Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3. 1. Годограф векторов скорости для эллиптического движения 'аг Кг р еФр Гаперзала Рис. 3.3. Годограф векторов скорости для гипер- болического движения Рис. 3.2. Годограф векторов скорости для параболического движения Рис. 3. 4. Возможные годографы скоростей при заданных значениях вектора скорости Г~ н гг Если заданы У, и Гэ, !т~Ф Гэ, то движение может быть эллиптическим, параболи.
ческим и гиперболическим в зависимости от времени движения между точкой 1 со скет ростью У, и точкой 2 со скоростью Ут (рис. 3. 4). На рис, 3. 4 обозначено: Очэээа — центр окружности, проходящей через начало н концы векторов скоростей У~ и Гт, О„р,а — предельный центр окружности, касающейся меньшей из двух скоростей, например 7т.
Предельное движение, для которого имеются такие векторы скорости, является гиперболическим со скоростью на бесконечно большом удалении 7 =Ут с центром годо графа в точке О э,а. При параболическом движении начало векторов должно лежать на окружности годографа с центром в Очьэча. На прямой АВ, между О„р,а и Очттх, лежа~ центры окружностей годографа скорости при гиперболическом движении.
Слева от О,рчэ лежат центры годографов скорости в эллиптическом движении. Отсюда для эллиптического движения заданным 7ь Ут можно поставить в соответствие любое значение большой полуоси а в интервале [О, со], для гиперболического движения любое значение а в интервале — — , тч 1,э Если известно также время и направление движения между точками, то а определяется однозначно. ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. !П 1. Ду ба шин Г.
Н. Небесная механика. Основные задачи и методы, М., Физматгиз, 1963. 2. 5 ! ц ш р ! ! К., «Нцгпгпе!зщесЬап!к», Ьапб 1, Вег!!п, 1959. ГЛАВА !У ВОЗМУШЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а — большая полуось общего земного зллипсоида. аь к, Ь,— постоянные коэффициенты в упрощенной модели атмосферы. Ь вЂ” баллистический коэффициент. с» — коэффициент аэродинамичесьюго сопротивления. Š— эксцентрическая аномалия. е — зксцентриситет. е — основание натуральных логарифмов. Р— вектор силы тяготения. ЄЫ, Р,— компоненты возмущающих сил по соответствующим осям. à — гравитационная постоянная. Ь вЂ” высота над уровнем земного зллипсоида.
Ь„ Ь„ — высота КА в апоцентре и в перицентре орбиты. т — наклонение плоскости орбиты к экватору М вЂ” средняя аномалия. т« — масса центрального тела. т«, — масса КА. и — число витков КА вокруг планеты. Р— период обращения спутника по почти круговой орбите. Р„ Р«, Р, — проекции ускорения от реактивных сил, которые могут быть приложены к КА. р» — обобщенные импульсы. д« вЂ” обобщенные координаты. В в радиус земного эллипсоида в данной точке; потенциал возмущающих сил ат планет и Солнца.
В« — сила лобового сопротивления, которое испытывает КА при движении в атмосфере планеты. г — расстояние от центрального тела до КА. »вЂ радиус-вектор произвольной точки. г, г, — расстояние в перигее и в апогее орбиты от центра Земли. З, Г, 'йт — проекции ускорения от возмущающей силы на орбитальные оси. Зм — площадь миделевого сечения, определяемая как проекция КА на плоскость, перпендикулярную скорости полета. à — кинетическая энергия; период обращения КА вокруг центрального тела, Ь вЂ” время. сц'Х, У, 2) — гравитационный потенциал Земли; потенциал или силовая йтункция центрального поля сил тяготения. ЕР— часть гравитационного потенциала Земли, учитывающая от.
личие «эллипсоидального» поля тяготения от центрального. и — приращение возмущенного аргумента широты относительно его невозмущенного значения. 10б о — скорость полета относительно атмосферы Земли. о — скорость движения спутника по круговой орбите. о„ о„ вЂ” проекции скорости на оси цилиндрической системы коорди. наг. Х, У, Я в координаты КА в абсолютной системе координат. х, у, а в координаты КА в гринвичской системе. я — сжатие общего земного эллипсоида.
