Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Смещение перикон орбиты за один виток дго, Пля 4>БП р,км — ипап сг граа аппп ппп пгр групп гпппа Бааа "-„ арап й упаа А,) аа ББ Ба апра Бппа упаа Я З. Рис. 4. 4. Смещение пенится орбиты за сутки Ба 7а а Эксцеитриситет и наклонение в первом приближении вековых возмущений ие имеют На рис. 4. 1 — 4. 4 приведены номограммы для расчета изменений оскулирующих элементов ИСЗ () и ы за виток и за сутки. Для получения в произвольной системе координат уравнений движения в поле сил, имеющих потенциал, используются уравнения Лагранжа и Гамильтона.
Вводятся так называемые обобщенные координаты ук (»=1, 2, 3). При этом правые части формул преобразования Х = Х (д», 1)! У = У (уж З)! В = Е (у», З) являются однозначными и непрерывными функциями указанных переменных. Уравнения Лагранжа (2-го рода) в общем случае голономиой системы имеют вид где й УдТ дТ дУ Значение уравнений Лагранжа состоит в том, что они позволяют легко перейти от абсолютных прямоугольных координат к каким угодно другим переменным. Для такого перехода достаточно выразить через новые переменные живую силу системы Т и потенциальную энергию У.
Пример. Пусть требуется составить уравнения движения спутника Земли в сферических экваториальных координатах габ. Выразим через заданные переменные кинетическую энергию спутника с массой тк.к'. Х = г соь Ь соь а; У = г соз Ь ь)п а; 7 = г з1п Ь; Х = г соь Ь соь а — г ып Ь. соз а Ь вЂ” г соь Ь з)п а а; У = г соз Ь з!и и†г ь1п Ь.
ь1п а Ь + г соь Ь соз аа; Х = г юп Ь + г. соь Ь.Ь; Т = †' (г2 + гзЬ2 + г2 соь2 Ь аз). глк.з 2 Вводим обобщенные координаты и скорости: уз=а, у! = — г; 42= Ь 'уз=-а. у,=г; 42=Ь, Для первой координаты дТ = щк.кгв2+ щк.кг соз2 ду! Первое уравнение дТ . й !дТЬ дд ' ' йг (,ду! дУ г — гзз — гсоьзв аз+ =- О. тклдг 118 1 Т = — щ,м (Х2+ 1'2+ 22) — кинетическая энергия КА; к.к дХ ..дУ ..д2 (е» = щ«.к (х — + У вЂ” + е — ) — обобщенные силы, выраженные через е, ду» ду» ду» ) Чю Ч». Если действующие силы обладают потенциалом (1, то уравнение Лагранжа записывается в более простом виде й ! дь ~ да й( '1 ду» ) ду» где й — функция Лагранжа, или кинетический потенциал, (.=Т вЂ” У; У вЂ” потенциальная энергия, связанная с потенциалом (силовой функцией) (/ соотношением У= — П.
дй Величины —. называют обобщенными импульсами. Учитывая, что дУ/ду«=О. дд» уравнения Лагранжа можно представить в другом виде: хуля второй координаты дТ = — тк егз сов Ь а!п Ь аз; д~у~ дт — =т гзЬ; дч2 к.а Второе уравнение д (дТ'1 ! = 2тк.егзг+ тк.»гзв. !ор ! 2гЬг+ г2Ь+г2соз Ь юп Ь а2= — О Для третьей координаты дТ вЂ” =О; дчз дТ вЂ” =т,,г2соз2Ь а дЧз (дТ! — — ! = 2тк агг соз2Ь ив л( ~дЧз — 2т г2 сов Ь щп Ь а Ь+ т„,г2соззз.а.
Третье уравнение 2ггсоз2Ь.а — 2г2 сов Ь юп Ь а Ь+ г2соз2Ь а= О. Кононические уравнения Гамильтона имеют вид дН . дН Р» = — ' ч» =- др» ' др„ дй р„= —., Н = Т + !". др» Таким образом, в уравнениях Лагранжа используются координаты д» и скорости д„а в уравнениях Гамильтона — координаты о» и импульсы р». При этом уравнения Лагранжа с использованием обобщенных импульсов записываются в следующем виде: до' Р» == дд» Указанные зависимости позволяют преобразовать 5 обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Лагранжа к системе 25 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Гамильтона. Пример.
