Лазарев Ю.Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов (2007) (1246773), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это позволит на этих участках траектории с большей точностью аппроксимировать управляющие зависимости и зависимости функциональных производныхот времени.В [48] приведён способ неравномерного размещения узловыхточек в зависимости от скоростного напора при управлении траекторией аэрокосмического аппарата по углу атаки и (или) скоростному углу крена.
Применение этого способа приводит к необходимости поиска наряду с программами управления по каналам угловатаки и крена вспомогательной кусочно-постоянной функции,удовлетворяющей всем условиям задачи.Этот способ размещения узлов аппроксимации приводит к увеличению размерности задачи линейного программирования, поскольку увеличивает размерность вектора управления, оставляяпрежней размерность матрицы коэффициентов h ( j ) (2.15).2.2.4. Размещение узлов по характеристической скорости.При решении задач управления траекториями аэрокосмическихаппаратов узлы аппроксимации можно расположить равномерно похарактеристической скорости [77]∗t()V = ∫ c1 aa + c2 a p + c3 g 0 dt ,03∑ ci = 1,(2.16)i =1где a − ускорение от аэродинамических сил, a p − ускорение от силы тяги двигателей, g 0 − ускорение свободного падения, c1 , с2 , с3− весовые коэффициенты, подбором которых обеспечивается необходимое количество и размещение узлов.Равномерное размещение узлов аппроксимации по характеристической скорости (2.16) обеспечивает более частое по временирасположение узлов на активных участках траектории (управлениетягой двигателей) и участках траектории с большими величинамискоростного напора (на этих участках выше эффективность управ56Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________ления по каналам угла атаки и скоростного угла крена). Кроме того,обеспечивается наличие узлов аппроксимации при пассивном движении аппарата в разрежённых слоях атмосферы.Этот способ размещения узлов может быть использован какдля одноканального управления углом атаки, скоростным угломкрена или тягой двигателей, так и для двухканального, представляющего сочетание любых двух перечисленных каналов управления, а также трёхканального.Аппроксимированное программное управление u~i «привязано»к узлам ti и зависит от их расположения. На первой итерацииулучшения управления, а также в процессе поиска, если расположение узлов меняется на каждой итерации, узлы ti могут не совпадать с необходимой точностью со «скоростными» узлами t vi , расположенными равномерно по характеристической скорости V ∗ .Совмещение узлов, заключается в целенаправленном перемещенииузлов ti в направлении узлов t vi и обеспечивается итерационнойпроцедурой, которая заключается в следующем [77].1.
Выбираются моменты времени ti , соответствующие начальному расположению узлов аппроксимации на отрезке [0, T ] , к которым «привязывается» опорное управление u (t ) и преобразуется ваппроксимированное управление u~i , i = 1,2,..., N .2. Рассчитывается траектория аэрокосмического аппарата путём интегрирования системы (1.9) из начальных условий (1.10) спрограммой управления u~i . В процессе интегрирования вычисляется характеристическая скорость V ∗ (2.16), и запоминаются моменты времени t vi , расположенные равномерно по V ∗ .3.
Вычисляется величина ε , характеризующая соответствиеузлов ti и t vi ,Nε = ∑ ti − t vi .i =14. Проверяется выполнение условия ε ≤ ε доп , где ε доп − заданная точность соответствия узлов.В случае выполнения условия соответствия узлов моментывремени ti можно считать расположенными равномерно по харак57Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________теристической скорости V ∗ с заданной точностью. Если это условие не выполняется, то принимается ti = t vi , u~i = u~vi , и процедураповторяется.
Условием обеспечения сходимости процедуры совмещения узлов является достаточно частое расположение узлов на отрезке [0, T ] .В рассмотренных способах размещение узлов предшествуетвычислению значений функциональных производных, характеризующих эффективность управления в этих точках. Если позволяютвозможности вычислительной техники, то этот недостаток устраняется следующим образом. Сначала вводится равномерная по времени или по характеристической скорости сетка с достаточно мелкимшагом, и вычисляются функциональные производные в её узлах.Затем количество узлов сокращается до заданного путём исключения узлов, в которых эффективность управления наименьшая.Если в формулировке задачи присутствуют функционалы вида(2.5) или (2.10), то набор узлов ti следует дополнить узлами в заданных точках t ′ .
