Лазарев Ю.Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов (2007) (1246773), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________не имеют производных Фреше. Они дифференцируемы в некоторомспециальном смысле − по направлениям в функциональном пространстве (по Гато).
При численном решении задач функционалы,дифференцируемые по Гато, заменяются одним или аппроксимируются с помощью специальных процедур несколькими функционалами, дифференцируемыми по Фреше.Способ дифференцирования функционалов вида (2.4), (2.5)сводится к расчёту по следующим соотношениям.Элементы матрицы ω (t ) частных производных m функционалов Фреше по r управляющим воздействиям размерности r × mвычисляются по формулеω (t ) = f u (t )ψ (t ) + Φ u ,(2.8)где f u (t ) = f u [ x(t ), u (t )] − сопряжённая матрица размерности r × nчастных производных правых частей уравнений (1.9) по управляющим воздействиям; Φ u − матрица размерности r × m частных производных функций Φ , входящих в выражения для функционалов,по управляющим воздействиям u .Элементы матрицы сопряжённых переменных ψ размерностиn × m являются решением сопряжённой системы дифференциальных уравненийψ& = − f x (t )ψ (t ) − Y (t ) ,(2.9)где f x (t ) = f x [ x(t ), u (t )] − сопряжённая матрица размерности n × nчастных производных правых частей дифференциальных уравнений (1.9) по фазовым координатам; Y ( t ) − матрица размерностиn× m.Для функционалов вида (2.4) Y (t ) = Φ x (t ) , где Φ x − сопряжённая матрица размерности n × m частных производных функций Φпо фазовым координатам x .
Система уравнений (2.9) интегрируетсясправа налево с граничным условием ψ (T ) = 0 .Для функционалов вида (2.5) Y (t ) = 0 , Φ u = 0 , а система (2.9)интегрируется справа налево с граничным условием ψ (t ′) = Φ x (t ′) ,причём ψ (t ) ≡ 0 при t ′ < t ≤ T .В задачах формирования управления траекториями аэрокосмических аппаратов большое значение имеют функционалы вида [83]51Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________t′F [u (t )] = ∫ Φ[ x(t ), u (t )]dt ,(2.10)0с помощью которых могут быть заданы ограничения на фазовыекоординаты и режимы движения в любой точке траектории.Для функционалов (2.10) элементы матрицы функциональныхпроизводных и сопряжённых переменных вычисляются в соответствии с (2.8) и (2.9), причём Y ( t ) = Φ x ( t ) . Система (2.9) интегрируется справа налево с граничным условием ψ ( t ′ ) = 0 , причёмψ ( t ) ≡ 0 при t ′ ≤ t ≤ T [83].Таким образом, для дифференцирования функционалов вида(2.4), (2.5) и (2.10) необходимо проинтегрировать слева направосистему уравнений (1.9) и справа налево сопряжённую системууравнений (2.9), а также провести сложение, вычитание и перемножение матриц в соответствии с приведёнными соотношениями.2.2.
Конечномерная аппроксимация2.2.1. Преобразование задачи. Численная реализация методапоследовательной линеаризации осуществляется с использованиемконечномерной аппроксимации, которая позволяет процесс улучшения управления свести к последовательному решению стандартных задач линейного программирования. Хорошо разработанный ишироко применяемый математический аппарат линейного программирования позволяет эффективно решать задачи с ограничениями. Рассмотрим способы редукции непрерывной задачи (2.1) −(2.3) к последовательности решений задач линейного программирования конечной размерности.При выполнении очередной итерации улучшения управленияметодом последовательной линеаризации исходная непрерывнаязадача преобразуется в конечномерную задачу вследствие заменыдифференциальныхуравненийдвижения(1.9)конечноразностными при их численном интегрировании.
В процессе численного интегрирования на отрезке времени [0, T ] , относящемся кисследуемому участку траектории, размещаются точки ti(i = 1,2,..., N ) − узлы, которым соответствует вся необходимая информация для решения линейного приближения задачи (2.1) − (2.3).52Глава 2. Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________После размещения узлов ti в узловых точках вычисляются значения фазовых координат xi , сопряжённых переменных ψ i ифункциональных производных ω i , а также фиксируются соответствующие значения управляющих зависимостей ui . В дальнейшемэти величины используются при аппроксимации зависимостей отвремени фазовых координат, сопряжённых переменных, функциональных производных и управляющих воздействий.
Таким образом,непрерывная задача (2.1) − (2.3) окончательно преобразуется в конечномерную, пригодную для численного решения.2.2.2. Приведение к задаче линейного программирования. Врезультате конечномерной аппроксимации на каждой итерацииулучшения управления условия (2.1) − (2.3) представляются в форме стандартной задачи линейного программирования.
