Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 102
Текст из файла (страница 102)
рис, !5. 3). 2-й класс, Одна из исходных орбит — типа 1, не пересекает гранин кольца, другая пересекает его границы. Это переходы Н 1, П11, 1Ча 1, 1Чб! (переходы типов 1 П и т д. здесь не указаны, так как сводятся к выписанным изменениям направления движения). Переходы этого класса имеют не более одного граничного импульса. Задание этого импульса полностью определит оптимальную траекторию перехода. бчй класс. Обе исходные орбиты пересекают границы кольца.
Это переходы. П П, 1! П1, П1Ча, П!Чб; П1 1!1, )П 1Ча, ! П 1Чб; ! Ча 1Ча, )Ча 1Чб, )Чб 1Ча (остальиые переходы эквивалентны этим). Для таких переходов может быть два граничных импульса как в начальной, так и в конечной точках. Они и определяют оптимальную траекторию.
Плоскость скоростей ?!иже для геометрического представления результатов оптимизации будет использоваться плоскость скоростей Р. Координатами точки в ией являются трансверсальная У~ и радиальная У, компоненты скорости У(Уь У,) КА, соответствующие заданному радиусу-вектору г или заданному расстоянию г от центра тяготения. Точку в этой плоскости будем обозначать так же, как и соответствующий вектор скорости У. Укажем некоторые свойства плоскости скоростей Р. 0 и, гг! Рис.
!о. 7. Плоскость скоростей Р Рис. 15. 8. Плоскость скоростей Р„(началь(начальиое перицеитрическое расстоя- ное апоцентрическое расстояние больше, иие меньше, чем на Йч) чем на )(ч) 1. Задание точки в плоскости Р полностью определяет орбиту, поэтому плоскость Р можно считать фазовой плоскостью При пассивном движении, когда элементы орбиты не меняются, орбита изображается в Р неизменной фазовой точкой, Если осуществляется мапсвр, орбита меняется, то, пока орбита достигает заданного для Р расстояния (гсвг; з,(г'), точка в Р будет описывать фазовую траекторию и по ней можно следить за изменением орбиты. При сообщении импульса ЛУ на том же расстоянии г, для которого построена плоскость Р, фазовой траекторией в Р будет отрезок прямой ЬУ, исходящий из начальной точки. Если же импульс сообщается на другом расстоянии от центра, то фазовой траекторией будет отрезок некоторой кривой второго порядка Плоскость, построенную при г=г ы, будем обозначать через Р, а плоскость, построенную при г=гмах,— через Р 2.
Геометрическим местом точек в Р, соответствующих орбитам с заданным перицентрическим расстоянием гч(0(гх<г), является гипербола )7 (рис. !5. 7): Уз 1,2 437 Ее эксцентриситет равен г/гч; фокусы Рш и Ра лежат на оси У~ на расстоянии г — ч от начала координат, Правая ветвь (Уг>0) соответствует прямому движению г по орбите, левая — обратному. В качестве параметра на гиперболе /г вводится угол Фч, определяющий (при гв>0) следующим образом компоненты скорости КА. Уг =- а„зес Ф„1', = т,Гя Ф, (15.
3) для прямого движения м Л вЂ” — <Ф < —. 2 ' 2 )гз Точкам в Р, лежащим между ветвями гиперболы /Г ~Уг ч, ~ — з + 1) ч,/г (15.5) Гшах Гааз 438 соответствуют орбиты с меньшим перицентрическим расстоянием, чем на Я„. В осталь~Уг ной части плоскости Уг..г~ — я+ 1) ач перицентрическае расстояние больше задан- ного на /с, Если г,=О, то обе ветви сливаются с осью У,. Если гч=г, то гипербола вырож/ дается в два луча на оси Уо уходящих из точек ш й г —, 0 в бесконечность. При уменьшении г, от г до нуля семейство непересекаюшйхся кривых /г„сплошь запол- няет плоскость Р, причем точки внутри круга радиуса )' 2р/г соответствуют эллипти- чесиому движению, а вне его — гиперболическому, 3, Геометрическим местом точек, соответствующих орбитам с фиксированным апоцентрическим расстоянием г,.
при — г — 1 ( зас г 1 является эллипс (рис, 15. 8): з 2 Эксцентриситет эллипса равен г/1г,!. Его фокусы Еш, Рзч лежат на оси У~ на рас- стоянии п„г/1г,! от начала координат, Компоненты скорости КА, движущегося по орбите с заданным апопентрическим расстоянием г„>0, на расстоянии г от центра тяготения определяются с помощью вспо- могательного угла й)а Уз= а соз Ф; Уг — — т шпФ„ Д и причем для прямого движения — — < Ф, < —. 2 ' 2 Точкам, лежащим внутри эллипса Яч, при г„>0 соответствуют орбиты с меньшим апоцентрическим расстоянием, чем точкам на Р„.
