Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 88
Текст из файла (страница 88)
27) т — Ао/ = О. 380 (13. 22) Здесь г — радиус-вектор траектории, а матрица А определяется формулой (13. 15). В случае ньютоновского поля сил и=и/г и элементы матрицы в (13. 15) имеют вид, указанный в п. 13.!. б (формулы (13. 41)), правые части которых следует только домножить на р. Двенадцать постоянных интегрирования системы (13. 21) следует определить так, чтобы удовлетворялись 12 краевых условий. Здесь (Га, Аа — значения функции (7 и матрицы А вдоль транспортирующей траектории га(!), В первом приближении можно положить А»=О, и тогда для О н !' получаются элементарные формулы, при помощи которых расчеты проводятся особенно просто (см.
п. 13. 1. 4), Для более точного определения О и ! следует интегрировать линейную систему (13. 26) — (13. 27) Эта система содержит периодические коэффициенты, но тем не менее должна интегрироваться по крайней мере в квадратурах, если интегрируется в квадратурам уравнение (13. 25) транспортирующей траектории.
Это будет иметь место, например, для ньютоновского центрального поля сил (г=р)г, В дальнейшем рассматривается именно это значение (7. При этом в рассматриваемом приближении оптимальное управление вектором реактивного ускорения дается формулой Я 7 =- — (г — г„), 77 где ге — транспортирующий кеплеров эллипс; гв — кеплеров эллипс, параметры которого определяются краевыми условиями задачи; йл — ускорение ньютоновского притяжения на расстоянии Я от центра притяжения. Предлагаемый приближенный метод позволяет, во.первых, в ряде случаев избежать численного интегрирования и, во-вторых, позволяет решать краевую задачу без итераций.
Выписанный в равд. 13. !. 6 алгоритм полностью решает краевую задачу для системы уравнений (13. 26) †(13. 27). (13. 28) 13.1.4. Решение общей вариационной задачи без учета возмущений При небольших отклонениях движения от транспортирующего приближенно в системе (13. 26) — (13. 27) можно пренебречь возмущениями от основного поля сил по сравнению с тягой, тем более, что главная часть действия основного потенциала учитывается самим введением транспортирующей системы координат. Тогда Аа О, и урааиения движения в системе координат х, у, а поступательно перемещающейся по Законам невозмущенного движения вдоль транспортирующей траектории, запишутся наиболее просто: .» =7»! й' = г а' в =,7В Ул = 01,~а = О! У = 0' (13. 29) В этом приближении оптимальный закон управления тягой линеен по времени 7=А!+В, (13. 30) Со = Оо! С! = Оо" 6 -' ' 12 А = (еа -1- о,) — , (Π— ео); (!3.33) 2 ' 6 В= — — (2йо+ О )+,з (ь» Оо).
Величина интеграла Х= ) !»бт дается формулой Tз 7 = ! А ~э — + (АВ) Тз + ! В 1э Т. 3 Рассмотрим пример расчета полета к Марсу, На рис. 13.! и 13. 2 приведены траекторпа О(!) и закон управления 7(!) для случая, когда Марс движется в плоскости 381 а траектория О(!) в рассматриваемой системе координат запишется в виде О(!) = С, + Сг! -1- В!э72-~- А!з/6.
(13. 31) Если требуется обеспечить отлет из сферы действия Земли с нулевой относительной скоростью и прилет на сферу действия другой планеты с нулевой относитель. ной скоростью, то краевые условия задачи будут О(О) =. Оо! О(0) = !'о = Оо( (!3. 32) О(т)=О,; а(7)= — У»=йю где Т вЂ” заданное время полета; Ум У» — начальная и конечная скорости на транспор. тирующей траектории относительно соответственно Земли (планеты старта) и планеты назначения Тогда константы задачи определяются через краевые условия следующим образом: эклиптики, старт происходит 27.!Х.1960 г. и время полета 7=212 сут. Краевые условия, записанные в безразмерном виде, в этом случае таковы: хо =- 0 0145! уо = 0 12826! хк = — 0 076884' ук = — 0 109856: хо = уо = х, =. у, = О.
Лля получения размерных значений скоростей следует умножить значения (13.34) на скорость движения Земли в момент старта, Величина интеграла (13.4), определяю. (13. 34) кп т ,пп(от нлп Рис 13. !. Пример траекто. рии полета к Марсу в транспортирующей системе координат при постоянном по величине и однократно меняющем направление реак тивном ускорении Время полета Т и время поворота тяги т * отмечены ие трв. ектории в сутках. Пунктнр— траектория с теми же креевымн условиями, но при оптимальном управлении тягой (все без учете возмущений) Рис. 13. 2.
Пример пола та к Марсу. Годограф вектора ускорения малой тяги при оптимальном управлении без учета возмущений щего расход масс, 7=0,0520, или в размерном виде 9,26 мз/сз. Прямолинейный годограф рассматриваемого ускорения, как видно из рнс, 13. 2, проходит близко от начала координат. Поэтому в средней части пути направление тяги быстро меняется на почти противоположное, а модуль ускорения силы тяги меняется существенно: от значения Тс= 1,20 мм(ст убывает (на !05-е сутки полета) до значения, близкого к нулю (!мгв=0,15 мм/ст), а затем возрастает до )в=!,22 мм/сз.
