Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 27
Текст из файла (страница 27)
гл. П). Для орбит, не близких к круговым, Ль Лс часто заменяют на е, ы: сге /г р ( / г1 ег 1 — = 1 ' — ~~Я з!п Э+ Т~! + — ~ соз Э+ Т вЂ” 1 ! и у Р Р сйэ,э ! созЭ / г сзспЭ г — = 1/г — [ — Я вЂ” + Т !(1+ — /! — — 07 — ссд! з!п и1.
с/2 Э// р 'Л е Л р/ е р Система уравнений может быть проинтегрирована численно для любых начальных значений оскулируюших элементов, в том числе для гиперболических и круговых орбит. Значения элементов орбиты для любого момента времени рассчитываются по формулам: м= !СО+ ЫЛ с = с'О + Ьс; Л2 = Л20 + ЬЛ2, Р= Ро+ ЬР Л, =Лю+ ЬЛВ и = из+ Ьи, г з!пи !Л = 0о + ~ — )Ь'Н/! )/рр з!п с с, г с = !о+ ~ ягсовид/! са Р = Ро + ) 2 — гул/; с - сс г Л Лс = Лсз+ ~ ~/ — ~ — Я соз и+ Т 1.! — з!п и ! Р са г + (ЛсТ вЂ” Л2%'с!я с' З!п и)1 ис; Р (4. 4) ./'Р( / г Л Лт = Лю + ~ 1/с — ! Я а!п и + Т 1 -1- — соз и + и Р г + (12Т+ Лсйтссяс з!и и)1 и!; Р с ! Ь рр гз /.2 / (р) О+~ ~ 1 — — с!пс ни и.йу () ~' Полагая на некотором интервале времени ! — 1р величины р, с, Лс, Лс постоянными и равными их невозмушенным значениям, получим после вычисления квадратур значения оскулирующих элементов на каждом шаге расчета квадратур.
Зто позволяет второе приближение (и=2) вычислять с испотьзованием полученных в первом приближении (и=1) величин рс, сс, (Лс, Лсс, Лсс, ис. Процесс итераций прекращается, когда разности бр~=р„— р с, сЛс = — ! — ! с,... достигают значений, меньше заданных. В большинстве случаев для расчета орбит достаточно ограничиться первым приближением. саля получения первого приближения в виде конечных формул целесообразно перейти к независимой переменной и или О.
При этом уравнения движения в оскулирующих элементах принимают вид: 110 где Яо, со, Ро, Лш, Лто, ие — значения оскулирующих элементов в начальный момент времени, ЬСЛ, Ьс, Ьр, ЬЛс, ЬЛ2, Ьи — изменения этих элементов, вычисленные путем интегрирования системы (4. 3). Система уравнений (4. 3) может быть решена также методом последовательныл приближений, для чего она представляется в интегральной форме: й!Л гэу э!п и — — (р'; йа ИР ЯП4 й/ гзТ вЂ” =- — Чг соз и; йи рр ~Р 2! — = — гзТ; йи и йЛ! гэТ ! / г Л, г — = — ~ — Я сов и+ Т 11+ — /! з!пи+ — (ЛдТ вЂ” Лэ)!Тс(дэ з!п и)~; йи Р Р 1 (4.
5) / г Л г — = — ~Я З!П и+ Т (1+ — ~ СОЗ и+ — (Л2Т+ Л!йге!и/ ЯП и)~; йи и Р Р 4/и гэй )/ (р) йи )г, (г)2 ! Т= 1 — — йгс!И/ яп и РР При непосредственном вычислении эксцентриситета е и аргумента перигея ы вместо уравнений для Л, и Л, применяются следующие; йе гэу Г / г Л е ~ Я з!и Э + Т ~ 1 + — ~ яп й+ Т вЂ” г~; йи и Р Р йе г2Т Г соей / г Лэ!пй г — =- — !Л вЂ” Я вЂ” + Т !11+ — ! — — %' — с!я/ яп и~. йи и ~ е ~ р/ е р В случае использования д вместо и имеем Т— г2 г2 / г1 1 + — Я соз Э вЂ” Т вЂ” (! + — ) з!п й ре Р Полагая в правых частях элементы постоянными и равными их невозмущенным значениям, считая у=! в первых пяти уравнениях, а также зная выражения для проекций возмущающих сил Я, Т, (и, можно путем интегрирования каждого уравнения в отдельности получить в первом приближении формулы для расчета изменений оскулирующих элементов.
