Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Это видно уже на простейших модельных задачах. !. Рассмотрим прямолинейное движение с малым постоянным реактивным ускоре. нием У на заданном пути 2з в заданное время 27 при отсутствии внешних сил и при условии, что скорость в начале и в конце пути должна быть равна нулю. Считаем, что на первой половине пути скорость равномерно возрастает, а на второй — равномерно убывает.
Имеем У = 2з|Т2 =- 2Уо) Т. (13. 6) При этом достигается, а затем гасится скорость У~=2з(Т=2Уэ, т. е. затрачивается скоростной импульс 4Уь Здесь Уе — — з(Т. По суммарному скоростному импульсу затраты при движении с малой тягой ровно вдвое превышают затраты импульсивного разгона и торможения КА.
Для всего пути имеем У! 272Т = 8фТ. (!3. 7) 2, Предположим теперь, что малое постоянное ускорение действует не все время, а лишь в начале и в конце заданного пути и требуется на такое время выключить двигатель, чтобы получить минимум У при заданном полном времени полета В силу симметрии движения достаточно его рассмотреть, как и в задаче У, лишь на половине з всего пути в течение времени Т, равного половине полного времени полета. Пусть т — момент выключения двигателя. Тогда получаем У и заданный путь: Уз = 272т; (13. 8) 2з = Утз+ 2Ут(Т вЂ” т). (13.
9) Решая задачу на минимум (13. 8) при условии (13. 9), находим 2 9 1'о 27 "о с= — Т; У'= — —; У2= — —. (13. 1О) 3 4 Т ' 4 Т Видим, что Уз(У~ на ог/4 Уэз(Т, т. е. примерно на 15,5э(э. 3. Предположим теперь, что график ускорения имеет две ступеньки высотой (, и !з и протяженностью т и Т вЂ” т и требуется параметры т, )ь гз подобрать из условия минимума (13. 4) при заданном пути з. В этой задаче вместо (13. 8), (13. 9) имеем Уа = 2 [У!с+ Ут(Т вЂ” т)1; 2з =- У!тз+ 2Угт(Т вЂ” т)+ Уз(Т вЂ” т)2, что приводит аналогично предыдущему к формулам 1 12 Уо 4 1'о 32 Уо Т; Уг= —: Уз= —; Уз= 2'5Т'5Т'5Т (13. 11) 378 Видим, что Узк,Уз, причем выигрыш !Уз — У,! составляет уже 20~/з от Уь 4.
Максимальный выигрыш можно получить, если решить вариационную нзопериметрическую задачу на минимум функционала (13. 4) при заданном пути т з=2 ~(Т вЂ” У) У(У)ПД 6 Из условия обращения в нуль вариации г ън = ~ [27+ ) (т — у)) в тду о (где )г — постоянный множитель Лагравжа) и условия (13. 12) находим У2 У= 2 — ~ — (1 — — )1; з(У) = — УТ ( — ) [1 — — ( — )1; У =6 —. (13. 13) Реактивное ускорение убывает линейно до нуля при (= Т от начальной величины, в полтора раза большей постоянного ускорения задачи 1, а выигрыш в величине У по сравнению с задачей 1 составляет 25'Уэ.
5 Аналогично можно решить вариационную задачу и с отличными от нуля краевыми скоростями. Решением опять является линейный закон изменения реактивного ускорения, и выигрыш по сравнению со случаем постоянного реактивного ускорения будет того же порядка. Изложенные задачи являются некоторой аналогией задач полета между сферами действия планет в заданные сроки Г» начала и !» конца полета, так как этими сроками фиксируются начальная и конечная точки пути, гелиоцентрические скорости в этих точках, а также время полета.
7(ля приближенных расчетов движения в заданные сроки между сферами действия планет с учетом притяжения Солнца более удобным оказывается рассмотрение движения не в неподвижной, а в движущейся поступательно системе координат. Пусть начало этой системы движется по гелноцентрнческому коническому сечению (согласно законам Кеплера) в те же сроки (ь Гь между теми же краевыми точками.
На КА в этой системе будет действовать не само тяготение Солнца, а лишь «возмущение» от Солнца, т. е. разность притяжений Солнцем КА и начала координат, точнее — разность силы солнечного тяготения и силы инерции, обусловленной неинерциальностью системы отсчета. Назовем введенную систему координат транспортирующей системой, а траекторию начала координат — транспортирующей траекторией. Траектория КА в рассматриваемой системе будет начинаться и кончаться в начале координат.
Поскольку при полете с Земли начальная гелиоцентрическая скорость КА совпадает со скоростью Земли, то начальная скорость КА в транспортирующей системе будет обратна по направлению и равна по величине геоцентрической начальной скорости начала координат транспортирующей системы.
