Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 89
Текст из файла (страница 89)
'о я " ю х' = — Ут; х" .= — Ут; х' =- О. Остановимся кратко на общем характере зависимости параметров / (величина ускорения тяги) и т (времи поворота) от краевых условий. С этой целью Рассмотрим задачу с нулевыми начальными и конечными значениями координат (х,=х, =О, з=!, 2, 3).
Пусть Ую — начальная скорость, У, — конечная скоо к рость, Ою — угол между Ую и У«; обозначим»= Ую/Ую ' »«=У /У«=1/». Тогда т 2 (1 +» соз зз) — У (1 +»в + 2» соз 00)з + (1 — »з)з (13. 37) Т 2 (! — »з) или 2 (»,'+»ю соз 0,) — (/ (»,'+ ! + 2»о соз 0о)' + (», '— 1)' (13. 37а) т 2 (»о з— 1) В зависимости от знака неравенства Ую~ ~У, удобнее пользоваться первой или второй из этилю формул, а именно той из них, в которой отношение скоростей меньше единицы. Время поворота т зависит от двух параметров: » и йю. Эта зависимость изображена на рис 13.3.
Видим, что при заданном отношении начальной и конечной скоростей время поворота тем ближе к началу (Ую(У«) или к концу (Ую>У«) полета, чем больше угол Ою между Ую и У,. При фиксированном Ою время поворота изменяется в зависимости от отношения Ую/У Аналогично для ускорения силы тяги / имеем формулу (! — — ) +»з (1 + — ) + 2» соз Ою (! — — ) В ( — ') или »о (1 — — ) + (! + — ) + 2»о соз Ою (1 — — т) (+) (13.38а) Т Из рис. 13.
4, на котором приведена зависимость Т//У, от» и Ою, Т//Ую от»ю и 0«, видно, что Т" = а ' ' , 2 < а ~ 4, шах (Уо, !'к) (13. 39) Т 384 где а зависит от отношения Ую/У«и угла 0«, но является ограниченной величиной. Формула (!3. 39) позволяет сразу оценить значение /, необходимое для осуществления заданного полета (заданы Т и Ую, У„).
Величины Ую, У Ою, а также в общем случае еще и г„являются при известных орбитах планет старта и финиша функциями только момента отлета /ю и момента прилета /ю. Ниже рассмотрен пример расчета траектории в транспортирующей системе координат. Расчет проведен для того же случая полета на Марс (со стартом 27.!Х.1960 г.), для которого рассчитывалась плоская задача с оптимальным (без учета возмущений) управлением (п. 13. 1. 4). Траектория в транспортирующей системе изображена на рис.
13.!. Лля сравнения на рис. 13. 1 нанесена траектория такого же полета, но рассчитанная для оптимального случая, т. е. при линейных компонентах реактивного ускорения. Необходимое постоянное реактивное ускорение /=0,83 мм/с', поворот вектора тяги происходит на !05-е сутки полета (при полном времени полета 212 суток); максимальное отклонение траектории от транспортирующего эллипса — 1О люли. км, Безразмерная величина /= /'Т (где / и Т вЂ” безразмерные) равна 0,0696; по сравнению с величиной /=0,0520, рассчитанной (без учета возмущений) для этого жс примера при оптимальном управлении, оптимальное управление дает выигрыш — 25«/ю.
О У а -А=» Ук Рис. 13.3. Зависимость времени т поворота вектора тяги от отношения начальной гц и конечной и' скоростей в траиспортируюшей системе координат и от угла Оэ между векторами этих скоростей ук1 Ту У г,О г,ь Рис. 13.4. Зависимость величины 1' реактивного ускорения от отношения начальной У, и конечной Ук скоростей, угла Ое между векторами этии скоростеи и от времени полета Т 13 3669 П П, ? П, 4 О, О Д О 1 О П, и О, О О, Ф О Л Ур У А=в Ук и = а У Рис. 13.6. Системы координат 2,3 г,п йэ О' В рассматриваемых примерах точные безразмерные значения У (полученные для истинного поля тяготения) составляют соответственно 0,092 и 0,066. Таким образом, оба полученных выше приближенных значения интеграла У отличаются от точных в одну сторону иа 23 — 24%, Точность определения выигрыша от оптимизации управления примерно такова же.
Для прикидочных расчетов такая точность бывает достаточна. Второе приближение (с учетом линейной части солнечных возмущений), как показано в равд. 13. 1. 7, дает гораздо более точный результат. 13.1.6. Интегрирование лннеаризированной системы уравнений оптимального движения В задаче об оптимальном управлении реактивным ускорением рассмотрим ее решение во втором приближении, т. е.