Так, для учета влияния нецентральности поля снл земного тяготения, обусловленного эллипсоидальностью Земли, имеем Я = — (3 яп2 4 з!пэ и — 1); г4 ч Т == — — яп2 4 зщ 2и; г4 ))г = — — з!и 24 яп и, гч и~а э Гдв э =ра2 И вЂ” Л хуе Выражения для Я, Т, йт получены после дифференцирования потенциала возму. шаюших снл, в котором удержан лишь один член аю ч / 11 !г' = — ря! ( щи у) =.= — — ( яп2 у —— гз гэ(, 3/ где ~р — геоцентрическая широта и з!и ~р=з!п/яп и. После подстановки значений Я, Т, Ф' в правые части уравнений (4. 5) и интегрирования в пределах от иэ до и при постоянных незоэмущенных значениях 4, р, Ль Лэ, равных 1=(1)=14 — б/о . 111 получаем (4. 6) 1 3 А = — — — а; 2 4 1 7 3 А = — ее+ — е+ — ез — — ае'; 2 6 2 19 ! 3 2 1 /г Аз —; —, /гез — — ез — — /ге + — е — — + —; 24 2 8 3 Зе Зе ' где 112 г соьгГ 1 / 3 ! ЬЯ = — — [и — — з!п 2и + Л, ( — — соь и + — соз Зи) + !гр2 ~ 2 ~ 2 6 /1 1 + Л2 ~ з10 и — з1п Зн) ~ ! ~ 2 6 г з!п21 Г /, 1 Ы = [ соз 2и+ Лг ( — з!п и+ — ып Зи) + 4,р2 ! 3 1 + Лз ( сов и+ — соз Зи)~; 3 еа Г / 1 Вр = — [ соь 2и + Лг ( — в!п и + — з)п Зи) + + Лз ( сов и + — соз Зи)~; ЬЛ1 = — ([! — — /г + Лг ( — — — /г) + Лз ( — — — аЯ ып и + Нгз + Лг [( — — + 2/г) сов 2и — — й соз4и! + Лз [(2 — — й) и+ 3 + — а зги 2и + — /г з(п 4и ! + — а (Лз — Лг) ь)п 5и + 2 „-8 ~ 16 - се 13 5 ч 1 + Л1Л2 [( — 2 + — а) соь и + — а соь Зи — — а соз 5и ~), 4 / 24 8 ЬЛ2 = —, ([1 — — а+ Л21( — — — /г) + Л2 ( — + — Гг)1 созе+ 5 3 + Лг [ — (2 — — а) и+(1 — 2й) з!п 2и+ — /г ып 4и~+ 2 / 8 +Л [( — + — а)соз2и+ — асоз4и)!+ — а(Л вЂ” Л ) соз5и+ / 1 1 3 2 2 Л 2 2 8 16 + Л Лз — 1 — — Е) з!п и + ( — — — а! з!п Зи + — й згп би), где а= Ыпз/ Элементы орбиты имеют вековые (кроме ! и р) и периодические изменения с периодами для 5ГЛ, б!, бр, равными и (без членов, зависящих от энсцентриснтета) и для 2 бЛ, ЗЛ2, равными 2п и — н (беэ членов, зависящих от эксцентриситета).
