Лазарев Ю.Н. Управление траекториями аэрокосмических аппаратов (2007) (1246773), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В узлах аппроксимации задачи вычисляются улучшенныезначения управляющей зависимости ui (i = 1,2,..., N ) без учёта ограничений (2.35).2. Последовательно проверяется, начиная с первого узла, выполнение равенства (2.35):ui = u требi ( p)(i = 1,2,..., N ) ,где u требi ( p ) − значения заданной функции u треб ( p ) в узлах аппроксимации.В узлах, в которых это равенство не выполняется, значенияуправляющих зависимостей заменяются на u требi ( p ) .3.
В качестве нового улучшенного опорного управления принимается зависимость, удовлетворяющая ограничениям (2.35).Учёт ограничений на управление (2.36) осуществляется на каждой итерации улучшения управления следующим образом [77].1. В узлах аппроксимации задачи вычисляются улучшенныезначения управляющих зависимостей ui (i = 1,2,..., N ) без учёта ограничений (2.36).2. Последовательно проверяется, начиная с интервала междупервым и вторым узлом, выполнение равенств:u i +1 − u i= u& требi ( p ) (i = 1,2,..., N − 1) ,t i +1 − t iгде u& требi ( p ) − значения заданной функции u& треб ( p ) в узлах аппроксимации.На интервалах, на которых эти ограничения не выполняются,производится перерасчёт значений управляющих зависимостей вконце интервала.
Если u требi ( p) > 0 , то перерасчёт производитсяпо формуле:ui +1 = ui + u& требi ( p)(ti +1 − ti ) (i = 1,2,..., N − 1) .Если u требi ( p) < 0 , то перерасчёт производится по формуле:ui +1 = ui − u& требi ( p )(ti +1 − ti ) (i = 1,2,..., N − 1) .74Глава 2. Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________3.
В качестве нового улучшенного управления принимается зависимость, удовлетворяющая ограничениям (2.36).Предложенные способы учёта ограничений на управление ввиде равенств или в виде неравенств могут применяться к отдельным участкам траектории. Способы учёта ограничений на величину(2.33) и скорость изменения управляющих зависимостей (2.34) могут применяться одновременно для разных каналов управления.На следующей итерации улучшения управления методом последовательной линеаризации в качестве опорного принимаетсяулучшенное управление, удовлетворяющее наложенным ограничениям.2.5.
Учёт ограничений на параметры траектории2.5.1. Ограничения на максимальные значения параметров.При разработке численных методов формирования управлениядвижением, основанных на построении минимизирующей последовательности управлений, возникают трудности, связанные с ограничениями на режимы движения и фазовые координаты, которыекак функционалы задачи не имеют производных Фреше и могутдифференцироваться лишь по направлениям в функциональномпространстве (по Гато).
К числу таких ограничений в задаче управления траекториями аэрокосмических аппаратов относятся ограничения (1.3) на максимальные значения скоростного напора, перегрузки и удельного теплового потока, а также ограничения на экстремальные значения фазовых координат и их отклонений от требуемых значений.Функционалы, соответствующие перечисленным ограничениям, записываются следующим образом:tF [u (t )] = max ∫ Φ[ x(t ), u (t )]dt ,(2.37)F [u (t )] = max Φ[ x(t ), u (t )] .(2.38)t0tПредположим, что для опорного управления максимальноезначение функции Φ или её интеграла достигается на отрезке[ 0 ,T ] в момент времени t ′ . Трудность вычисления производных75Лазарев Ю.Н.
«Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________функционалов вида (2.37) и (2.38) заключается в том, что при изменении управляющей зависимости u (t ) на каждой итерации поискаменяется не только максимальное значение функции Φ или ее интеграла, но и время его достижения t ′ .Преобразование исходной задачи в конечномерную позволяетпри численном решении аппроксимировать функционалы, дифференцируемые по Гато, несколькими функционалами, дифференцируемыми по Фреше.Вопросы дифференцирования функционалов вида (2.37) и(2.38) рассмотрены в [50, 58, 121, 139, 166]. В [50] изложена методика учёта ограничений, задаваемых с помощью недифференцируемых по Фреше функционалов, при проведении численных расчётов и приведены примеры её использования при формированииуправления траекториями аэрокосмических аппаратов.