Аналогично конечная скорость КА в транспортирующей системе будет равна по величине и обратна по направлению конечной плаиетоцентрической скорости начала координат транспортирующей системы Когда траектория в транспортирующей системе мало отклоняется от начала координат, то возмущениями можно пренебречь по сравнению с реактивной силой и получаем движение в пространстве без сил, так что рассмотренные выше модельные задачи приобретают еше больший смысл. Здесь и всюду в дальнейшем под «возмущениями» понимаются указанные выше солнечные возмущения в транспортирующей системе координат. 13.1.2.
Постановив общей вариационной задачи Как видно из (13.3), задача о минимальном расходе массы в данном полете сводится к минимизации интеграла (!3.4). К минимизации этого же интеграла сводится задача на минимум суммы масс горючего и двигательной установки [5, 9]. Математически задачу можно поставить следующим образом.
Пусть на КА с массой т действует поле сил с потенциалом (7 и реактивное ускорение. Пусть 0= Дт. Тогда уравнения движения КА будут иметь вид И вЂ” 2»ай(7= /; г =-)г, где г=(х, у, л); (г=.(и, о, ш); г=(Г„, ги, г»). (!3.!4) Требуется определить закон изменения вектора 1 такой, чтобы функционал [ (!3.4) для заданного Т имел экстремум при наличии связей (!3.14). 'С помощью метода множителей Лагранжа можно получить для [«,[т и [, уравнения [1„ (7 „(7„„(7„, (13. 15) Совместное решение уравнений (!3.!4) и (13. 15) дает оптимальную траекторию г(1) н оптимальную программу [(1).
В общем случае решение системы (13. 14) — (!3. 15) будет зависеть от !2 произвольных постоянных, распоряжаясь которымя, можно удовлетворить тем или иным начальным и конечным условиям. Отметим одно свойство ураввений вариационной задачи Введем функцию г ! г Н = ир+ оу + ят — У Г вЂ” Уи Ги — (7») — — à — — У вЂ” — У, (13 15) х 2 У 2 где обозначено р=-Х; у=В =-Л.
Тогда уравнения (13. 14) — (!3.!5) запишутся в следующем каноническом виде. х Нр у Нд л = Н» Гх Н» Ту Н» 㻠— Н»» (13. 17) р = — Нлй у =. — Ни, и = — Н,; й = — Ну»! о =- — Ну,; ш 379 где Н с индексами означают частные производные от Н по аргументу, указанному индексом, Отсюда сразу следует первый интеграл вариационной задачи Н=Нм Пусть потенциал и обладает свойствами уи — хи„= о; 脄— хи,„= о; уи„, — и „= о; У + Уиха — хУав ж 0; У + хи„,— хи» = =0; и~+Лига — УУ = 0; (13.18) ив+хи„,— уи „= О; и,+хи„,— и„ж О; и,+уи,„— хи„„ш О. Эти тождества имеют, например, место для любого центрального поля сил, в частности ньютоновского.
Тогда уравнения (!3. 14) — (13. 15), или, что то же, уравнения (13. 17) имеют еще интеграл гх у — гху=й (13. 19) Таким образом, в пространственном случае имеются четьгре интеграла уравнений движения, а в плоском случае — два интеграла. Эти интегралы позволяют понизить порядок системы: вместо уравнений (13. 15) получим, например, в плоском случае для компонент 1, !т систему 1 (хх+ УУ)7„— ~~(хи„+ Ут) +да(хУ вЂ” хи„) — — Узх = Нох+ Л,У; 2 (13. 20) 1 (хх+ яу)у» — у~(ху — уи~) — у~(ха+ уи~) — — учу = Ноу — йгх.
2 Здесь уз= 7 + 7„. Уравнения, аналогичные (13. 20), имеют кесто и в'пространственном слу ~ае. 13.1.3. Метод приближенного решения уравнений оптимального движения Уравнения (13. 14) — (!3, 15) оптималыщго движения в произвольном консервативном силовом поле с потенциалом У= У(х, у, г) можно загщсать в следующем векторном виде: (13.21) г — ягад У =- у; (13. 23) г=го; г=го при С=-гг, г=гю г=-г„при 1=-(т. В задаче о полете между сферами действия планет можно пренебречь притяжением планет и в качестве краевых условий брать координаты и компоненты скорости планеты старта и планеты назначения. Для решения системы (13. 21) — (13.
22) используется метод линеаризации уравнений около подходящим образом выбранной транспортирующей траектории Предположим, что траектория движения есть г= — го+О (13. 24) где го определяет известную траекторию, а величина !О) мала по сравнению с !го!. Транспортирующая траектория ге(!) удовлетворяет уравнению го — йг ад Уо = О. (13. 25) Подставляя (13.24) в (13.2!), (!3.22) и пренебрегая малыми второго порядка (к тзковым отнесем и члены вида 19), получим систему линейных уравнений (13. 26) 0 — Аоо= т; (13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
