Лазарев Ю.Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов (2007) (1246773), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким образом, для определе∂u∂H(t ) необходимо проинтегрировать слева на∂uправо систему (1.9) и справа налево систему (2.17).Метод плавающих узлов основан на замене независимой переменной путём отображения отрезка времени [0, T ] в отрезок [ 0 ,1 ] .Для этого вводится функция v(τ ) = t , τ ∈ [0,1] , v(0) = 0 , v[1] = T , коdv≥ 0 , исторая должна удовлетворять условию монотонностиdτния зависимости60Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________ключающему обратный ход времени. Функция v является дополнительным управлением, связанным с расположением узлов аппроксимации.Система уравнений (1.9), функционалы (2.4), (2.5) и (2.10) после замены переменной приобретают вид:dx dv=f ( x, u ) ,dτ dτ1F [u (τ )] = ∫ Φ[ x(τ ), u (τ )]dτ ,0F [u (τ )] = Φ[ x(τ ′)] ,τ′F [u (τ )] = ∫ Φ[ x(τ ), u (τ )]dτ ,0где τ ′ − заданная точка на [0,1] .Вариации функционалов после замены независимой переменной зависят от малых локальных вариаций δu управления u и δvфункции замены времени v следующим образом:11dv ∂Hdδ v(τ )dτ .δF [δu (τ ), δv(τ )] = ∫δu (τ )dτ + ∫ H (τ )dudττ∂00Выражение для вариации функциональной производной приводится к виду [46]1dv ∂Hδu (τ )dτ −duτ∂0δF [δu (τ ), δv(τ )] = ∫1du dHδv(τ )dτ + H (1)δv(1) .dduτ0−∫Последнее соотношение позволяет преобразовать условия(2.18) − (2.20) к виду:δu (τ ) ∈ δU , δv(τ ) ∈ δV при всех τ ∈ [0,1] ,(2.22)61Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________1dv ∂H ( j )du ∂H ( j )F j [u (τ )] + ∫δu (τ ) dτ − ∫δv(τ )dτ +dτ∂udτ∂u001+ H ( j ) (1)δv(1) ≤ 0 ( j = 1,2,..., m) ,(2.23)1⎞⎛ 1 dv ∂H (0)dv ∂H (0)⎜min ∫δu (τ )dτ − ∫δv(τ )dτ + H (0) (1)δv(1) ⎟ (2.24)⎟δu ,δv⎜⎝ 0 dτ ∂u0 dτ ∂u⎠где δV − малая окрестность функции v .При численном решении управление u (τ ) и функция v(τ ) задаются набором значений в узловых точках на отрезке [0,1]. Условия (2.22) − (2.24) приводятся к задаче линейного программирования относительно неизвестных δui и δvi :δui− ≤ δui ≤ δui+ , δvi− ≤ δvi ≤ δvi+ (i = 1,2,..., N ) ,NF j + ∑ hi( j )δuii =1N+ ∑ pi( j )δvi ≤ 0 ( j = 1,2,..., m) ,(2.25)(2.26)i =2N⎛ N ( 0)⎞min ⎜⎜ ∑ hi δui + ∑ pi(0)δvi ⎟⎟ ,δu ,δv⎝ i =1i=2⎠(2.27)где δui− , δui+ , δvi− , δvi+ − малые заданные величины; h ( j ) , p ( j ) − коэффициенты, определяемые по интегральным зависимостям, например, [45, 46]:h1( j )τ2τ −τdτ ,= λ1 ∫ ω ( j ) (τ ) 2−ττ21τ1hi( j )hN( j )62= λi −1τi∫ ωτ i −1= λ N −1τN( j)τ i +1τ −ττ − τ i −1(τ )dτ −λi ∫ ω ( j ) (τ ) i +1dτ ,−τττ i − τ i −1i +1iτ( j)∫ ω (τ )τ N −1iτ − τ N −1dτ ,τ N − τ N −1(2.14)Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________pi( j )τiτ i +1⎧⎪⎫⎪τ i +1 − ττ − τ i −1( j)( j)dτ +χ i ∫ ω (τ )dτ ⎬,= − ⎨ χ i −1 ∫ ω (τ )−ττ−ττ−1i+1iii⎪⎩⎪⎭τ i −1τi( j)pNτN⎫⎪⎧⎪τ − τ N −1dτ ⎬ + H ( j ) (1) ,= −⎨λ N −1 ∫ ω ( j ) (τ )τ N − τ N −1 ⎪⎪⎩τ N −1⎭(i = 2,3,..., N − 1) , ( j = 0,1,..., m) .