Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Времена сушествовання 1,тщ ИСЗ для начальных высот апогея 77,=600 км и перигея Й~=150 —:200 км 132 Потенциал возмущающих сия от Солнца и планет, а таиже их спутников, в том числе Луны, можно представить в следующем виде; и| Я= 1 !г р; ХХ!+ УУ!+ ХХ! р! ~д! г! 11 где А! — расстояние между 1-м возмущающим телом и КА; ! — номер возмущающего тела; я! — количество тел; р, — коэффициент притяжения 1-го тела. Черта над р! в первом слагаемом указывает, что для Солнца коэффициент уменьшается: (4.
1!) РО' РО+ РЯл где АРΠ— учитывает отталкивающее влияние солнечных лучей, харантерное для данного КА с малой массой гл и площадью миделевого сечения З„перпендикулярного направлению солнечных лучей. В формуле для потенциала возмущающих сил использована система прямоугольных координат. Начало ее помещено в центре масс основного притягивающего тела, е сфере действия которого пролетает КА, а оси имеют произвольные направления, но не вращаются, Расстояние А! между 1-м возмущающим телом и космическим кораблем с координатами Х, У, 2 определяется по формуле Д',. = (Х! — Х)2+ (У! — 1)2+ (г! — Х)2.
Соответственно для расстояния между притягивающим центром и возмущаювшп теяом с координатами Хь Уо Х! !.2 = Хт+ 1.2!+ Уз Приведем формулы для расчета изменений элементов орбиты. Точность этих форллул в большинстве случаев вполне достаточна для практики. Заменим равенство (4.11) эквивалентным выражением; при г(гь и, '=Х -"' Х(-')'"-" — '":" ~ и-1 и! ' (4. 12) при г)г! и, л и=~ — с~( — ') и.(„, —, " "" ~. [к л! ! 1 л 1 ! Здесь гт =- Хт+ Уз+ Хт — квадрат расстояния от осиовно!о притя1ивающего центра до КА; и, л '-Х 1( )'(-")-"' ! 1 л 2 "О где и» вЂ” квадрат расстояния от начала координат до Солнца; 2 у!» — угол между нзправлениями на КА и на Солнце.
Первый член формулы учитывает гравитационное влияние космических теч и Солнца, второй †давлен солнечных лучей. Величину др!» можно вычислить по формуле .оЬ'и д!'О = 2, гил.л 133 ХХ!+ УУ!+ ХХ! соз у! = — косинус угла между направлениями из начала координат гг; иа 1-е возмущающее тело и КА; Ри (соз у!) — полиномы Лежандра. Ограничимся случаем (4.
12), т. е. когда возмущшощее тело находится за пределами орбиты КА или, точнее, на ббльшем расстоянии от центрального тела, чем КА. Выражение (4. 12) заменяется следующим: где р — давление солнечного света на расстоянии в одну астрономическую еди. ницу А. Величина р в каждом конкретном случае должна определяться экспериментальным путем (порядон этой величины 0,5 мг(мэ). Расчет солнечного давления путем уменьшения РО не является полным, так как ие учитывает возможности появления тангенциальных сил, равнодействующая которых будет зависеть от угла падения лучей и от состояния поверхности, Для сферических или плоских тел с плосностью, перпендикулярной направлению на Солнце, при полностью зеркальном' или диффузном отражении тангенпиальная составляющая равна нулю.
На практике для реальных объентов ее величина и направление должны определяться экспериментально на моделях. В уравнения движения соответствующие составляющие могут быть введены после проектирования экспериментально найденной тангенциальной силы на выбранные оси координат Х, У, Е. Продифференцировав потенциалы возмущающих сил |т по ноординатам орбитальной системы координат, получим л, л, соз уО ,~~~в( дг,~~~1~ г~ лззяз ~, г;, О ,1 ! 1 л 2 л л, л Т =-. соз 3! == — соз 6! — Р (соз у;) + ! 1 ! 1 л 2 з|п уО + бро 2 соз ЗО( О ! 1 л 2 з!п ТО +брО 2 ' з!п ЗО.
О Здесь 5, Т, (и' — составляющие возмущающей силы (на единицу массы КА) от л! космических тел по осям орбитальной системы координат; б! — угол между плоскостью, содержащей КА, пентр притяжения и 1-е возмущающее тело, и плоскостью орбиты КА (см. рис. 4, |2); Р„(соз у!) — производная от полинома Лежандра по углу !р!. Для одного (условно — первого) космического теда составляющие возмущающих сил могут быть записаны в следующем виде: .,'0 о =-р| 7 „„, д ( — 1) ~ !(сов ц сов и+ й' й' 2л( — )! ~" .й' ( (л — 2!)! 'х! ! л 1 1-0 -|- э!и ц з!и и соз !)л 2ли! гл|+ .С~4 (л — 2! — !)! ~! ~ -1 1-0 — юпт! соз и соз !)(соз т! соз и + з!и т! з|п и соз !)л „1~1 з|п!' гл ' '~ ! ! (2п — 2!)! л) лй !4 2лп! г1~~ ай~1~ (и — 2! — 1)! (! ~ л 1 |-в + з!п т! з!и и соз !)л ' з!п т).