При наличии в формулировке задачи функционалов вида (2.6) следует провести интегрирование системы (1.9) суправлением u~i , определить моменты t ′ , соответствующие экстремальным значениям функций Φ , и дополнить набор узлов ti узлами в точках t ′ .Предложенный способ расположения узлов аппроксимации неприводит к увеличению размерности задачи линейного программирования, поскольку не изменяет размерность вектора управления иматрицы коэффициентов h ( j ) (2.15).2.2.5. Метод плавающих узлов. Задача формирования управления траекториями аэрокосмических аппаратов с использованиемметода последовательной линеаризации имеет особенность, связанную с тем, что при небольших количественных изменениях управляющих зависимостей, происходящих в процессе поиска улучшенного управления, могут происходить качественные изменения траектории движения.
В задачах управления траекториями аэрокосмических аппаратов в атмосфере это обычно связано с появлениемили исчезновением отражений (рикошетов) аппарата от нижних,более плотных слоёв атмосферы. Например, при использованииуправления по каналу тяги двигателей в задачах поворота плоскости орбиты аэрокосмического аппарата в атмосфере это может про58Глава 2.
Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________изойти при появлении или исчезновении дополнительных активныхучастков траектории. Во всех случаях качественные изменения траектории приводят к значительным изменениям продолжительностидвижения аппарата.Рассмотренный способ дифференцирования функционалов задачи по управлению позволяет рассчитать значения функциональных производных для заданных моментов времени t ′ ∈ [0, T ] . Знаяэти значения, при изменении управления можно предсказать изменения функционалов в моменты времени, для которых рассчитывались соответствующие функциональные производные.Изменение управления на каждой итерации поиска приводит кизменению траектории и, как следствие, к изменению длины отрезка [0, T ] , а при замене функционалов, дифференцируемых по Гато,функционалами, дифференцируемыми по Фреше, и к изменениюположения моментов времени t ′ .
Поэтому использование полученных этим способом функциональных производных может привестик недостаточной эффективности процесса поиска улучшенногоуправления.Метод плавающих узлов [45, 46] обеспечивает рациональноеразмещение узлов аппроксимации и учёт изменения длины отрезка[0, T ] в процессе улучшения управления, в том числе и при качественном изменении траектории на каждой итерации поиска.Для рассмотрения метода плавающих узлов удобно использовать функцию Гамильтона, которая для функционалов (2.4) и (2.10)имеет видH ( x, u ,ψ ) = f (t )ψ (t ) + Φ .Для функционалов (2.5) гамильтониан записывается в видеH ( x, u ,ψ ) = f (t )ψ (t ) .Вектор-функция ψ определяется из решения сопряжённой системы видаdψ∂H.(2.17)=−dt∂x59Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________Для функционалов вида (2.4) ψ (T ) = 0 , для функционалов вида(2.10) ψ (t ′) = 0 , а для функционалов вида (2.5) ψ (t ′) = Φ x (t ′) , причём ψ (t ) = 0 при t ′ < t ≤ T .Можно показать [139], что условия (2.1) − (2.3) с помощьюфункции Гамильтона могут быть преобразованы и записаны в следующем виде:δu (t ) ∈ δU при всех t ∈ [o, T ] ,∂H (0)δu (t )dt ≤ 0F j [u (t )] + δF j [δu (t )] = F j [u (t )] + ∫∂u0( j = 1,2,..., m) ,(2.18)T∂H (0)min δF0 [δu (t )] = min ∫δu (t )dt .δu ( t )δu (t ) 0 ∂uT(2.19)(2.20)Для функционалов вида (2.6) и (2.7) гамильтонианы записаныбыть не могут, поэтому при численном решении эти функционалызаменяются функционалами других видов в соответствии с выбранной процедурой.∂H(t ) , соответствующих функциональнымЗначения функций∂uпроизводным ω (t ) , определяются по формулам∂H ∂f ∂Φ,=+∂u ∂u ∂uдля функционалов вида (2.5)(2.21)∂Φ= 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