Используя результаты предыдущего примера, составим систему уравнений Гамильтона, описывающих движение спутника в сферических координатах дТ .. Рг дТ Рз ,ог = —. =. т» аг; гз =; ре — —. — — тк аг»Ь; гзЬ2 =- дд! ' тз дрз тз,гз дТ Р, Р =, + тк,агзсоз2 Ь а; г2 соз2 Ь ° а2 = д~уз тк аг2 соа2 Ь Получаем функцию Гамильтона ! ( 2 2 г2 г2 соз2 Ь г я уравнения движения спутника: дН др, Рг — г— тк.а Рз =Ь= —, тк.аг2' дН др» дН =а= тк егз соа2 Ь др, !!9 где р» — обобщенные импульсы, а Н вЂ” функция Гамильтона; она представляет собой полную механическую энергию системы.
Так как уг зависит только от координат, 2 2 Рь Р, р + — т дН д т„,гз т лгз созг 3 г2 р„ып Ь т,,г2 созз 5 ' дН = Рь дв дН Ра дп 0. 42. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ВОЗМУП(ЕНИН ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО КРУГОВЫМ И ПОЧТИ КРУГОВЫМ ОРБИТАМ Будем исходить нз следующих уравнений движения спутника в цилиндрической системе координат (см. гл. П, рис.
2. 9)! ег 1" и ега В + гг г егеи е =Т вЂ”вЂ” и г рл е =)У вЂ”вЂ” гз е,=г; еи=гй. где ° Полагая З=Г=УР=0 и обозначая через Аг, Ае„йи, Ае„, л и о, разности между значениями соответствующих величин для возмущенной и невозмущениой орбит, зависимости, выражающие влияние малых начальных возмущений Ьгм Ае,, био, Ао, зо н е,, можно записать в следующей безразмерной форме (12): 'в' !)г аго лег, де!!, = й11 + й12 + а13 Го ГО е е !)ег аго га и, а21 + й22 — + агз е го е е аеи аго ега еиа аз! + азг — + азз е го е е ло 'ь — а йа,— +йз„— ' ГО Го е ЛО е абб + йбб го е е у = — 2 — невозмущенное значение угла и.
Го 102 ан(1, 2=1 й!! а21 йз! йы йбб йбб 4.2.1. Малые начальные возмущения круговой орбиты аго лег, аеи. !)и = а4! + А42: + й43 — * + аььанз Гб е е где о — скорость движения спутника по круговой орбите; , 2,...6) — безразмерные козффициенты. определяемые нз выражений: = 2 — соз аЛ йщ= ыпуб й!3 = 2 (1 — соз у)! = 31п ьр; агг = со5 Н агз=26дп р; = — (1 — соз у)! азг = — 31п ьр; йю =- — (1 — 2 со5 ьр)! = — (Зу — 2 гдп у); Фьг = — 2(1 — соз р); лье = — (Зьр — 4 31п у); = соз Гб й56.= 3!П ьР; аьь= 1; = — б)п Гд абб = 605 !р; В качестве примера рассмотрим случай, когда начальный радиус-вектор спутника гс получает приращение Ьгс)0.
Тогда для перицентра (ф=О) и апоцентра (!р=л) ко- эффициенты йп соответственно будут равны: йы = 1 йя йз! 24! 0 (2=0)' 2„.=3, Дя =О, йя =- — 2, йя = — Зл(р=л). Следовательно, в перицентре изменится только высота полета спутника на величину начального возмущения Лгы а в апоцентре высота полета увеличится иа ЗЬгс, радиаль- ная скорость о, останется прежней, продольная скорость изменится на величину — Ьгч Ьо = — 2о — ', и— го и, кроме того, спутник сместится вдоль орбиты на угол йго Ьи = — Ол —, го Нетрудно вычислить возмущения для промежуточных значений угла !р, Как видно иа выражений для й,!, все рассматриваемые возмущения носят периодический характер, за исключением возмущения Ли, которое имеет вековую составляющую.
4.2.2. Постоянные и периодические возмущения круговых н почти круговых орбит Предполагается, что начальные возмущения отсутствуют, т. е. йго дпг = био = бои лд = о» В случае почти круговой орбиты вводится средний ее радиус г,р, удовлетворяющий выражению 2»тгср Р= где о — линейная скорость полета спутника по круговой орбите радиуса г,р. С л у ч а й 1. Возмущающие ускорения постоянны, т.
