Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 25
Текст из файла (страница 25)
4) можно записать так; 2Р Р (сг г а (3. 8) Скорость КА выражается через истинную аномалию д следующим образом: (гг = — ее + — + 2 — а соз Э. р. р Р Р Р Для двух положений тела имеет место соотношение г 0 Уг — 2 1сс — е соз,Э» = 1'г — 2 г с — е соз Эг. 2 [[сС (3. 9) 3.4. СВЯЗЬ А(ЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ ДВИЖЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАМИ ОРБИТЫ. УРАВНЕНИЕ КЕПЛЕРА с з 1»" а(=( — с = — ) ггаЭ, с,) з зсг еб т— у, ~ (1+ е соз Э)г о или Для эллиптической орбиты азсг С вЂ” т = — [Š— е з!п Е), где Š— эксцентрическая аномалия, определяемая через Е Г1 — е ,уГ 2 ° 1+е Для гиперболической орбиты (3. 10) (3.
11) азсг — — [е зй Н вЂ” Н[, (3. 12) )'~ где Н вЂ” вспомогательная переменная для случая движения по гиперболической орбите, определяемая через Н усе — 1 Э 2 йс с+1 2 (3. 13) или в виде зж С вЂ” т = ~1п 13 ~ — + — ~ — 13 Н~ (3. 14) 4з В результате интегрирования уравнений движения, приведенных в равд. 3. 1, получается выражение для определения времени движения С от момента т — прохождения через перицентр орбиты (уравнение Кеплера): г соз Э = а(соз Š— е); г = а (1 — е соз Е); со5 е 3!и Э соз т 5!и Е 5!и Е= 5!П Э= 1 + з!п у со5 Э 1 — в!и е соз Е ' (3. 15) (3.
16) соз Š— юп т соз Э = 1 — з!и у соз Е созй+ з!и о со5 Е = 1+ з!и е соз Э где з!и !р=е — эксцентриситет орбиты; соз у = )гТ вЂ” ен 3.3. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТ Величины, полностью определяющие положение и скорость точки, движущейся по кеплеровой орбите на заданный момент времени, называются элементами орбиты. Ниже даны формульные зависимости для основных элементов орбиты. Большая полуось орбиты: рг а= 2р — г*т'х где г = УХ5+ )'Я + Лт! 1 = "у' Хт+ 1'з + гд (3. 17) Эксцентриситет орбиты: (3. 18) где ез (Х)' — УХ)з+ (Уг — Л')з+ (Хх — КХ)т р— Наклонение плоскости орбиты: (3.
19) ху — ух 1= агссоз Долгота восходящего узла орбиты. 0 а ! а и. (3. 20) )'л — л) О = а!саби зщ! у"!ьр 0< 0<2п. ~ и ! соз О = ХУ вЂ” ЕХ (3. 21) Угловое расстояние от узла до перипентра орбиты: и=и — Э, где 1 совы — Ха!п ы и = а!с з!и Г СО5! 0 < и а 2п; 1л! сов и = Х сов О+ г' з!п О . гг р ХХ+ 1')' + 22 Э=асса!и 1; ег 0 < Э < 2п. !Д! сов Э= р — г (3. 22) (3. 23) Время прохождения через перицентр т: — для эллиптического движения аз~а г = 1 — — (Š— е з!п К~; УР Соотношения между истинной и эксцентрической аномалиями в эллиптическом движении: — для гиперболического движения зда т= ! — (еай И вЂ” Н). ,Г, Кроме основных элементов орбиты, рассматриваются вспомогательные элементы: — долгота перицентра орбиты и=О-ьш, где ш — угловое расстояние перицентра орбиты от ее узла; — угол эксцентриситета йх з!и ~р=ег — срелнее движение л = 3!2 (3.
24) пз,я Т = — 2п (для эллиптических орбит); — параметр орбиты р=а(! — е'); — средняя аномалия эпохи (3. 25) (3. 26) 'Ио = й ((о — т): — средняя долгота з = и+ ш+ Мо = и+ Мз. Элементы, определяющие эллиптическое движение: !з, С ш, а, е, т Основные элементы и р т Мо Т з Дополнительные элементы Элементы, определяющие гиперболическое движение: Основные элементы (), т, ш, а, е, Дополнительные элементы Здесь 4=а(е — !) — расстояние от центра притя- жения до перицентра. 3.6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ НЕВОЗй(УЩЕННОГО КЕПЛЕРОВОГО ДВИЖЕНИЯ Кз = )г е — круговая скорость нз интеграла энергии Параболическое движение.
Энергия 6=0 или е=(, Параболическое движение является предельным справа для эллиптического движения и слева для гиперболического. (3. 27) 101 Предельными случаями невозмущеиного движения является круговое, параболическое и прямолинейное. Круговое двизсеиие. Величина вектора Лапласа (=0; направленне неопределенно; е=б.
Круговое движение является предельным для эллиптического движения. Круговая орбита определяется четырьмя элементами: О, й а, Мз (Мз — угол, образуемый начальным радиусом-вектором с направлением на восходящий узел орбиты). Для круговой орбиты г = р=п= гз', и = 6= Е = М =-л(! — то)-~- Мо Элементами параболической орбиты являются пять величин: Я, 1, еь о, т, которые полностью определяют движение. Уравнение орбиты р Э г= = о зест— 1+сова 2 где д — расстояние от фокуса параболы до перипентра; д — истинная аномалия.