Для этого всеиспользуемые зависимости, представленные конечным наборомзначений в узлах, аппроксимируются по определённому правилу.Для решения рассматриваемой задачи управления траекториями аэрокосмических аппаратов наиболее подходящими являютсякусочно-линейные аппроксимирующие зависимости, значительноне усложняющие вычислительную процедуру решения и обеспечивающие при достаточном числе узлов высокую точность аппроксимации исходных зависимостей. Процедура расчёта итерации улучшения опорного управления при кусочно-линейной аппроксимациизависимостей может быть сформирована на основании следующихсоотношений.Управление u (t ) представляет собой вектор-функцию размерности r .
Пусть каждый компонент u ( k ) (k = 1,2,..., r ) опорногоуправления u (t ) аппроксимирован непрерывной кусочно-линейнойфункцией со значениями ui(k ) в узловых точках ti (i = 1,2,..., N ) .В дальнейшем индекс « k » не будет указываться, и под управлением u (t ) будем понимать в зависимости от контекста или вектор-функцию размерности r или её k -ый компонент.Тогда k -й компонент управления u (t ) , представленный в классе кусочно-линейных функций, в каждый момент времени t можетбыть рассчитан по формуле53Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________u −uu (t ) = ui + i +1 i (t − ti ) , ti ≤ t ≤ ti +1 (i = 1,2,..., N − 1) .ti +1 − tiВозмущение δu (t ) каждого k -того компонента управленияu (t ) , представленное в том же классе функций, имеет видδu (t ) = δui +δ u i +1 − δ u it i +1 − t i(t − ti ) , ti ≤ t ≤ ti +1 (i = 1,2,..., N − 1) ,где δui и δui +1 − постоянные величины, представляющие собой вариации непрерывного кусочно-линейного управления в узловыхточках.При этих допущениях условия (2.1) − (2.3) приводятся к следующей задаче линейного программирования относительно неизвестных δu1 , δu 2 ,..., δu n :δui− ≤ δui ≤ δui+ (i = 1,2,..., N ) ,NF j + ∑ δui hi( j ) ≤ 0 ( j = 1,2,..., m) ,(2.11)(2.12)i =1Nmin ∑ δui hi(0) ,(2.13)δu i i =1где F j − значения функционалов, вычисленные для опорного закона движения {u (t ), x(t )}; δui+ , δui− − малые заданные величины.Коэффициенты h ( j ) вычисляются по интегральным соотношениям [48, 49]:h1( j )hi( j )54t2= − ∫ ω ( j)t1=t i +1∫ωt i −1( j)t − t2dt ,t 2 − t1ti +1t − ti −1t − t i +1dt − ∫ ω ( j )dt−ti − ti −1tti +1iti(i = 2,3,..., N − 1) ,Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________hN( j )=−tNt −t( j)N −1dt ( j = 0,1,..., m) .∫ ω t −tNN −1t N −1(2.14)Если известны значения функциональных производных ω ( j ) вузлах ti (i = 1,2,..., N ) , то, используя кусочно-линейную аппроксимацию зависимостей ω ( j ) (t ) , получим следующие формулы длявычисления коэффициентов hi( j ) [77]:1⎛1⎞h1( j ) = (t 2 − t1 )⎜ ω1( j ) + ω 2( j ) ⎟ ,6⎝3⎠11⎛1⎞⎛1⎞hi( j ) = (ti − ti −1 )⎜ ω i( j ) + ω i(−j1) ⎟ + (ti +1 − ti )⎜ ω i( j ) + ω i(+j1) ⎟66⎝3⎠⎝3⎠(i = 2,3,..., N − 1) ,(2.15)⎛ 1 ( j) 1 ( j) ⎞+ ω N −1 ⎟ ( j = 0,1,..., m) .hN( j ) = (t N − t N −1 )⎜ ω N36⎝⎠В некоторых случаях при аппроксимации задачи более подходящими могут оказаться кусочно-постоянные аппроксимирующиезависимости, упрощающие вычислительную процедуру решения посравнению с использованием кусочно-линейных зависимостей.Процедура расчёта итерации улучшения опорного управления прикусочно-постоянной аппроксимации зависимостей может бытьсформирована на основании соотношений, представленных в [48].2.2.3.
Размещение узлов аппроксимации. Возможности вычислительной техники накладывают ограничение на количество узлов аппроксимации задачи, поскольку при её численном решениикаждому из узлов соответствует значительный объём хранимой воперативной памяти вычислительной машины информации и вычислений, связанных с её обработкой.Наиболее просто задача размещения узлов решается, если узлыраспределить равномерно по времени на отрезке [0, T ] . Однако дляконкретной физической задачи такое расположение может оказаться нерациональным. Например, в задачах формирования управления траекторией аэрокосмического аппарата на различных участкахтраектории допустима различная точность аппроксимации управ55Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________ляющих зависимостей, что связано с различной эффективностьюуправления на активных и пассивных участках траектории, а такжев плотных и разрежённых слоях атмосферы.Более целесообразно использовать неравномерное по времениразмещение узлов. Очевидно, что наибольшая концентрация узловдолжна быть в местах наиболее интенсивного изменения и наибольшей эффективности управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