е. Я=Я», Т=Т», Влияние этих ускорений выражается следующими зависимостями: Лг (р) = Р! [Яэ (1 соэ у) + 2То ( р яп 1р)]; дог ( р) =- Р! [Яо яп у + 2То (1 — соэ у)]; Рэ г 3 йи (у) = — — ~2Яэ (р — яп у) + То ~ — рз — 4 (1 — соз р) 1~; гср ~ 2 дои (у) = — Р! [Яэ(1 — соз р) + То(у — 2 яп р)]; йк(у) = Р~йто(1 — соз у); Ьо» (р) = Рстгро 3!п р, где Р гз12 ср Р! = — = 2л )гр Анализ этих зависимостей, в частности, показывает, что под воздействием постоянного возмущающего ускорения Т, спутник сначала несколько смецсается по направлению его действия, а затем движется по спирали, которая разворачивается, если возмущающее ускорение Т, направлено в сторону полета спутника, или сворачивается, если действие Тс противоположно.
С л у ч а й 2. Возмущающие ускорения изменяются с частотой обращения спутника Я,=Я,(р); Т,=Т (рУ Ор,=)~ (р). В данном случае пользуются следующими зависимостями: 2 Я! Ьг (У) = Р! 1 — [ Яп Р соз Рз — У соз (Р— Рэ )] + ] 2 + Т! [2 сову. (1 — сову) — яп р.
яп р. — р з]п(р — у!. )]); (Я! дог(р) = Р! — [р з)п (у — рз ) — з(п р яп уз ] + + Т! [з)п у соз рг — у соз (р — рг )]]; Р2 ! Ьи (у) = — — [Я! [2 соз рэ (1 — соз у) — яп у з1п рз — у яп (р — рз, )] + гср 12! +Т, [Зэ сов рг — 3 з!п(ч — уг ) — 3 ып рг +25 соз(у — кг )— — 2 5!п р са5 рт ]); Даи (У) = — Р1 [ 51П У со5 уэ — Р са5 (У вЂ” уз )] + + т, [соз 9г (1 — соз е) — к 51п (У вЂ” Уг )]), 1 Ьл(У)=- — Р! ° Я7г [ып У со5 Ук — Усов (У вЂ” Уп )], 2 1 Ьа,(р) = — РыЯГ! [ч. 5!и (у — уш ) — юп р 5!и уп, ], где ф, щг и чкгк — начальные фазы соответствующих возмущений, 1 3 Из этих зависимостей, в частности, следует, чта периодическое возмущающее ускорение (Р~ (направленное по нормали к плоскости орбиты) вызывает вековое вращение плоскости орбиты со скоростью дф Р1%1 дт 2гкс вокруг оси, направление ноторой определяется углам тс ро= 3%,"- 2 43.
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУХА НА ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ При прохождении вблизи планеты, обладаюшей атмосферой, КА испытывает со. противление, определяемое формулой йа2 Р =:с — 5, где с — коэффициент аэродинамического сопротивления (безразмерный); й — плотность атмосферы в рассматриваемой точке орбиты; а — скорость полета относительно атмосферы; 5„ — площадь миделевого сечения, определенная кан проекция КА на плоскость„ перпендикулярную направлению скорости полета. Для расчета движения КА в атмосфере необходимо знать величину силы сопротив. пения Я, в зависимости от времени полета.
Для нахождения этой зависимости используются известные функции плотности й от высоты полета (основное влияние), а также от географической широты, освещенности атмосферы Солиикм и других факторов. Ввиду сложного характера зависимостей н необходимости одновременно учитывать другие возмущающие силы, для расчета орбит обычно используютсн методы численного интегрирования полных уравнений движения. При этом величина 5м для КА, ориентация которого в пространстве известна, вычисляется, как указано выше; для неориентированного КА расчет ведется по приближенной формуле 1 5 = — 5 м— 4 ~О к где 5кккк — полная поверхность КА, Ус)горение силы салротивления воздухи ув = жк.а проекции которого на оси системы координат входят в уравнения движения, может быть записано также в виде паз у,= Ь вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