Поиск управления u , функции v , вариаций δu и δv , а также∂Hв классе кусочно-линейных функпредставление производных∂uций позволяет получить конечные соотношения для производныхdu dv,и коэффициентов h ( j ) и p ( j ) .dτ dτКусочно-линейные зависимости управления u , функции v , ва∂Hриаций δu и δv и производныхимеют вид∂uu − uiu (τ ) = ui + i +1(τ − τ i ) ,τ i +1 − τ iv(τ ) = vi +vi +1 − vi(τ − τ i ) ,τ i +1 − τ iδu (τ ) = δui +δui +1 − δui(τ − τ i ) ,τ i +1 − τ iδv(τ ) = δvi +δvi +1 − δvi(τ − τ i ) ,τ i +1 − τ iω − ωi∂H(τ ) = ω (τ ) = ω i + i +1(τ − τ i ) (i = 1,2,..., N − 1) ,∂uτ i +1 − τ iгде ui , vi , δui , δvi , ω i − значения величин в узловых точках τ i .dudvив узловых точках вычисляютЗначения производныхdτdτся по формулам63Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________u −udu= χ i = i +1 i ,τ i +1 − τ idτ τ =τ iv −vdv= λi = i +1 idτ τ =τ iτ i +1 − τ iВыполнение условия(i = 1,2,..., N − 1) .dv≥ 0 обеспечивается приdtδvi− = (vi − vi −1 ) / 2 (i = 2,3,..., N ) ,δvi+ = (vi +1 − vi ) / 2 (i = 2,3,..., N − 1) .Возможность совпадения двух соседних узловых точек позволяет формировать не только непрерывное, но и разрывное кусочнолинейное управление. Малость допустимой окрестности δV обеспечивается заданием ограничений δvi− ≤ ε v , δvi+ ≤ ε v где ε v << 0 .Коэффициенты h ( j ) и p ( j ) вычисляются по формулам [80]1⎛1⎞h1( j ) = λ1 (τ 2 − τ 1 )⎜ ω1( j ) + ω 2( j ) ⎟ ,6⎝3⎠11⎛1⎞⎛1⎞hi( j ) = λi −1 (τ i − τ i −1 )⎜ ω i( j ) + ω i(−j1) ⎟ + λi (τ i +1 − τ i )⎜ ω i( j ) + ω i(+j1) ⎟ ,66⎝3⎠⎝3⎠⎛ 1 ( j) 1 ( j) ⎞h N( j ) = λ N (τ N − τ N −1 )⎜ ω N+ ω N −1 ⎟ ,6⎝3⎠1⎧⎛1⎞pi( j ) = −⎨ χ i −1 (τ i − τ i −1 )⎜ ω i( j ) + ω i(−j1) ⎟ +6⎝3⎠⎩1⎛1⎞⎫+ χ i (τ i +1 − τ i )⎜ ω i( j ) + ω i(+j1) ⎟⎬ ,6⎝3⎠⎭⎧⎛ 1 ( j ) 1 ( j ) ⎞⎫( j)pN= − ⎨ χ N −1 (τ N − τ N −1 )⎜ ω N+ ω N −1 ⎟⎬ + H ( j ) (1)6⎠⎭⎝3⎩(i = 2,3,..., N − 1) , ( j = 0,1,..., m) .64(2.29)Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________Использование метода плавающих узлов вместо других способов конечномерной аппроксимации задачи совместно с методомпоследовательной линеаризации приводит к повышению размерности задачи линейного программирования.
Размерность матрицы коэффициентов h (2.15) без использования метода плавающих узловравна (m + 1) × (r × N ) , где (m + 1) − число функционалов задачи, r− размерность вектора управлений, N − число узловых точек аппроксимации. При использовании метода плавающих узлов общаяразмерность матрицh и p (2.29) увеличивается до(m + 1) × ((r + 1) × N ) .К такому же увеличению размерности задачи линейного программирования приводят и некоторые другие способы неравномерного расположения по времени узлов аппроксимации, в результатеприменения которых, например, увеличивается размерность вектора управлений r .Отметим, что наибольший объём вычислений при реализациичисленной процедуры решения задачи линейного программирования на каждой итерации улучшения управления методом последовательной линеаризации производится при численном интегрировании основной (1.9) и сопряжённой (2.17) систем дифференциальных уравнений, которое производится в одинаковом объёме прииспользовании всех рассмотренных способов конечномерной аппроксимации.Поэтому применение метода плавающих узлов незначительноувеличивает время расчётов, заметно увеличивая необходимый объём оперативной памяти вычислительной машины.
