Лазарев Ю.Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов (2007) (1246773), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Модель движения аэрокосмического аппарата1.4.1. Дифференциальные уравнения движения. Вид уравнений движения центра масс аэрокосмического аппарата определяется выбранной системой координат и составом учитываемых действующих сил. В рассматриваемой математической модели аэрокосмический аппарат движется над поверхностью, имеющей формуэллипсоида вращения с экваториальным радиусом Re =6378,160 кми полярным радиусом R p =6356,863 км (эллипсоид Красовского).Эта поверхность близка к геоиду. Движение аппарата относительноЗемли происходит под действием силы тяготения, полной аэродинамической силы, силы тяги двигателей и сил, обусловленных неинерциальностью системы отсчёта. Система дифференциальныхуравнений движения в траекторной системе координат с учётомвращения Земли, нецентральности поля тяготения и при отсутствииветра в атмосфере, дополненная уравнением изменения массы аэрокосмического аппарата, имеет вид [151, 153]:44Глава 1.
Общие вопросы управления траекториями___________________________________________________________________________________________________________PV& = −σ x ρV 2 − g r sin θ + g z sin χ cos θ + x +m+ RΩ 2 cos ϕ (sin θ cos ϕ − cos θ sin ϕ sin χ ) ,Pyg⎛V g ⎞+θ& = σ y ρV cos γa + ⎜ − r ⎟ cos θ − z sin χ sin θ +VmV⎝R V ⎠RΩ 2+ 2Ω cos ϕ cos χ +cos ϕ (cos θ cos ϕ + sin θ sin ϕ sin χ ) ,Vχ& = −σ y ρVcos θsin γ a −PzV cos θcos χ−−tgϕ cos χ + g zRV cos θ mV cos θRΩ 2− 2Ω (sin ϕ − cos ϕ sin χtgθ ) −sin ϕ cos ϕ cos χ ,V cos θ(1.16)R& = V sin θ ,ϕ&=V cos θsin χ ,Rλ&=V cos θ cos χ,R cos ϕm& = − β .Здесь V – земная скорость аэрокосмического аппарата (при отсутствии ветра совпадает с воздушной), θ – угол наклона траектории, χ – угол пути, R – величина радиус-вектора центра масс аэрокосмического аппарата, ϕ – географическая широта, λ – географическая долгота, m – масса аппарата, ρ – плотность атмосферы, Ω ≈ 0,727*10-4с-1 – угловая скорость вращения Земли вокругсвоей оси.Радиальная и трансверсальная составляющие вектора гравитаrционного ускорения g , лежащего в меридиональной плоскости, сточностью до полиномов Лежандра второго порядка определяютсяпо формулам [52, 153]:45Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»___________________________________________________________________________________________________________γЗ ⎡2(⎛R ⎞gr =⎢1 + 0,00162⎜ e ⎟ 1 − 3 sin 2 ϕ⎝ R⎠R 2 ⎢⎣gz =γ З Rе4−0,01624⎤⎥⎥⎦,)(1.17)sin 2ϕ ,Rгде γ З =398600,4 км /с – гравитационная постоянная Земли.Проекции вектора силы тяги двигателей, жёстко закреплённыхи ориентированных вдоль продольной оси аэрокосмического аппарата, вычисляются по формулам:32Px = P cos α,Py = P sin α cos γ a ,(1.18)Pz = P sin α sin γ a ,где P = Pуд β – сила тяги двигателей, Pуд - удельная тяга.Коэффициенты σ x , σ y и аэродинамическое качество K аппарата определяются по соотношениям:σx =c ya Sc xa S, σy =,2m2mK=c yac xa,(1.19)(1.20)где c xa , c ya – коэффициенты аэродинамической силы лобового сопротивления и аэродинамической подъёмной силы, S - характернаяплощадь аэрокосмического аппарата.1.4.2.
Расчёт параметров траектории. Число Маха рассчитывается как отношение воздушной скорости аппарата, которая приотсутствии ветра совпадает со скоростью относительно Земли, искорости звука на данной высоте:M=V,a(1.21)где скорость звука a связана с температурой воздуха T соотношением [52]:a = 20,0463 T .46(1.22)Глава 1. Общие вопросы управления траекториями___________________________________________________________________________________________________________Высота H над поверхностью Земли, имеющей форму эллипсоида вращения с указанными выше параметрами, вычисляется поформуле:Rp.(1.23)H = R−21 − 0 ,0066934 cos ϕСоставляющие вектора перегрузки в проекциях на связаннуюпродольную и нормальную оси аэрокосмического аппарата определяются по соотношениям:PS ρV 2nx =+c ya sin α − c xa cos α ,g0m g0m 2(1.24)2S ρVny =c ya cos α + c xa sin α ,g0m 2()()где g 0 ≈ 9,81 м/с2 – гравитационное ускорение на поверхности Земли.Скоростной напор q и удельный тепловой поток qT в критической точке поверхности аппарата с радиусом кривизны rкр рассчитываются по формулам [67]:ρV 2q=,2qT = 0,95 ⋅ 10 −7ρrкр(1.25)V 3,05 .47Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________ГЛАВА 2ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫФОРМИРОВАНИЯ УПРАВЛЕНИЯ2.1. Метод последовательной линеаризациии способ дифференцирования функционалов2.1.1. Последовательная линеаризация. Метод последовательной линеаризации предназначен для формирования приближённо-оптимального управления при наличии ограничений нафункционалы задачи и управляющие зависимости. Метод являетсятипичным методом спуска в пространстве управлений и сводится кпостроению минимизирующей последовательности управлений.Подробное описание метода последовательной линеаризации, атакже вопросов, связанных с его численной реализацией, приведенов [139].
