Нариманов Г.С. Основы теории полета космических аппаратов (1972) (1246632), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Тогда характеристическая скорость равна = †(1.(п( (т,), гпс лл„ вЂ” начальная масса. Заметим также, что, хотя в исходной постановке задачи время перехода не ограничивается, введение ограничений на расстояние от центра притяжения приводит к оптимальным решениям с конечным временем перехода. Этого, вообще говоря, может ие быть в задаче оптимиэапии без ограничения на расстояние и время перехода, когда иа оптимальном решении может требоваться приложение импульсов сколь угодно далеко от притягивающего центра и сколь угодно близко к нему, а время перехода может неограниченно возрастать.
Рис. 15.3. Двух- и трехимпульспый переходы между эллиптическими орбитами Рис. !5.2. Переход из начальной точки М, в конечную точку Мп гаэ = гп» Гпт — — Гпп Первый импульс сообщается в перицентре начальной орбиты, второй — в конечном (более удаленном) апоцентре [281 Если при этом г п=гп«или г„,=гам то переход вырождается в одноимпульсный, импульс сообщается в общем перицеитре или апоцентре соответственно, При грехимпульгиом переходе параметры промежуточнпгх орбит Та и Т, равны: Гпа=-Гп«', Гаа=гаа=гшаа', Гп»=Г 434 Рассмотрим некоторые свойства оптимального импульсного перехода иэ точки в точкУ. ПУсть в начале пеРехода заданы начальные кинематические паРаметРы Г„У»ш Уа, (расстояние от центра тяготения, радиальная и трансверсальная компоненты скор~.
сти), в конце перехода — конечные г„ У„п Уш (т, е. угловое расстояние между точками ие задается), а остальные условия перехода аналогичны укаэанным выше. Будем говорить, что эти параметры определяют соответственно начальную М„ и конечную М, точки траектории перехода, если кеплеровскне орбиты (начальная Т« и конечная Т,), определяемые этими параметрами, пересекают границы кольца (рис. 15.2). Если же соответствующая орбита ие пересекает границ кольна, то точку назовем квази- начальной Мп илн кааэикоиечной М„. Вместо нее с равным успехом можно было бы взять любую другую точку соответствующей кеплеровской орбиты Тп или Т, ввиду ее замкнутости и незаданности времени перехода.
Начальную и конечную точки траектории перехода назовем граничными, Остальные точки траектории перехода, в частности квазиначальиая и квазиконечная (если оии есть), по определению будут анугреннилш. Тогда справедлива следующая теорема [18, 6). Теорема. Внутренние точки оптимальной траектории, в которых сообщаются импульсы, будут аосидальиыми, т.
е. в них радиальная компонента скорости равна нулю до и после сообщения импульса. Такие импульсы также называют апсидальными. Рассмотрим два примера применения теоремы. Пример 1. Начальные н конечные условия соответствуют орбитам Т«и Т,„не пе. ресекающим границ кольца, т. е. имеет место переход между эллиптическими орбитами, не пересекающими границ заданного кольца К. Граничных точек нет, все импульсы будут апсидальными, оптимальный переход будет двух- или трехимпульсным (рис.
15. 3) П1СтЬ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНПОСтн Гап(Г, ° . ТОГДа ПРИ даУХиМПУЛЬСиОМ ПЕРЕХОДЕ ПаРаМЕтРЫ промежуточной орбиты Т,' равны: ЦО4 (]О2 О О,ОО (4ОЧ О,ОО 1)ОО,')~ »м Рис. 15. 5. Одно. и трех- импульсная траектории оптимального «ухода» с эллиптической орбиты Рис. !5. 4. Области оптимальности двух» и трехимпульсного переходов между круговыми орбитами Пример 2. Начальная орбита ие пересекает границ кольца.
Для конечной орбиты (гиперболы) задана лишь энергия Ек =- У~ /2, Имеем задачу оптимального «ухода» с эллиптической орбиты [6]; она встает на начальной стадии межпланетного полета, когда из решения «внешней» задачи определяется для гиперболы отлета вектор Для оптимальной траектории перехода граничных точек сообщения импульсов нет, все импульсы будут апсидальными, сообщается один или три импульса (рис. 15.6): / 2р а) при У <У" =.. — оптимальной будет траектория одноимпульсиого »» гма » перехода с тангенциальнйм импульсом в перицентре э.тлипса; б) при У > У« оптимальной будет траектория трехимпульсного перехода, причем для нее г«н =. г»2 г«~а» -" газ.= газ' г' ип г к =- г«з.
Второй импульс сообщается на внешней граьице кольца Г(г=гм««), первый и третий — прилагаются в перицентрах начальной и конечной орбит соответственно [29, 7]. Если г„,=г»ю то случай М=З не может быть оптимальным Если г««=гм«„ то переход вырождается в двухимпульсный.