Звездочка над р! означает, что при л= ! для Солнца величина р! заменяется на — АрО(учет давления света). Для всех остальных тел сумма вычисляется начиная с л=2. После подстановки полученных 5, Т, )Уг в уравнения движения (4. 5) при неэависи. мой переменной б и интегрирования каждого уравнения в отдельности в пределах от б! 134 ('» — 1 1 2 /л 2! — 1 л (ага+1 спи! ~ ~ б~~п( ~! (и 2/ 1)! ~ т / О т О -!- ! — П.!-2/ 2 соз т / О Х соз у! соз 22 ~)! з!и а-о /т -!- И~, Хе'!+па/ 2 / !)а!-! — в+3/+ Х Х- ° О 2/ / !О ) л+2 — ~ + Ыл! а, и и 2 л — 2а' Опз!В иг! ге+!2л ;, ! (2и — 2!)! (и э) и — 2/) / / О т-О !!и и†2 а!-2/.~-2 Х соз'+'у!сов~уз ~~~~~~ ( — 1)"+з/! '( 2 ) ( ) Х / О ' О ( 2 )л-И вЂ” 1 Х Е вЂ” а — 2/ — 2/ ~)~~~ Ъ~~~~ ( !)!-! ( (и — 2!' — 1)1 а!, !-О т О т !-2 — ! 2,! 2 а!-2/-!.! Х ( ) соз'+'2!соз тз ~~ ~~„( — 1)'+з ' Х а-!, !-о /-о 2 )( ) 1 ( ) К (4.
!4! — Д(/л соз ! + Отл/! 2 )л — 2! — 1 ~~(~п4 ~~4 (и — 2!' — ! )! (/ ) /а!Р Рп = л+!2л рг! и 2 +а+2/ !/!соз !/2 ~~ ( !) Х '$'-'7 а-О ( 2 )( ) ' ( Г, .( — (г л 1 135 до дл получим следующие формулы для изменений элементов орбиты (эа основную плоскость системы координат выбрана плоскость орбиты возмущающего тела): м ч- 1 2 21+2/ т+ 1 у /-О .-О / и — 1 '1 Е 2 /и — 2! — 1 "--'-"' -- Х Х -'"."' '-" (').
О т О т+1 — а 1 а, а+2/ а О 1О,О (4. 14) х( 2 /( ) ' и-.) + Здесь АО, Аю, Ар„, Аа„— изменения элементов орбиты КА в течение произвольно выбранного промежутка времени вследствие влияния только одного космического тела и только при учете в разложении потенциала /7 одной п-й гармоники. Полное изменение элемента за счет всех членов разложения до п-го включительно получим как сумму соответствующих возмущений, начиная с п=2.
Полагая л=1 и р!=- — АрО, найдем по тем же формулам возмущение элемента орбиты, обусловленное влиянием давления солнечного света на корпус КА. Изменение наклонения орбиты А!„ Определяется по первой формуле для А() после замены з!им на сов ю и соз ы на — з!и ю и умножения всего выражения на юп !. Изменение зксцентриситета Ае получим, используя связь (см. гл. 111) р=а(1 — е') иа основании которои 1 Даи = — [(1 — Е2) Даи — ДРи). (4. 15) 2ае В формулах (4.!4) поправки ОЯиг, Они!, Ори!, Оаи, учитывают движение возмущающего тела вокруг центрального (см. ниже). Если необходимо учесть одновременное влияние нескольких космических тел (например, Луны и Солнца), то формулы (4. 14) используются последовательно и после приведения элементов Я, цд ! к единой системе координат результаты снладываются.
Обозначения в формулах (4. 14): (~= п ! [ = Π— число сочетаний из п по 1; и а =. и — 21 — 1 — т; ч )Г! — Е2 1а— 2 агсгд1+е О, !/9 2 /1 = 1+ е соз 9 У1 — е2 О, при с<1, и — л<б<л (4. 17) 136 е — энсцентриситет; и! — коэффициент притяжения возмущающего тела; и! — радиус-вектор возмущающего тела, средний для участка [6!, 92[; ц, !р!, !р! — углы, показанные на рнс.
4. 12; СОЗ у! = СОЗ !) СОЗ ы + З/П т) З!ц и СОЗ 1; соз 72 = — — соз т( з!и и + з1п ц соз ш соз !. Величина / ч! ~ является интегралом вида с/9 1 е з(пй (1+ е соз 9)'" ' п(1 — е2) ( (1+ е соз 9)и !/9 Д9 + (2п — 1) и (п 1[. (4. ~~) (! + а соз 9)и / (1 + е соз 9)и Рекуррецтная формула позволяет последовательными вычислениями свести интеграл / +и к интегралу или 9 )Газ — 1 !8 — +1+в 2 1 т'! =- — !и ф'ез 1 (4. 18) 9 Уез 1 !и — — 1 — е 2 з, при е)1 и — 9 (9(9„, где угол д для гиперболических орбит может быть определен из соотношении 1 ) 9 ь = а ге сов ( — — )!. е ! Приведенные выражения для интегралов ) +ь ° справедливы прн недробных ин На сгрчсгэмр Рис.
4. 12. Орбита КА в системе координат, основной плоскостью которой является плоскость орбиты возмущающего тела смысл. Если указанные величины получаются дробными, то величина т, входящая в них, уменьшается на единицу, а интегралы принимают внд аа в. Д соз 9 1 чьа— (1 -'; е соз 9)"+а —" е (1-1-е соз 9)"'" " !(л -~- Гг — ч — 1) э, Э (4. !9) Если элементы орбиты меняются быстро, то, выбрав соответствующий шаг по истинной аномалии Лд, можно проводить вычисления последовательно, по участкам.
При этом при переходе к новому участку легко учесть смещение возмущающего тела, вычислив его положение для следующего момента времени. Для случая сильно меняющихся элементов орбиты целесообразно ввести множитель у из формул (4. 5), принятый выше за единицу. При этом расчет изменений элементов орбиты можно проводить по формуле др =- ъар — 1!49! — ар'(1з — ъ) (4. 20) где ад — изменение элемента; )ш Ьрз — соответственно мвожитель 1 и изменение элемента, вычисленного по фоРмУ- лам (4. !4), для конца интервала; !пар! — то же лла начала интервала, ад' — среднее значение изменения элемента на расгматриваемом интервале движения КА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