Усложнениевычислительной процедуры при конечномерной аппроксимации сиспользованием метода последовательной линеаризации компенсируется повышением эффективности процесса поиска улучшенногоуправления.2.3. Решение задачи линейного программирования2.3.1. Задача линейного программирования. Для решениязадач с ограничениями в виде неравенств используется вычислительный аппарат линейного программирования. При решении задачоптимального управления появляются задачи линейного програм65Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________мирования, требующие использования нестандартных, специализированных методов решения.Задачи линейного программирования, возникающие при решении задач оптимального управления методом последовательнойлинеаризации, являются конечно-разностными аппроксимациямиконтинуальных задач вида (2.1) − (2.3): найти функцию δu (t ) из условийTmin ∫ ω (0) (t )δu (t )dt ,δu ( t ) 0F( j)T+ ∫ ω ( j ) (t )δu (t )dt = 0(≤ 0)( j = 1, 2 ,..., m ) ,0δu − (t ) ≤ δu (t ) ≤ δu + (t ) .Задача линейного программирования появляется как характерная промежуточная задача в алгоритмах поиска минимума послепроведения конечномерной аппроксимации.
Она формулируетсяследующим образом: найти числа s из условийNmin ∑ si hi(0) ,(2.30)F ( j ) + ∑ si hi(0) = 0(≤ 0) ( j = 1,2,..., m) ,(2.31)s i i =1Ni =1si− ≤ si ≤ si+(i = 1,2,..., N ) .(2.32)Здесь hi( j ) , F ( j ) , si− , si+ - заданные числа.2.3.2. Итерационный метод решения. Разработано большоеколичество алгоритмов точного решения задачи (2.30) − (2.32), которые известны как симплекс-метод.
Как прямые, так и двойственные варианты симплекс-метода позволяют решать задачи линейного программирования с ограничениями типа неравенств.Реализация симплекс-метода встречает определенные трудности в задачах высокой размерности. Это связано с тем, что в такихзадачах приходится работать с матрицей очень большого объёма. В66Глава 2. Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________то же время исходная матрица, будучи слабо заполненной, частоможет быть размещена в оперативной памяти вычислительной машины, если элементы матрицы можно не запоминать, а вычислятьпо сравнительно простым формулам. В таких ситуациях итерационные приближённые методы, не преобразующие исходную формузадачи и не порождающие новые объекты типа матрицы общегоположения, могут оказаться предпочтительными и даже единственно реализуемыми.При формировании управления методом последовательной линеаризации более важна другая причина, заставляющая обратитьсяк итерационным методам [139].После проведения конечномерной аппроксимации путём введения на отрезке времени [0, T ] сетки с большим числом интервалов (например, в рассматриваемых в монографии задачах N=50−100и более) при наличии в условиях задачи многочисленных ограничений (в рассматриваемых задачах m =1−10) приходится иметь делос задачей вида (2.30) − (2.32), решение которой симплекс-методомзатруднительно.
Кроме того, полученную промежуточную задачулинейного программирования нет необходимости решать точно,достаточно получить приближённое решение итерационным методом, задав приемлемую точность решения.Итак, рассмотрим задачу: заданы (m + 1) -мерные векторы {hi },F , e и числа si+ , si− , (i = 1,2,..., N ) . Определено линейное отобра-{жение N -мерного прямоугольника σ : si− ≤ si ≤ si+многогранник P в (m + 1) -мерном пространстве:} в выпуклыйNP : f = F + ∑ si hi .i =1Требуется найти точку λe ∈ P с наименьшим λ и ее прообраз вσ , где e − вектор, орт (m + 1) -мерного пространства, соответствующий оси j = 0 .Алгоритм приближённого решения задачи линейного программирования по основной идее близок к двойственному вариантусимплекс-метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