Время движения Э ! 3Э !3 — + — !3 — =- л(! — т); 2 ' 3 2 Параболичесиая скорость иэ интеграла энергии Прямолинейное движение. Постоянная площадей с=б. В этом случае (ФО! может принимать любое значение; р=б; е=!. Время движения в прямолинейном движении: — с параболической скоростью (3. 28) б (т — !о) = (г" — г!7') ! 3 Рг2 с гиперболической скоростью (2 тгг 2 Эгй!ь ю (! — ао) =- | — а ге!3 Эгг й ггй 2Р ~г, — с эллиптической скоростью 2тгг 2)'2р 2р — йг+2)г — 2рй + (т — !о) = — !п ь "вг — л )г2и+ Иг 3.7.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ ', г г 1+ е соз Э вЂ” ещи Р !гэ = й),г — (1+ е соз г Э вЂ” радиальная составляющая скорости; Э) — нормальная составляющая скорости и далее = г (соз и соз Я вЂ” Ип и з!п Я соз !); .= г(сов и юп Я+ з!п и соз Я соз !); = г Ип и з!и Е (3. 20) Х =. 1г,(соз и соз Я вЂ” з!и и Ип Я соз !)— — !гэ( Ип и соз Я+ соз и Ип Я сов !); ) =!г(созна!ПЯ+ з!ПпсозЯсоз!)— — !г„( Ип и з!п Я вЂ” соз и соз Я соз !); л.
= !г, Ип и Ип ! + !г„соз и в(п !. 102 В любой заданный момент времени положение тела на орбите и его движение определяются в принятой системе координат радиусом-вектором г(к, у, г) и вектором скорости г(х, у, а). Величины г и г можно определить через элементы орбиты. По уравнению Кеплера определяется О, а затем величины тела на орбите в полярной системе координат характеризуется расстоя- двумя углами; восхождение и склонение в экваториальной системе координат Положение иием до тела г и а и б — прямое или л и <р — долгота и широта в эклиптической системе координат; у а(Л) =- агс1д— Х 0 а а(1) а 2п; / й ~ соз а (х) =.
Х и г (у) = агсз(п —; — — < Ь (у) гд —. г ' 2 2 3.8. СФЕРА ДЕИСТВИЯ ЛЛАНЕТЫ Около каждой планеты (или ее спутника) имеется область, называемая сферой действия, внутри которой ее силы притяжения являются преобладающими по сравнению с силами притяжения (возмущающими силами) других, более тяжелых притягивающих тел, поэтому при расчетах орбит КА во многих случаях можно применять теорию невозмушенного движения. Сфера действия ограничена поверхностью, в каждой точке которой отношение ускорения от возмущающего тела к ускорению от данной планеты становится равным отношению ускорения от планеты к ускорению от возмущающего тела, когда последнее принимается за центральное. Понятие сферы действия Лапласом при изучении движения комет.
Уравнение поверхности, ограничивающей сферу действия радиуса )1, т2 1,5 Л=г )' 1 + 3 соз2 у (3. 30) где г — расстояние между планетой и возмущающим телом; Ф вЂ” угол между направлениями из центра планеты на КА и на'возмущающее тело; т — масса планеты в единицах массы притягивающего тела. Поверхность сферы действия мало отличается от геометрической сферы, при этом малая ось направлена из центра планеты к возмущающему телу. За средний радиус сферы действия принимают величину я = — гтз~в.
(3. 31) 3.0. ГОДОГРАФ СКОРОСТИ В КЕНЛЕРОВОМ ДВИЖЕНИИ 103 Для решения рида задач, связанных с маневром КА, используется понятие года. графа вектора скорости — геометрическое место ьонщт векторов скорости, проведенных из полюса годографа О. Годографом скорости в кгплгровом движении является окружность радиуса — с центром на оси д, отстоящим от оси х на расстояние г Р Р На рис. 3. 1, 3. 2, 3. 3 изображены годографы скорости для эллиптического, параболического и гиперболического движения. 1.
При движении точки по эллиптической орбите ее вектор скорости в течение одного оборота изменяет положение от 0 до 2 и. Причем если заданы два вектора У~ и Уг, то переход между ними можно совершить, двигаясь по часовой и против часовой стрелки. 2. При движении точки по гиперболической орбите из перигея до г=са ее скорость 1 поворачивается на угол Т = агсз(п —. В гиперболическом движении от скорости г 7~ к скорости )гг можно перейти единственным образом, так как годограф является незамкнутым (оставшаяся часть окружности годографа есть годограф для отталкивающего центра) . 3.
Движение точки по параболической орбите является предельным для гиперболических и эллиптических годографов при г-ь 1. При этом скорость может занимать любое положение от 0 до 2 п (как в эллиптическом движении), но от У1 к 72 можно перейти единственным образом (как в гиперболическом случае). Пользуясь свойствами годографа в кеплеровом движении при задании Гь Уг в двух точках и времени движения КА между ними, можно определить вид движения и большую полуось орбиты. Эллалс каратала 104 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