Применениеэтой методики связано с заменой каждого функционала, дифференцируемого по Гато, несколькими однотипными функционалами,дифференцируемыми по Фреше. В общем случае такая замена производится неоднозначно. Очевидно, что в результате использованияэтой методики размерность задачи линейного программирования, кмногократному решению которой сводится процесс улучшенияуправления, существенно возрастает в соответствии с увеличениемобщего числа рассматриваемых функционалов.При формировании номинального управления траекториямиаэрокосмических аппаратов приходится, как правило, учитыватьодновременно несколько траекторных ограничений, причём многиеиз них с математической точки зрения являются функционалами, неимеющими производных Фреше. Поэтому применение упомянутойметодики приводит к усложнению процедуры численного решениявследствие значительного увеличения размерности исходной задачи по числу контролируемых функционалов.2.5.2. Способы учёта ограничений.
При формированииуправления траекториями аэрокосмических аппаратов предлагаетсякаждый функционал, дифференцируемый по Гато, заменять толькоодним функционалом, дифференцируемым по Фреше [77]. Это позволяет упростить численную процедуру поиска улучшенногоуправления в условиях наличия многочисленных ограничений вида(2.37) и (2.38). Подобный подход к решению проблемы дифференцирования функционалов, не имеющих производных Фреше, пред76Глава 2. Теоретические основы формирования управления_____________________________________________________________________________________________________________полагает тщательный подбор параметров вычислительной процедуры метода последовательной линеаризации, а также, в некоторыхслучаях, позволяет использовать алгоритмы, ускоряющие процесспоиска управления, удовлетворяющего ограничениям на максимальные значения параметров траектории.В соответствии с предлагаемым подходом на каждой итерациирешения задачи линейного программирования функционалы вида(2.37) и (2.38) заменяются соответственно одним функционаломвида (2.10) или (2.5).
Для этого при численном интегрировании траектории движения вычисляются значения функции Φ или её интеграла на отрезке [0, T ] и фиксируются их максимальные значения исоответствующие этим значениям моменты времени t ′ .В зависимости от вида функции Φ предлагаются два способаучёта ограничений на максимальные значения контролируемых параметров траектории [77].Первый способ реализуется для функционалов вида (2.37) приих замене функционалом вида (2.10), а также для функционаловвида (2.38) в том случае, если функция Φ имеет вид аналитического выражения, явно не зависящего от управления, то есть, еслифункционал (2.38) заменяется функционалом вида (2.5).В этом случае расчёт производных осуществляется в соответствии с методикой дифференцирования функционалов вида (2.10)или (2.5). Если значение функционала выходит за пределы назначенного ему ограничения, то каждый компонент вектора управления u k (k = 1,2,...r ) заменяется в каждом узле аппроксимации на отрезке времени [0, t ′] улучшенным по результатам решения задачилинейного программирования (2.11) − (2.13) значением в соответствии с величиной и знаком производной в этом узле.
Изменениеуправления u k на отрезке [0, t ′] ограничивается величиной малойокрестности δU k , которая является параметром метода решения задачи линейного программирования. В общем случае величина малой окрестности δU k может быть различной в разных узлах. Этотподход применяется при работе с функционалами, которые входятв формулировку задачи управления траекториями аэрокосмическихаппаратов, как ограничения на максимальные значения скоростногонапора и удельного теплового потока, а также ограничения на экстремальные значения фазовых координат.77Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»_____________________________________________________________________________________________________________Второй способ реализуется для функционалов вида (2.38) в томслучае, если функция Φ имеет вид аналитического выражения, явно зависящего от управления, то есть, если функционал (2.38) заменяется функционалом видаF [u (t )] = Φ[ x(t ′), u (t ′)] .(2.39)Улучшение управления на каждой итерации предлагается производить с учётом возможности непосредственного воздействия назначение контролируемого функционала путём изменения управления в момент времени t ′ .Сначала расчёт производных функционалов вида (2.39) осуществляется в соответствии с рассмотренной методикой дифференцирования функционалов вида (2.5).
Следует отметить, что для момента времени t ′ в выражении функциональных производных (2.8)для функционалов вида (2.39) по каналам управления, которые оказывают непосредственное влияние на рассматриваемые функционалы, преобладающее значение приобретают производные Φ u ,рассчитанные в соответствии с формулами для частных производных функций Φ по управлению u .Если значение функционала выходит за пределы назначенногоему ограничения, то, как и в предыдущем случае, каждый компонент вектора управления u k (k = 1,2,...r ) изменяется в каждом узлеаппроксимации на отрезке времени [0, t ′] по результатам решениязадачи линейного программирования (2.11) − (2.13) в соответствиис величиной и знаком полученных производных функционалов поуправлению. Изменение управления u k ограничивается величиноймалой окрестности δU k .Для узла аппроксимации, соответствующего моменту времениt ′ , компоненты вектора управления изменяются в соответствии сознаком функциональной производной (при численном расчёте после проведения конечномерной аппроксимации роль этой производной выполняет соответствующий коэффициент h ( j ) (2.14)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