Вне эллипса величина з„меньше заданной на /г„. Если г, = г, то эллипс вырождается в отрезок прямой между точками ( ~- —, 0~. Лля параболического движения (Е =. 0) эллипс Р становится кругом 1' ~/ г радиуса гг2~~!г. 4. Пусть имеются две плоскости скоростей Р„ и Рч, построенные на двух различ- ных расстояниях от центра, г=гмж и г=гм„ соответственно. Будем рассматривать орбиты, достигающие обоих расстояний, для них г, ~гане и з,(г ,„. Тогда можно использовать обе плоскости.
Это удобно при исследовании двухимпульсиых переходов, когда плоскости строятся в двух точках сообщения импульсов В плоскости Р„ построим эллипс //„ для которого гч =г„„, а в плоскости Р, построим гиперболу Рч, для которой г, =ггч,ч. Пусть )лп и Ртз' — фазовые точки в пло- скостях Р„ и Р соответственно, относящиеся к одной орбите Т (/., Е): УП) .= (5/гчич, )'2Р— (5/г,щч)я -1- (ф/гчиа))1 Рассмотрим некоторые свойства обеих плоскостей, Большая ось эллипса Й, равна расстоянию между фокусами гиперболы Я, и, на. оборот, действительная ось гиперболы Я равна расстоянию между фокусами эллипса )1 . ! мах 2а =2 — а =Р Р а .
1 2«« ! ~п!и 2аа =- Р1аР2.. Расстояние от фазовой точки до некоторого фокуса одно и то же в обеих плоскостях )«(1)Р )«(2)Р ° )г(')Р )«(2)Р Рис. !5.9. Плоскость скоростей Р, (начальное перицентрическое рас. стояние больше заданного на )Р, ) Рис. 15. !О. Плоскость скоростей Р, (начальное апоцентрическое расстояние меньше заданного на Йа) ( )=Г(" М2 («Мг) =()Г«1 «1 к < 'Р(, "г . < '12« )' 3 «МЗ) х к ' «гак ~ Р2«н, тг к тг нх' 4 «4) = ~ й ' т1«к м (а!ан тгак ж тган)' Здесь у(ан и у,а — углы наклона векторов Р1,(гй) и Р(„)г„к оси Р, в плоскости Р„; аналогично определяются остальные углы у.
Инлекс ааы равен 1 = 1 для Р 1=2,чля Р Остальные области Ма(М«) —:Ма(М«) получим, сменив знаки неравенств, определяющих области М!(М!) —:М!(Ма), на обратные. 439 В каждой из плоскостей проведем через начальную точку ()г(„) 8 Р;! )гй хйР,)по четыре фазовых траектории (см. Рис. 15.1 и 15.8). Две из них соответствуют сообщению импульсов при г = гы!кн причем так, что линии их действия прохопят в плоскости Ра через фокусы Р(, и Рг„(зто прямые П)П( и ПгП2 в Ра, гиперболы 71!П) и Пг!12 в Р ). Две лругие соответствуют сообщению импульсов при г = г„„„, так что линии их действия в Р, проходят через фокусы Р(, и Рг (прямые 11з Пз н П4П4 В Р„кривые второго порядка ПлПз и П(П4 В Р,), Эти фазовые траектории делят все допустимое (га < гю!н, за < г х) 'множество конечных скоростей )х«в — 1 ! (1) Р, ((гк(~) в Ра) на восемь подмножеств М! Е Р„(М! Е Р,), ! =.
1, 2, ., 8 (рис. 15.1, 15. 8): В частном случае, при гэн=-г„,„, У(!)Е )7„, области Мт(М1), 1=2, 3,...,5, сливаются с лугой Р„, остаются области М1, Мт, Мэ (Мы Мт, Мз) Если же гл„= = г„и„, то остаются облзсти МЗ, Мэ, Мт (Мз — '. М ). ПРи глн) Гм!н, з,н ж г, можнО пользоватьсв лишь плоскостью Р (Рис.
15.9), — 1 а пРи Гэн(гтэх Глн < Гт!д — плоскостью Р (Рис. 15.10). Оптимизация переходов на орбиту, не пересекающую границ кольца (переходов 2-го класса) Переходы данного класса разобьем на две группы (8, 9]. Рассмотрим сначала переходы типа П! 1, !Нб !. Начальная орбита Тл пересекает в начальной точке внешнюю границу кольца, МнбГ, для нее элн<змлк.
