использоваться второй способс переключением максимальной тяги на минимальную, что позволяет увеличитьвремя работы двигателя (при постоянном запасе топлива) и тем самым поднятьвысоту выведения. Для больших высот целесообразно вводить пассивный (илис минимальной тягой) участок полета для набора высоты, а в конце выведенияснова включить двигатель на полную тягу для доразгона.Проанализируем возможность появления особого управления при H1 (t) ≡ 0.В этом случае выполняется условие Ḣ 1 (t) ≡ 0, откуда ψ̇ (t) ≡ 0.
СогласноРис. 2.4. Возможные режимы работы двигателя в задаче выведения.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»80Глава 2. Активный участоксоотношению (2.2.18), должно быть справедливым тождество C2 (C2 t − C3 ) ≡ 0,что дает C2 = 0 или (C2 t − C3 ) ≡ 0. Последнее возможно только при C2 = C3 = 0.Предположим сначала, что C2 = 0. Тогда ψ2 = 0, а ψ3 = C3 . По исходномупредположению H1 (t) ≡ 0, следовательно, H = −C3 g и C3 = 0. Таким образом,рассматриваемый случай оказался совпадающим со вторым, когда предполагается,что C2 = C3 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