Заметим, что соответствующую минимальную характеристическую скорость можно сколь угодно точно реализовать и при переходе с конечной тягой. Для этого каждый импульс ЬУ, надо разбить на несколько достаточно малых составляющих импульсов л 1 п сообщать их друг за другом через оборот спутника по орбите. Далее эти частичные импульсы аппроксимируются достаточно точно активными участками с конечной тягой. Если затем устремить к нулю величину каждого частичного импульса АУы (и время соответствующего активного участка), а число оборотов (и время перехода) к беско.
нечности, то в пределе получим характеристическую скорость оптнматьного переходз. При переходе между круговыми орбитами радиусов г„и г„(г„<г») возможны три случая. Если отношение радиусов г /г, меньше р=11,94, то оптимальным будет двух- импульсный хомановский переход [21] У=2 [величина 1 1/р = х есть корень уравнения »У хз+ хз — [2 йг2+ 1) х+ 1=0].
Если г,/г„больше О=1556, то при любом гм«»>г« оптимальным будет трехимпульсиый переход Штернфельда [20] ]У=5 (р '=4 соз 40' — 3). В промежуточном случае р<г«/г»<р существует предельное значение гмаю такое, что при гм»»<гм»» переход будет двухимпульсным, а при гм«»>г„«» — трехимпульсным. Указанные области оптимальности обоих переходов и зависимость г,/гм», от г„/г, приведены на рис.
15. 4, где обозначено г=1/р, г=1/р (ом, также [27]) Первый импульс сообщается в перицентре начального эллипса П„второй — на внешней границе кольца Г, третий — на внутренней границе кольца у; здесь же будет перицентр П„ конечной гиперболы; условно этот переход обозначим П; Г у (аналогичные обозначения будем применять и далыпе); в) при )г = Гь имеет место независимость этого трехимпульсного оптимального перехода П„ — еГ П, от конечного перицентрического расстояния в диапазоне гпи (гн,(Г В силу обратимости задачи перехода этн результаты справедливы и для оптимального схода с гиперболической орбиты с известной величиной !' на заданную эллиптическую орбиту.
Перейдем к анализу общей задачи перехода между орбитами Классификация исходньи орбит и оптимальных траекторий переходов Все орбиты по характеру пересечения ими границ кольца можно разбить на несколько типов (рис. !5. 6) (7]. Тып 1. Орбита этого типа — эллиптическая, не пересекает границ кольца, все ее точки — внутренние: тяпа 'а Гл а Га а стах.
Тип П. Орбита эллиптическая, пересекает внутреннюю границу кольца у, начальная М„ и ионечная М, точки орбиты лежат иа внутренней границе, апоцеитр А принадлежит кольцу; Гп(гпиа! Гайд < га а Гтгг. ° Тип П1. Орбита пересекает внешнюю границу кольца Г. Начальная и конечная точки орбиты принадлежат внешней границе Г, перицент П лежит в кольце: г~п!а < гч < стах за(злах. Здесь и ниже — 1, за = га — ! заах = гмах.
Тип 1)г, Орбита пересекает обе границы кольца, в кольце нет апсидальных точек орбиты: Гп(гена За (змах В зависимости от выделенной связной части орбиты варианта: 1)га — соответствует движению от у к Г, при этом Мнб'П Мх61'; 1Чб — соответствует движению от Г к у; Маб Г, М Еу. Тип Ч Орбита не имеет общих точек с данным кольцом: гп) гтах или га ( гкап! можно различить два 436 эти орбиты не представляют интереса для рассматриваемой задачи. Если исходные орбиты — начальная и конечная — типа 5 и Т соответственно, то переход между ними обозначим БТ (например, если осуществляется переход с орбиты типа 1 на орбиту типа 1Ча, то обозначим его 1 1Ча). Не уменьшая общности, за начальную А А(а точку траектории перехода можно взять точку (7 М,ЕТ, за конечную точку — точку М, Е Тн, А(и 1 Эти граничные точки, очевидно, можно выде- А Д7д лить, если соответствующие орбиты будут ))7г А(а орбитами типов П, 1П, !Ча, !Чб.
Например, У если начальная орбита типа 1, то на траекто. А(» рии перехода нет граничной начальной точки. Все остальные точки траектории перехода будут внутренними. Ш Все и м п ул ь с ы оптимального перехола Г й разбиваются на две группы: а) граничные, т. е. сообщаемые в гранич. ных точках траектории перехода; такие импульсы могут быть, если соответствующие исходные орбиты будут орбитами типов П, П 1, Рис. 16. 6. Различные типы орбит !Ча, 1Чб.
в зависимости от характера пересе- б) внутренние, сообщаемые во внутренних чения ими границ заданного кольна точках траектории перехода. В соответствии с приведенной выше теоремой эти импульсы и точки их приложения — апсидальиые. В зависимости от числа граничных импульсов оптимальные переходы разделяются на 3 класса; 1-й класс. Обе исходные орбиты — типа 1, не пересекают границу кольца, имеем переход 11 (пример 1). В этом случае все импульсы — апсидальные, граничных импульсов иет (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