1 3 Поправка к времени полета вычисляется яо формуле (для эллиптического движения) 9 М= ~(! — е2) [ — (Аг + — Аге2+ — аезсоз2гэ) Е+ 2 + (Аз + Аз соз 2о) з)п Е + (Ач + Аз соь 2 ) ып 2Е) + 5 л 1 /13 а 2 + (1 — ез) — 2 [ — (1 — — Е) и+ — з!п 2гэ( — й — 1 — — + — (1 — е,'соь Е)2+ 4 ) 4 ~ 12 е2 Зе2 / ) е 1 — а -1- — ып 2е(! — е соз Е) + з!п (и + е)) (4. 7Л бе2 Зе и, / 5 3 5 1 Ач = ~ — — — Л вЂ” — еэ + — йеэ) еа; 1 24 16 12 2 1 /! 1 1 |9 1 1 Аз = — ~ — — — Л вЂ” — ез + — Ггзз + — ез — — Леч ) 2 Лб 4 3 48 б 3 л, е=1 Лг+Лф =Асс!к Лз Время ! в возмущенном движении будет 1=7+ 56 где | — время для невозмушенного движения. В случае небольших эксцентриситетов поправка ко времени находится по формуле з / 1 7 Г 1 Ь1= — ~(! — 4созз()и+( —,— — Л) з!п2и+е~ — й з!п(и+и) + /5 11 7 3 + ~ — й — — ) з|п (Зи — и) + ~2 — — й + — соз 2м) з! п Ь— Л12 2) Л 2 4 3 )!и — (1 — 5 созз1) и соз Ь вЂ” — й з|п (и — Зы) ц (4.8) 8.
ио Из формулы (4. 7) при ар=0 и и=2п получим выражение для драконического пе- риода (с учетом периода невозмушеиного движения) — — езй соз2 +(1 — ез) | ~ — Л вЂ” 2)(1 — е сов Ее)з~, 8 Л 2 где Еч соответствует из| а — полуось невозмушенной орбиты. За невозмущенную орбиту принята орбита, для которой эллиптические элементы имеют следующие значения, обеспечивающие максимальную точность расчета по фор- мулам (4.
6) — (4. 8): (ы) = !|з — Ьйо| (Л|) =. Л|е — ЬЛ|е| (Р) = Ро — Ьре (1) = ге — Ьго, '(Лз) = Лю — ЬЛю, т. е. начальные оскулирующие параметры уменьшаются на поправки, являющиеся результатом подстановки в формулы (4. 6) значения из. В общем случае возмущенного движения для расчета времени полета используется интеграл и гзаи т — !о= гз )р рр (! — — с!К!а|и и (Ьт) Приведенные формулы позволяют рассчитывать влияние сплюснутости земного эллипсоида при указанном выборе элементов невозмушенной орбиты с ошибкой на витке ие более 500 м, т. е.
0,5 с (по положению вдоль орбиты), и 50 — 100 и в боковом направлении, что соответствует ошибкам в (Л, г примерно 2 — 3" и 150 — 200 м по высоте. Формулы перехода от оскулирующих элементов к прямоугольной системе координат приведены в гл. !!. Формулы первого приближения (4. 6) показывают, что элементы О, Ль Лэ испытывают вековые возмущения. За один оборот спутника вокруг Земли они составляют: 2пз Ьйв = — — соз 1 (прецессия узлов), Ррз е ЬЛ =- иЛз(4 — 5з!пз !) —; |в— Е ЬЛз = — иЛ| (4 — 5з|пз() —.
ррз Для круговой орбиты последние два равенства обрашаются в нуль. Для эллиптических и гиперболических орбит соответствующее вековое смещение перигея (лииии апсид) равно: пе Ьи = — (4 — 5сбпз!). ррз 113 П, 5000 и,град И 45а0 Нплрадлениг гмгихгнил плпгкпети ппаиты 4ПИ 5500 7000 7500 Схема ппльгаранил съ с 7ИП Дпнп 7500 Ф Лана !000 Припер раечгта Лана: И=3700 км 1=07' атдет: 8 Я;-акм (7,7мин) Рис. 4. 1. Смещение узла орбиты (прецессии) зз один виток !!4 з,гааз 4Р77Р 77з 70 Рис. 4.2. Смещение узла орбиты (прецессии) за сутан т,граЯ Бà — г- Ба 8го, Бля 1 е Ббо Б1 га 1Б а Рис. 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