а, б — прямое восхождение и склонение небесного тела (в частности, КА). у,— ускорение силы тяжести на экваторе. 7»,— среднее ускорение силы тяжести для земного эллипсоида. Лд, — проекция возмущающего ускорения от аномалий сил тяжести на направление, обратное направлению радиуса-вектора точки. » Лй г — пРоекциЯ воэмУщаюшего УскоРениЯ от аномалий в напРавлении на восток. Лог — проекция возмущающего ускорения ат аномалий на направ- Ф ление меридиана к северу. Лг, Ло„»Ли, Ло„, Лг, Ло, — малые возмущения круговой орбиты в цилиндрической систе. ме координат, по радиусу-вектору, вдоль орбиты и по нормали к ее плоскости, соответственно.
Л(> — потенциал аномалий силы тяготения планеты, б — угол между плоскостью, содержащей КА, центр притяжения и возмущающее тело, и плоскостью орбиты; азимут орбиты'„ склонение небесного тела, 0 в истинная аномалия. >»=ез>пы, >ч=есозы — элементы орбиты Лапласа. >г — коэффициент притяжения Земли >з»=а»» — коэффициент притяжения центрального тела. 0 — плотность атмосферы в данной точке, й» вЂ” плотность атмосферы в перигее орбг ты. гр — геоцентрическая широта; центральный угол в плоскости не- возмущенной круговой орбиты, угол с вершиной в центре притяжения между КА и возмущающим телом. ф — угол поворота плоскости почти круговой орбиты под действием возмущающего ускорения )р'.
м — аргумент перигея. ы — угловая скорость вращения Земли. з Возмря>енным движением космического аппарата называется его движение под влиянием, помимо центральной силы, также сил, малых по сравнению с силой притяже- ния основного (центрального) тела. 4.!. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Дифференциальные уравнения возмущенного движения КА в абсолютной прямоугольной системе координат имеют вид Х вЂ” Хо Х = — ро У вЂ” >о ро (4. !У 2 — Хо Е» 2= ро + — ' гз юх.» > где Хо, Уо и Ио — координаты центра тяжести основного притягивающего тела.
Первый член в правой части каждого уравнения является проекцией на координатную ось ускорения от центральной силы притяжения основного тела, второй член — от возмущающих сил. Конкретные выражения для входящих в уравнения компонентов возмущающих сял будут зависеть от того, какие силы учитываются. Основные воэмуп>аюл(ие силы пля искусственных спутников планет и других космических аппаратов вызываются следующими причинами: 107 — нецентральностью поля тяготения, обусловленной сплюснутостью планеты и не. равномерным распределением масс внутри нее (аномалия силы тяжести); — сопротивлением атмосферы (если она у планеты имеется); — влиянием соседних планет и Солнца; — давлением солнечного света (для КА малой плотности).
Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли (см. гл. 1, равд, 1. 3. б) и — — =-и +д(Р, ужо г где потенциал (/' учитывает отличие «эллипсоидального» поля тяготения от центрального; А(Р— потенциал аномалий силы тяготения Земли. Часто используемое разложение потенциала (Р в ряд по полиномам Лежандра имеет вид (при включении всех зональных гармоник) и = р —,. „0(а)пу), Ъ( ило л 2 где а„о — постоянные коэффициенты; Р,о(в!и р) — полиномы Лежзндра; у — геоцентрическая широта. Дли учета в уравнениях движения в практических расчетах достаточно одного, максимум двух-трех членов разложения. Производные от (1' по координатам Х, У, 2 дают ускорения, действующие по этим осям. За начало координат принимается центр масс Земли. Вследствие вращения Земли вокруг своей оси в данной точке пространства возмчщающая гравитационная сила будет переменной во времени, поэтому удобно использо~вать систему прямоугольных осей, жестко связанных с Землей (гринвичская система координат).
