Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика и наведение летательных аппаратов (2-е изд., 2013) (1246775), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уравнения движения ЛА относительно центра масс. Как уже отмечалось, движение ЛА относительно центра масс удобно рассматривать в связаннойсистеме координат. Если распределение массы ЛА имеет плоскость симметрии, тоIxz = Iyz = 0. Тогда из векторного уравнения (1.1.12), описывающего движение ЛАотносительно центра масс, получаются следующие уравнения для производных повремени составляющих угловой скорости ЛА в связанных осях:Izz − IyyIxyΣMx1ω̇x =−ωy ωz − ωx ωz +2 /I I1 − IxyIIIxxxx yyxxxxIxy ΣMyIxyIxx − Izz+−ωx ωz − ωy ωz ,IxxIyyIyyIyyIxyΣMy1Ixx − Izz−ωx ωz + ωy ωz +(1.8.5)ω̇y =21 − Ixy /Ixx Iyy IyyIyyIyyIxy ΣMxIzz − IyyIxy+−ωy ωz − ωx ωz ,IyyIxxIxxIxxIyy − IxxIxy 2ΣMzω̇z =ωx − ωy2 .−ωx ωy −IzzIzzIzzЗдесь ΣMx , ΣMy , ΣMz — составляющие в связанных осях всех действующих на ЛАмоментов.Вектор угловой скорости ЛА можно представить в виде суммы следующихслагаемых: ω = γ̇ + ϑ̇ + ψ̇.Проектируя это уравнение на оси связанной системы координат, получимкинематические соотношенияωx = γ̇ + ψ̇ sin ϑ,ωy = ϑ̇ sin γ + ψ̇ cos γ cos ϑ,ωz = ϑ̇ cos γ − ψ̇ sin γ cos ϑ.Отсюда можно определить производные по времени углов рыскания, тангажаи крена:ψ̇ = (ωy cos γ − ωz sin γ)1,cos ϑϑ̇ = ωy sin γ + ωz cos γ,(1.8.6)γ̇ = ωx − (ωy cos γ − ωz sin γ) tgϑ (cos ϑ = 0) .При cos ϑ = 0 ϑ = ± π2 движение по крену перестает отличаться от движенияпо рысканию.
Если в исследуемой задаче такая ситуация возможна, то ее следуетпроанализировать особо.Установим теперь связь аэродинамических сил и моментов с текущими параметрами движения ЛА. Сначала рассмотрим осесимметричный ЛА типа ракеты,для которого аэродинамические силы и моменты зависят от пространственного.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»58Глава 1. Уравнения движенияугла атаки αs . Для определения этого угла предварительно рассмотрим скоростьЛА относительно вращающейся атмосферы =V abs − ωV E × r, abs — вектор абсолютной скорости ЛА, ωгде V E — вектор угловой скорости вращенияЗемли, r– текущий радиус-вектор ЛА, проведенный из центра Земли. Тогдаединичный вектор относительной скорости ЛА вычисляется как0 = V .V|V |Величину углаαs можно найтииз скалярного произведения единичного вектора 0 = V 0 , V 0 , V 0 , задаваемого в начальной стартовой системескорости Vz lnx lny ln 0 , направленного по связанной оси 0x:координат, и единичного вектора X0 ·X 0.cos αs = VСоставляющие единичного вектора в начальной стартовой системе координатопределяются первой строкой матрицы перехода L.
Тогдаαs = arccos Vx0ln cos ϑ cos ψ + Vy0ln sin ϑ − Vz0ln cos ϑ sin ψ .(1.8.7)Зная угол атаки αs , текущее число M и высоту h полета, можно по заданнымаэродинамическим характеристикам ЛА определить коэффициенты осевой Cτ (αs ,M, h) и нормальной Cn (αs , M, h) составляющих полной аэродинамической силы.Нормальная составляющая будет располагаться в плоскости угла атаки, образован0 иX 0 , причем она будет направлена перпендикулярно продольнойной векторами V0оси, т.