получим решение системы (13.26) — (13.27) Будем рассматривать безразмерные переменные г, и, й связанные с размерными Й, )т, Т соотношениями — 1; Р=у~д~; л ' г2 77 = гг; (13. 40) 35!Пз 9— 1 о з — (3 созз 9 — 1); У зу Го Зсоз9 шп 9 (!к (75 Го 1 . о 1 ; и кк гз о По з го (13. 42) (То кз где 0 — истинная аномалия В уравнениях (13. 26) и (13. 27) коэффициенты имеют значения (13.
42). Для интегрирования системы уравнений (13. 26) удобно перейти к вращающейся системе координат, начало которой совпадает с началом системы куг (т. е. с точкой транспортирующей траектории), ось Ь совпадает с осью г, ось ц направлена по радиусу- вектору транспортирующей траектории, а ось $ направлена по трансверсали транспортирующей траектории в сторону движения. Имеем х = т) соз 9 — 9 шп 9; у = ч з!п 9+ 9 соз 9; (13. 43) Подставив (13.43) в уравнение (13. 26), после некоторых преобразований по.чучнм уравнения движения в виде 2 з о 1 $+29ы — азу+ 4+ — 9=- У5, го 1 + з 'о (13.
44) 386 Здесь г — начальное расстояние от центра притяжения и й — ускорение тяготения на этом расстоянии. В линеаризованных уравнениях (13. 26) предполагается, что система координат хуг движется поступательно вдоль кеплеровой транспортирующей траектории. Индекс «О» означает, что коэффициенты взяты вдоль транспортирующей траектории, Решение однородных уравнений, соответствующих системе (13. 26), дает просто вариацию кеплерова движения. Решение неоднородных уравнений (13.26) возможно при любом законе изменения 1, 1„, 1,.
В частности, можно рассматривать оптимальное управление вектором реактивного ускорения Я„ !'т, ),) по формуле (13,27). Коэффициенты уравнений (13.26) и (13.27) вычисляются по формулам х — у 1 — — (7„= —; и =- — —; к— гз ' гз ' гз ' 1 Зх2 1 Зуз 1 Зг2 У,» = — — + —; У„„=.. — — + —; (7„= — — + —; (!3. 4!) га гз КН га г5 гэ гз н., = —; и..
= †. г,. — —. Зху Зхг Злу гз гз гз ) Выберем теперь такую абсолютную систему координат ХУЯ с началом в центре притяжения, чтобы плоскость транспортирующей траектории совпадала с плоскостью Ху, а ось Х была направлена в перигелий транспортирующей траектории (рис. 13.3). При таком выборе системы координат будем иметь вдоль транспортирующей траектории: ф Р У б)дг=)'Фго' го=рйб 9=1/(!+ее Ь).
Рассматриваемое движение будет определяться следующей сводкой формул [1): тс — — С| '||+ Сгт>2+ СЗВЗ+ Вгрг+ сьрь, 'я = СЛ! + Стяг + СЗЧЗ+ 92р2 + т)зрз 1 [Вз+ со5 9[; е 1 т)! .— — — [ь)з — 5!и В 1; 92 = соь В; тг = 5!пЬ; е е т|з.= — йгсозВ+ йг гбп29+ 5!я Ь ((1+2ег) Х 1 — е2 (! — е2)2 Х й 5|п 9 — ЗеЕ); е соз 51 е соь Ь 1|2 =. 92 щи В [1+ [+ [(1+ 2ег) В ып Ь вЂ” ЗеЕ)1 1 — е2 ~ (1 — ег)2 " Вз ) 2~1 рг= оз ~ з [ — +йзг [йВ г — рз[йзьйй Г а!и 9 (222 Рз — Ра ~ — + йзр йЬ, 7 (Ьз) =- О! В = Сг(с + С292+ С292+ С49ч + 94, Ь' =- о [еЬ 5!п В + С, — 2 — + / ); и з е ЗЕ с, й 51П В (б — 2е2+ (4е — ез) соз 9)— (1 — е2)2 (! — ег)гй ' Ег = — — [1 — (1 + е соь 9)2); 0 е Я 5|П Ь Зе 1 »з = [2+ ег + е (! + 2е2) сов 9[ — — Е; (1 — ег)2 ( 1 — е2)2 Вс 0 2 Е ф = ~ [~! (т)грг+ т~зрз)[ "91 й Ь 1 — е2 сов Е=. В(е+ со59), 5|п Е= )/1 — е29 5|я 9; (= Сь(ь+ Сз(ь+ бьеь+ (ьль! С вЂ” — Сьбь+ Сьбь+ (аль+ (ьаз,' (13.