Конечная орбита не пересекает границ кольца, Т, 6К. Эти случаи могут встретиться, например, при рассмотрении участка тра. ектории в сфере действия планеты назначения при прилете к ней с другой планеты. Пусть имеет место переход ШК перицентр начальной орбиты лежит в кольце, Гм1л(тлн(галю ПаРаМЕтРОМ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ ХаРаКтЕР тРаЕКтОРИИ ПЕРЕХОДа, бУДЕт величина г,р — пернцентрическое расстояние орбиты Ть получающейся после сообщения импульса 514! в начальной точке М,. В качестве второго параметра минимизации функции щк удобно взять угол Ф„через который выражаются компоненты скорости в точке М при с=сдлк для орбиты Тз в соответствии с формулами (15.
3), (!5. 2). НЕ ОГраНИЧИВая ОбщнОСтн, ПОЛОжны )4=1; Гмлк=! И будЕМ ИНОГда ПрИМЕНятЬ обозначение гн вместо гнз. Оптимальный переход имеет вид М; Пклр — л)7 . Фиксируем сначала величину г„р. Тогда, минимизируя суммарную характеристическую скорость Юл(Гл2 'Фк) = Д)Г!(гл2, Ф. )+ Ь1 2(Гл2 Фк)+ Д~ з(ел2)+ ДУ4 (15.6) по Ф„получим, что оптимальный импульс ЛУ1 в плоскости скоростей Р направлен вдоль прямой, проходящей через начальную точку )Г„()гт„, У,„) и фокус Гт„((йл,!Гл,0), до пересечения с гиперболой )7к = ((Г 4 Гл =- глз). Угол Ф, и угол ч наклона импульса к трансверсали равны: 1 — г Глез — й2 тйп Ф,= '; сов Ф„=- (8 ДЗ вЂ” Гайз ' " ДЗ вЂ” Гнйз й1 йз э!пу= — 5 —; аозт= — 5 —; )!1=-) гн йз дз (15.7) йз = 1'тн — 45 )тМТГГл(1+ !п)1 лз =- (л1+ лз) (15.8) (15.9) причем )Гнз =- Гл2 Гл2 Тт, Тз(гкз = ГП2, Гнз = Гл1кк); Т4(гл4 = Глк! Га4 = Гааз) — переходные орбиты !рис, !5.11, 15.!2).
Исследование зависимости щн(г,з) при Ф, =Ф,,нт показывает, что оптимальным значением г,з может быть одна из двух величин: (ГП2)олт ††- Глин или (Глз)лнт = и!1п (Гнн, Глк) в формулах (15. 7) будет прп этом 5= — !1=1, импульс ЛУ! проходит в Р, через фокус рт,. (15.10) 440 В частности, Ф„= Ф „З)Г1 = О, если г„= гдн. Формулы получены лля более общего случаи, чем переход Ш 1, ч = э1кп (1 л2 1' лз) 5 =- Э1ЯП(гнз — Гн,), лля переходов П! 1, !Нб ! будет 5=1, случай 5= — 1 используется при нахождении пе- реходов 3-го класса. В формуле (15.
6) величины импульсов Ьу! = ((1', „— т !я Ф )2+(И㠄— е зес Ф )2) ~~ '!1 2 = ) л2 1' лз а~ 3 — 1)Газ 1 а4! Д~ 4 =-1 л4 1'лк В первом ел»чае оптимальный переход будет четырехимпульсиым М,-у- Г- И,. (15.!1) Во втором случае он будет двухимпульсным М» †«П„ если г )г»ю или трех- импульсным 77» — «Г- П» (при этом все импульсы апсидальйые), если г„<г,». На рис. 15.!1 показаны оптимальные переходы при г»»>г»„, на рис. 15. 12 — при г, <г„«Второй параметр Ф, орбиты Т» определяется по формуле (15. 7) для соответствующего значения (г„з),„,.
Алгоритм решения задачи будет следуюзцим: для каждого из двух значений г„», Л Т„~ ЛУ,' ()куЛУх Рис. 15.12. Оптимальные трехи четырехимпульсные переходы типа П1 1 при г,„<г»» Рис. 15.!1. Оптимальные двухи четырехимпульсные переходы типа!П 1 при г» >г, Рис. !5. 13.
Оптимальные переходы типа !Ча 1 и 1Чб! Пусть сначала имеет место переход П А В качестве параметров, характеризующих орбиту Ть здесь удобно взять апоцентрическое расстояние г»» (или з,»=г»з ) и угол Ф», через который выражаются компоненты скорости в начальной точке М после сообщения импульса Л$'~ при г=г»,ы (15. 5), (15. 4). Положим гмы=1; р=1, Иногда для краткости будем обозначать з»з через з». При фиксированной величине г,» оптимальный начальный импульс ЛЧ, проходит в пло- 441 указанных в (!5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