е. вектору X . Отсюда определим вектор нормальной силы = Cn qS N 0,N 0 задается условиемгде единичный вектор N0 =N1 0 0 0 (sin αs = 0).(V × X ) × Xsin αsЕсли sin αs = 0 (αs = 0 или π), то нормальная сила не возникает (Сn = 0). 0 удобно вычислять в связанной системе координат, гдеСоставляющие вектора N 0 = (Vx0 , Vy0 , Vz0 ),VТогда можно найти0N = 0 = (1, 0, 0).XVy0V00, −,− zsin αssin αs,а затем определить составляющие полной аэродинамической силы в связанныхосяхVy0V0X = −Cτ qS, Y = −Cn qS, Z = −Cn qS z .sin αssin αs.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.8. Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат59Компоненты единичного вектора скорости в этих осях вычисляются поформуламVy0 = Vx0ln (sin γ sin ψ − cos γ sin ϑ cos ψ) + Vy0ln cos γ cos ϑ++ Vz0ln (sin γ cos ψ + cos γ sin ϑ sin ψ),Vz0 = Vx0ln (cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ) − Vy0ln sin γ cos ϑ+(1.8.8)+ Vz0ln (cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ).Найдем момент полной аэродинамической силы относительно центра масс ЛА: a = rF × N,Mгде rF = (xF , 0, 0) — радиус-вектор фокуса ЛА в связанных осях.
Отсюда имеемсоставляющие вектора аэродинамического момента в связанных осях:Max = 0,May = xF Cn qSVz0,sin αsMaz = −xF Cn qSVy0.sin αsУ статически устойчивого ЛА фокус находится позади центра масс (xF < 0);у статически нейтрального ЛА фокус совпадает с центром масс (xF = 0),а у статически неустойчивого ЛА фокус находится перед центром масс (xF > 0).Как правило, баллистические ракеты и ракеты-носители являются статическинеустойчивыми.Таким образом, для ЛА типа ракеты составляющие реактивной, аэродинамической и управляющей сил и моментов могут быть представлены в следующемвиде:Px + X + Xctr = Px − Cτ qS + Cxδ δx ,Vy0+ Cyδ δϑ ,sin αsV0= Pz − Cn qS z + Czδ δψsin αsPy + Y + Yctr = Py − Cn qSPz + Z + ZctrиΣMx =(1.8.9)(yPj Pzj − zPj Pyj ) + Cγδ δγ ,jΣMy =(zPj Pxj − xPj Pzj ) + xF Cn qSVz0+ Cψδ δψ ,sin αs(xPj Pyj − yPj Pxj ) − xF Cn qSVz0+ Cϑδ δϑ .sin αsjΣMz =j(1.8.10)тягидвигателя в связаннойЗдесь Pxj , Pyj , Pzj — составляющие j-го маршевогосистеме координат; Px =Pxj , Py =Pyj , Pz =Pzj ; xPj , yPj , zPj — компонентыjjjрадиуса-вектора, соединяющего начало координат и точку приложения тяги j-гомаршевого двигателя; коэффициенты Cxδ , Cyδ , Czδ , Cγδ , Cψδ , Cϑδ и величины.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»60Глава 1.
Уравнения движенияотклонения «рулей» δx , δγ , δψ , δϑ определяются типом используемых органовуправления (см. 1.6). Изменение по времени положения «рулей» определяетсяпринятым алгоритмом управления.Текущая масса ЛА вычисляется по формулеm(t) = m0 + ṁt,где m0 = m(0) — начальная масса,ṁ = −(m)β̃j−j(1.8.11)(ctr)β̃j(1.8.12)j(m)— суммарный секундный расход массы, β̃j— секундный расход массы топлива(ctr)β̃j— секундный расход топлива j-го рулевого двигатеj-го маршевого двигателя,ля (если управление осуществляется при помощи специальных двигателей).При известном алгоритме работы автомата стабилизации, формирующего потребные отклонения «рулей», соотношения (1.8.9), (1.8.11), (1.8.12) позволяютвычислять составляющие кажущегося ускорения (1.8.3), а затем интегрироватьуравнения движения центра масс (1.8.2).
Составляющие силы притяжения определяются принятой моделью гравитационного поля. Для вычисления текущегопространственного угла атаки (1.8.7) одновременно должны интегрироваться уравнения движения ЛА относительно центра масс (1.8.5), где составляющие моментовопределяются уравнениями (1.8.10).1.8.5. Движение ЛА самолетного типа. Обсудим теперь некоторое отличиеуравнений движения ЛА самолетного типа.