При этом к потенциалу И' добавляется потенциал центробежных сил )1. Если ограничиться первым членом в выражении для (1' и учесть потенциал центробежных сил, то в гринвичской системе координат система уравнений движения КА принимает вид Х Х 2 ХХ .т = — иоо, — 0020 Р20 + ааэ.т — 020 Р21 + га гз г5г1 Г„ +2м у+ — +р,:, шк.а 2 гу У = — иоо — — 0020 — Р20+ "зу — ию Р21 — ) гз гз Г"Г1 (4. 2) Р„ — 2м х+ — "+ рр1. тк.а г л Р, — П00 — ЗП20 Р20 + и20 а 21 + + Рг 3 20 5 гз тк.а Здесь г1 =- ргхз -1- у2; Р21(51п у) — присоединеннзя сферическая функция; Р, Р„, Р— проекции возмущающих сил (притяжения небесных тел, сопротивления воздуха, давления солнечного света и др.); Р, Ра, Ра — проекции реактивных сил, отнесенных к единице массы КА, которые могут быть к нему приложены; г мзх, мзу — центробежные ускорения; 2м у, — 2м х — кориолисовы ускорения по осям х и у.
3 ' 3 Конкретные выражения для членов, учитывающих влияние других планет и Солнца, в также сопротивление воздуха, рассматриваются ниже в соответствующих разделах. Конкретные выражения проекций Р„Р,, Р. зависят от характера приложенных реактивных сил. Лавление солнечного света и отраженного света от поверхности планеты, которые имеет смысл учитывать для КА малой плотности (надувных) или имеющих развитые поверхности, вводится как некоторый добавок к постоянной тяготения Солнца (или планеты). 108 Уравнения движения на практике редко включа!от в себя все возмущающие силы одновременно. Для близких к Земле спутников, как правило, учитывается нецентральность поля сил и сопротивление воздуха.
1(ля КА, совершающих межпланетный полет,— влияние притяжания планет и их спутников. В табл. 4.2 и 4.3 (см. равд. 4.4) показано влияние притяжений Луны и Солнца на движение спутников Земли в зависимости от высоты полета. Можно видеть, что эти влияния при точных расчетах имеет смысл учитывать уже начиная с высот ! — 2 тыс. км, если рассматриваются длительные промежутки времени (более месяца). ))ля межпланетных траекторий КА в уравнения движения могут включаться силы притяжения от ближайших космических тел.
Эти силы особенно существенны при приближении к сфере действия планеты. В уравнениях движения (4.2) члены Р„!тк.а Р,1шз.з Г,1шк.з принимают вид л л ,~~ «1О й~~~~ х!3' ! ! 1-1 л л Ую ~~,~~~ 9 з л л зй; а!о — ~) з!з (! = 1, 2, 4, 6... л) Як.а лйм!й ! ! где х!о, у!о, х!о — проекции возмущающего ускорения от 1-го небесного тела; х;з, у!з, х!з — проекции ускорения Земли от!-го тела в соответствии с обозначениями, принятыми в гл.
Х и Х!!. Уравнения (4. 2) интегрируются численно. При этом неизбежно накопление ошибок уже на сравнительно коротком интервале времени. Чтобы уменьшить ошибки интегрирования и получить приближенные формулы, применяют систему уравнений в оскулируюших элементах, т. е. в орбитальных элементах (см. гл. П!), принимаемых за переменные. й!Л г з!и и й! у' рр з!п ! о'! г = =(т соз и; и! )'Рр пр - Р— =2~~ — гТ; й! йЛ! ./ р! / г Л вЂ” — ~ — Ясонов+ Т ~1+ — у!шли+ Р г + — (Л,Т вЂ” Лайв С1Ц Е З!и И)); (4. 3) лЛ2 / РГ ! г — — ~Я яп и+ Т(! + — ) сов и+ .1 Р г + — (Л2Т+ Л!Ю с!ц с яп и) ~; Р аи Урр / гэ,, гт /(р) ! — =- — ! ! — — с!и ! яп и (т — — ! т г2 1 рр (г)2 ~/ р / Р г= ! + Л, яп и + Лз соз и Здесь в левых частях уравнений стоят производные от шести выбранных элементов. (Л, 1, р, Ль Лз и и=и — (и), где (и) — значение аргумента широты для невозмущенной орбиты; в правых частях — проекции Я, Т, %7 возмущающей силы, отнесенной к массе Ксс, на орбитальные оси г, Ь, л (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