13.1.5. Менспланетный полет с реактивным ускорением, постоянным по величине и однократно меняющим направление 382 Метод транспортирующих траекторий применим к расчету полетов с произволь ным управлением реактивным ускорением. Простейшим управлением является такое управление, когда реактивное ускорение постоянно по величине и однократно скачком меняет направление в пространстве. В настоящем разделе приближенно рассматри.
ваются полеты с таким управлением, хотя задача о полете КА под действием ньютоновского поля сил и постоянного вектора реактивного ускорения может быть решена строго в эллиптических функциях Якоби [2]. Рассмотрим движение в транспортирующей системе координат. В ней в первом приближении, так же как и в случае оптимального управления (п. 13.1.4), можно пренебречь солнечными возмущениями. Чтобы можно было удовлетворить шести начальным и шести конечным условиям (трем компонентам скорости и трем координатам точки), движение должно содержать кроме шести постоянных интегрированяя, еще шесть свободных параметров. В рассмат.
иваемой задаче шестью свободными параметрами являются следующие величины: — величина ускорения тяги; ае, г, — два угла, определяющие положение вектора тяги до изменения направления; аи, 1„— те же утлы после поворота вектора тяги; т — мо мент поворота.
Эти шесть параметров должны быть выбраны так, чтобы обеспечивалось выпал. нение заланных краевых условий. При этом а есть угол между осью к и проекцией вектора ! на плоскость эклиптик! «у, а ! — угол между вектором 1 и осью з. Уравнения движения в транспортирующей системе без учета возмущений имеют вид ха=У~; 1(т, х,= /"; г)т, 5=1, 2, 3 (13.
35) (здесь обозначено х=хь у=«2, з=хз). Компоненты !' и !'г определяются формулами: о н Т1 = У Саз ао 51П 1о) Уз.— Т" 51П ао 51П !о., Уз — — — У СО5 !з, о о х1 — усоз аз 51П 1„; у~з — — у 51П а, 5!п гк! у" = Т соз 1,. Интегрируя уравнения (13. 35) и требуя, чтобы при 1 =- О было хз = х, х, = х„ а при ! = Т было х, = х"„х, = х,", получим систему алгебраических уравнений для опрелелеиия параметров ао, (з, ак !к, 1 Решение этой системы можно записать следующим образом.
Обозначим з а)'« — х — хг; 1«г = хг — х, — «,Т; а2 = ~Ч~~ ~(а)' )2' ! 1 з (Ь~ хг)(дхз) 0 г 1 02= ~)! (Ьхг)2; и = —; соз 0 =. Т Оо Тогда решение системы упомянутых алгебраических уравнений будет зависеть от трех параметров: о, О, соз 0 и представится в виде т 2 (оз+ 2и2 — Зио соз В) ч- )г 2(аз + 2иг — Зио соз В)2 + 2 (2и2 — ио соз 0)2 Т 2(о2 — 2ио соз О) (знак перед радикалом выбирается из условия О<т)Т<1); т )2 !' ту 1 о2(1 — — ~ +-4из — 4ио сов 0 (1 — — ) Т~ ~ Т) Т= Т (13. 36) ( — ') — т«(Т вЂ” т)+ 25«з соз !о = О' а !о < 180'1 УтТ вЂ” Ь)'к (Т вЂ” т) + 2Ь«! соз по = УтТ 51п !о — а)г (Т вЂ” т) + 20«2 51П аз = 12Т 5!п !о ЬИ (2Т вЂ” т) — 2Ь«з СО5 !к —— О' а(, < 18О'! УТ(Т вЂ” т) (2Т вЂ” т) — 2Ь«2 Д)г«(2Т вЂ” ъ) — 2Ь«1 з!па,= Саз ак = /Т (Т т) 51п !» ТТ (Г т) 51п эти формулы опРеделяют зегичину реактивного ускорения, его направление до и после поворота и время поворота по заданным краевым условиям и полному времени полета Т.
В эти формулы входят координаты «, и компоненты «, скоростей в транспортирующей (движущейся) системе координат. При исследовании полета с Земли на Марс транспортирующий эллипс выбирзлся так, чтобы в момент 1 = О он проходил через Землю, а в момент 1, — ерез проекцию Марса на плоскость эклиптики. Пусть )гт, )гт, И!= Π— компоненты скоростиотноси«з з тельно Земли в момент 1= О, а )г", )гш )г" — относительно Марса при 2 = гк в транспортирующем движении. И пбтсть в момент (=г„расстояние от Марса до плоскости эклиптики есть л„.
Тогда х1 =- хз = х, = О; х» = х» = О; х» = х.; х, = — 'ъ"; х,= — хо= О; х" =- — )гч"; х' = — )г„", х" = — )гч,. Такой выбор граничных условий обеспечивает отлет с Земли с нулевой относительно Земли скоростью и прилет на Марс с нулевой относительно Марса скоростью. (Земля и Марс считаются нетяготеюшими точками.) Для полета с Марса на Землю с теми же условиями граничные данные имеют внд к л к х! —— хз — — 0; хз —— - л„х! = хт — — хз —— . 0; х =.— Ух; о 1 хз = — У; хз — -- — У"; 'о «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