Для него аэродинамические силыи моменты задаются в полусвязанной системе координат как функции угловатаки α и скольжения β. Переход к связанным осям осуществляется с помощьюпреобразований (1.4.1). Определим углы α и β через текущие параметры движения.Пусть Z 0 — единичный вектор, направленный по связанной оси 0z (или оси 0zsb ,так как эти оси совпадают). Его составляющие в начальной стартовой системекоординат соответствуют последней строке матрицы L (1.2.1a):Zx0 ln = cos γ sin ψ + sin γ sin ϑ cos ψ,Zy0 ln = − sin γ cos ϑ,Zz0ln = cos γ cos ψ − sin γ sin ϑ sin ψ.
0 и Z 0 имеем:Из скалярного произведения векторов Vβ = arcsin Vx0ln Zx0 ln + Vy0ln Zy0 ln + Vz0ln Zz0ln . 0 , направленный по оси 0xsb полусвязаннойНайдем теперь единичный вектор Xsbсистемы координат. Единичный вектор1 0 Z × V0cos β.Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»1.8.
Уравнения движения в начальной стартовой (инерциальной) системе координат61направлен по оси 0ysb . Тогда требуемый единичный вектор определяется какZ 0 × V 0 × Z 0 , sb0 = 1Xcos βоткуда находятся его составляющие в стартовых осях1 0 0 0ZZ V − Zx0 ln Vz0ln − Zy0 ln Zx0 ln Vy0ln − Zy0 ln Vx0ln ,Xx0sb =cos β z ln z ln x ln1 0 0 0Zx ln Zx ln Vy ln − Zy0 ln Vx0ln − Zz0ln Zy0 ln Vz0ln − Zz0ln Vy0ln ,Xy0sb =cos β1 0 0 0Zy ln Zy ln Vz ln − Zz0ln Vy0ln − Zx0 ln Zz0ln Vx0ln − Zx0 ln Vz0ln .Xz0sb =cos β0 и X0:Угол атаки α определим из скалярного произведения векторов Xsbα = arccos(Xx0ln Xx0sb + Xy0ln Xy0sb + Xz0ln Xz0sb ),гдеXx0ln = cos ϑ cos ψ,Xy0ln = sin ϑ,Xz0ln = − cos ϑ sin ψ.Зная углы α и β, а также число M и высоту h полета, можно вычислитькоэффициенты аэродинамических сил и моментов по заданным характеристикамЛА.
Затем найдем в связанных осях составляющие силPx + X + Xctr = Px + (−Cx cos α + Cy sin α)qS + Cxδ δx ,Py + Y + Yctr = Py + (Cx sin α + Cy cos α)qS + Cyδ δϑ ,Pz + Z + Zctr = Pz + Cz qS + Czδ δψи моментовMx =(yPj Pzj − zPj Pyj ) + mx qSl + mxω̄x ωx qSjMy =jMz =jω̄(zPj Pxj − xPj Pzj ) + my qSl + my y ωy qSl2+ Cγδ δγ ,Vl2+ Cψδ δψ ,V(xPj Pyj − yPj Pxj ) + mz qSLf + mzω̄z ωz qSL2fV+ Cϑδ δϑ .Здесь дополнительно учтены демпфирующие моменты, которыми для ЛА типабаллистических ракет и ракет-носителей обычно пренебрегают.В результате интегрирования уравнений движения центра масс, записанныхв начальной стартовой системе координат, и уравнений движения относительноцентра масс, записанных в связанной системе координат, определяются текущие координаты ЛА и составляющие его вектора скорости, а также его пространственнаяориентация.
По найденным величинам можно вычислить все требуемые параметрыдвижения, например, трассу на поверхности Земли, составляющие скорости относительно поверхности Земли или относительно вращающейся атмосферы и т. п..Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»62Глава 1. Уравнения движенияЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 11.1.
Мещерский И. В. Работы по механике тел переменной массы. — М.: Гостехиздат, 1949.1.2. Циолковский К. Э. Исследование мировых пространств реактивными приборами // Научное обозрение. 1903. № 5.1.3. Аппазов Р. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Баллистика управляемых ракетдальнего действия. — М.: Наука, 1966.1.4. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М. Теория неуправляемых ракет. — М.: Физматгиз, 1959.1.5. Карагодин В. М. Теоретические основы механики тела переменного состава. — М.: Оборонгиз, 1963.1.6. Космодемьянский А. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