Модификация метода последовательной линеаризации, разработки по его применению в задачах формирования управлениятраекториями аэрокосмических аппаратов и результаты решенияконкретных задач описаны в [4, 7, 11−15, 19−23, 35−39, 42−50,74−86, 147].Метод последовательной линеаризации состоит в построениипоследовательности итераций улучшения управления. На каждойитерации вычисляется малое конечное приращение δu( t ) опорногоуправления u( t ) , позволяющее перейти к новому, улучшенномуопорному управлению u( t ) + δu( t ) . В начале работы метода задается начальное приближение опорного управления u( t ) , котороезатем последовательно улучшается в процессе поиска с цельюудовлетворения всем условиям задачи (1.11) − (1.13).Если имеется некоторое опорное управление u( t ) , то расчётприращения δu( t ) осуществляется следующим образом.1.
На отрезке времени [0, T ] интегрируется система (1.9) сопорным управлением u( t ) . Вычисляются опорное решение x( t ) ифункционалы задачи F j ( j = 0 ,1,...,m ) , входящие в (1.12) и (1.13).48Глава 2. Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________2. Для опорного закона движения {u( t ), x( t )} вычисляютсяфункциональные производные ω (j)( t ) от функционалов F j поуправлению u( t )ω ( j ) (t ) =∂F j [u (t )]( j = 0,1,..., m) .∂u (t )3.
Вводится малая окрестность ∂U опорного управления u (t ) .При этом должны быть выполнены следующие требования:во-первых, окрестность δU опорного управления u (t ) должнавходить в допустимую область изменения управления U , то естьu (t ) + δU (t ) ∈U ;во-вторых, в окрестности ∂U приращения функционалов ΔF j( j = 0,1,..., m) должны с достаточной точностью описываться формулами первого порядкаTΔF j ≈ δF j [δu (t )] = ∫ ω ( j ) (t )δu (t )dt ;0в третьих, окрестность ∂U должна быть не слишком малой,чтобы обеспечить быстроту процесса перехода от начального приближения опорного управления к искомому, удовлетворяющемуусловиям задачи (1.11) − (1.13).4.
Определяется приращение δu (t ) , являющееся решением линейного приближения исходной задачи (1.11) − (1.13) в окрестностиопорного закона движения {u (t ), x(t )}. В соответствии с этим δu (t )должно удовлетворять следующим условиям:δu (t ) ∈ δU при всех t ∈ [o, T ] ,(2.1)TF j [u (t )] + δF j [δu (t )] = F j [u (t )] + ∫ ω ( j ) (t )δu (t )dt ≤ 00( j = 1,..., m) ,Tmin δF0 [δu (t )] = min ∫ ω (0) (t )δu (t )dt .δu ( t )δu ( t ) 0(2.2)(2.3)49Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________5. Проверяется выполнение условий окончания поиска. Еслиполученное улучшенное управление u (t ) + δu (t ) удовлетворяетвсем условиям исходной задачи (1.11) − (1.13), то поиск искомогоуправления считается законченным. Если условия не выполняются,то рассчитывается следующая итерация улучшения управления, начиная с пункта 1.
В качестве опорного принимается улучшенноеуправление u (t ) + δu (t ) .2.1.2. Дифференцирование функционалов. Основным инструментом теоретического анализа задач оптимального управленияи разработки численных методов их приближённого решения является способ вычисления производных от входящих в постановкузадачи функционалов по управлениюω (t ) =∂F [u (t )].∂u (t )На информации о значениях функциональных производныхоснован переход к улучшенному управлению при выполнении каждой итерации метода последовательной линеаризации.Существует процедура [139] дифференцирования функционалов, определенных на траекториях управляемой системы, видаTF [u (t )] = ∫ Φ[ x(t ), u (t )]dt ,(2.4)0F [u (t )] = Φ[ x(t ′)] ,(2.5)где Φ − заданная достаточно гладкая функция своих аргументов; t ′− заданная точка на [0, T ] .Функционалы вида (2.4), (2.5) называются дифференцируемыми в смысле Фреше.Часто встречающиеся в задачах управления движением функционалы видаF [u (t )] = max Φ[ x(t ), u (t )] ,tTF [u (t )] = ∫ Φ[ x(t ), u (t )] dt ,050(2.6)(2.7)Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