45) (ь — йг(е + соз 9); с,5=В 51ПВ; сь = В с05 9; сь — — — Ьг 5|п В; ль = Р~~у соз Вй~йз; ль =- — Рз [ / Вз 5!п Ьйг! с ' |о 1 С| = 2 — + (Во — Оое 5|п Во(з); йо со 13ь 387 Здесь ы — угловая скорость движения по транспортирующей траектории; ч' Ус в проекции вектора реактивного ускорения на оси тп я, ь. Если [ определяется уравнениями (13.27), то фундаментальная система решений уравнений (!3.44) без правых частей будет давать фундаментальную систему решений и для (!3.27); таким образом, [ч,ус,г сбудут определены; тогда движение находится интегрированием неоднородной линейной системы (!3. 44) с известными правыми частями. В результате интегрирования системы (13.44) получим сводку формул, описывающих движение.
Пусть рассматривается движение в окрестности кеплеровской траектории с фокальным параметром р (безразмерным), зксцентриситетом е, истинной аномалией б во вращающейся системе координат ПК, начало которой движется по выбранной кеплеровской транспортирующей траектории. Обозначим штрихом производную по ВЕ например, йч|йб=ь)'. Переход к производной по времени (безразмерному) проводится при помощи о м л 1 (Доза ~ока) Ео3 1 2 (ьет!2 до")2) До =- до СЛ1! 90 (о оС! оС2 оСз (з Ео ' Оо оо Ео Сз = яо = 9о — С!91 ' 'о.
Сз = (13. 45) ! 'о Сз = »о з1п 9о + — соз 9о! уо 'о Сз =- (о (е + соз 9) — о!я 9о Оо 4 з 6 71 — — лг' а!91; 7,= ~~р~ а;„; 7" =- ~Ч', а!С!. Здесь аь а, — константы, подлежащие определению через краевые условия. Подставляя (!3. 46) в формулы (13. 45), получим, в частности, (13. 45) 4 ,!1 — ~! а!»14 »1! — рз ) озс!из. 1-1 ру з)п 9( 271! Ри= — рз) ( — +9'9! а9: рз Р2 Д~ а!Кз! ! 1 4 рз= '~~паз! (13. 47) Г з!п9 (! 271! ГЗ! ра мвтп а9, ! причем 4 2 Ф = ~)'„а!Ф!! Ф! = ) )»1! И2Р2!.+»)згз!)) '9! и ! 1 яз = к»~ а!лз!5 ез)= рз) 5!92 соя 9!(9; ! з (13.
48) з ез = ~ а!езд Яз) =. — 7»т) С!Оз з!и 9аз. ! з Теперь и! и а! определяются из системы алгебраических уравнении: з 4 тм — ~ СЛ!к = ~~~~ а1(92,Р2!к + дз Рз!к); 1-1 ! 1 3 4 кт С!ч!» ~~ а! (»12»р2!к + т!з~~з!к ) ! 1 1 1 4 9» — У, С!9!.=-9. ~ а;ф!зб (13. 49) DŽ— О,(С1+ Е З(П 9»9» — 2 — = 9» '~ аг)1!к ', дк! %~ Ок ,1 ! Сводные формулы (13. 45) выписаны для произвольного управления вектором ! реактивного ускорения. Пусть теперь 7 удовлетворяет уравневиям оптимального управления. Тогда, как следует из равд. 13.1.2, компоненты вектора ! по осям $, ть ь будут даваться форму- лами о б ок х «С)чук = ммй а1(о=кх31« + обкхб1«) 1 5 1 5 !« — Я~ С«."1« — — ~', а1(йб„х51 + (б,хб1«).
1 5 1 5 (!3.49) (13. 50) ,««ац А=-~ а21 1аш а12 а! Зо) а22 «323 ) « — а21 — а22 — азз / А' =- ац аш а| ). 0 0 О, азз азз1 Матрица обратного перехода и ее производная будут ' — а21 ац 0~ (А — 1)' = ) — а22 аш 0 ~, '« — а23 а|3 О, а21 а31 « «122 а32 ) азз авз1 ац А-1 = аш аш где ац = — 3!п и соз Я вЂ” соз и 3|п Я соз «; а21 =. соз и соз Я вЂ” б!п и з|п Я соз 1; аз|.= гбп «' ебп Я; а|2 — -- — тбп и 3!п Я + соз и сов Я соз 1; а22 = соз и з«п Я + ебп и соз Я соз «; азз =- — шп «' соз Я; а|э =- соз из!п|; азз= э!пи 3!п|; азз =- соз «'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
