Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поэтому при малых разницах в периодах для уменьшения времени фазирования следует использовать биэллиптические переходы. В этом случае первым импульсом формируется эллиптическая орбита, для которой время ожидания' фазового угла для гомановского или близкого к нему перехода уменьшается. В общем случае при ограничении времени перехода, как отмечено в равд. 5.3, оптимальными могут быть и четырехимпульсные переходы 1711 Рис.
5.16. Орбитальная система координат и схема двухимпульсного сближения (ось а пер- пендикулярна плоскости рисунка) г и ветствует ранее рассматриваемой и поl ясняемой в 4.3 (см. рис. 4.13). В принятых обозначениях для осей системы координат хуг (см. рис. 5.16) система линейных дифференциальных уравнений относительного движения на круговой орбите запишется (соотношения (4.34)) и виде х — 2ву=О; у+2вх — Заву=01 г+ а'г=О (5.34) с начальными условиями ! = 01 х = х„у = у„г = г, (5.35) х=х„д=д„г=г,. Используя ранее полученные решения (4.39), с учетом начальных условий (5.35) запишем решение (5.34) в матричной форме (5.36) где г и Ч вЂ” матрицы-столбцы; и М вЂ” матрица размерности 6Х6 4 1 6(а! — яп вг) 0 — з(па! — 3! 4 — Зсозв! 0 — (сова! — 1) 2 — (1 — сова!) О 2 — япв! 0 1 0 6в(1 — сова!) 0 4созв! — 3 0 Заяпа ! 0 — 2япа ! 0 0 — вз!пвг 0 М= =0 0 соза1 0 0 — япсо 8.
1 2япа! 0 соя в! 0 0 соя со! (5.37) Для линейной системы дифференциальных уравнений (5.34)' движение разделяется на движение в плоскости орбиты и пер- 2ГГ пендикулярное плоскости орбиты. Решение (5.36) можно запи- сать в таком виде х =2 (2 — ' — Зу,) япв1 — 2 — "' созв1+ + (буа — 3 — ') а1+ (х„+ 2 — "" ); у= (2 ' Зуо) созв)+ Уо з(па)+ (4у 2 хо) (5.
3 г га соз в(+ 81п в1 го х=2 (2ха — 3вуо) соз в1+ 2уа яп а1+ (6 ау,— 3 х,); у = (3 ау,— 2 х,) 81п в 1+ у, соз в1; (5.39) г = г, соз в1 — г, в яп в 1 и проводить анализ управления при сближении отдельно для указанных движений.
Импульсные программы управления при сближении (метод свободных траекторий) 218 Сближение может рассматриваться как маневр перехода с одной орбиты на другую при дополнительном условии согласования времени движения двух космических аппаратов. Могут накладываться также другие ограничения, например на угол подхода на участке причаливания одного аппарата относительно другого в заданной полусфере, но общим будет являться приведение аппаратов в малую окрестность. Будем принимать расчетные рассогласования по координатам равными нулю, что означает при рассмотрении движения в относительной системе координат (см.
рис. 5.16) выход маневрирующего аппарата в начало координат. На энергетические затраты при сближении влияют многие факторы (точностные характеристики системы навигации, названные выше ограничения и т. д.), но наиболее весомыми ив них являются условия по времени сближения. Можно указать' три типа начальных и конечных условий по времени сближения: моменты начала 1„и конца 1„сближения заданы; задан момент начала 1„, а время окончания 1, произвольно; произвольными являются времена начала 1 и конца 1, сближения. Проводя аналогию между задачами сближения и перехода между орбитами (см. равд, 5.! — 5.3), отметим особенности задания начальных и конечных условий по времени сближения с точки зрения рассматриваемых ранее задач перехода между орбитами.
Наиболее полные результаты в задачах перехода получены для случая незакрепленного (свободного) времени перехода, чему отвечает третий тип указанных условий по времени сближения. Естественно, что в практических задачах реализации сближения космических аппаратов этот случай ие имеет места, хотя здесь сближение может осуществляться с минимальными энергетическими затратами. Первый тип задания условий по времени сближения определяет точки орбит начала и конца сближения. В этом случае при двухимпульсном переходе энергетические затраты при определенном положении точек могут быть неприемлемо большими.
Для уменьшения этих затрат следует переходить на трех- импульсные или четырехимпульсные схемы перехода. В практических задачах сближения общее время на фазирование, а также непосредственно на сближение ограничивается, но в пределах некоторого диапазона время конца сближения произвольно. Таким образом, можно сказать, что в практических задачах в некотором смысле реализуется второй тип указанных выше условий по времени сближения с ограничением верхнего предела по времени конца сближения. Рассмотрим сближение космических аппаратов, используя уравнения относительного движения в окрестности круговой орбиты (5.38, 5.39). Сближение будет осуществляться приложением импульсов (одного или нескольких) скорости с пассивными участками движения в дальнейшем. Такое сближение получило название — метод свободных траекторий.
Пусть в начальный момент времени („=0 активный аппарат имеет параметры движения (начальные условия) относительно пассивного, заданные по (5.35). Определим составляющие импульса скорости в данный момент времени при условии, что в момент времени (=(„координаты активного аппарата равны нулю. Для этого, приравнивая левые части (5.38) нулю, получим начальные составляющие скорости хо з1 п в зн + уо (6 в 1и Мп в 1и — 14 (1 — соз в зн)1 хи — в 3 в( з1п вз — 8 (1 — спи в! ) 2 хо (! — соз в 1и) + уо 14 з(п в 1и — 3 в зи соз в!и) у в 3 в зн з1 п в зн — 8 (1 — соз в 1н) сиз в !» я = — вх и о и!п в1и (5.40) 219 а также приращения составляющих скорости и величину пер- вого импульса для осуществления сближения Ах~=хо — хо' Лун=ун уо' Лгн=гн — го, (5.41) У1 = $ (Лх„)о+ (Лун)о+ (Лг )' (5.42) Импульс (5.42) является функцией начальных условий движения (5.35) и времени осуществления сближения или угловой дальности иь=аг„.
Из последнего уравнения (5.40) видно, что Прн гОФО ПЕрЕХОд ЧЕРЕЗ УГЛЫ ин=аГ„ бЛИЗКИЕ К Ы (1= 1, 2,... , и), требует больших значений скоростей. Составляющие второго импульса скорости в точке встречи определим из соотношений для скоростей (5.39), подставив туда значения скоростей после первого импульса хн =(4х„— 6 аУо) соз в1„+ 2 Ун з1п в то+ 6аУа — 3 ха; у„= ун соз а(„— (2 хо — 3ауо) з1п в(„; (5.43) гн = гн соз аÄ— а г, з)п а(н. Запишем выражение для величины второго импульса скорости ро — — 'г' х~+ у~+ г~ . (5.44).
Решая совместно последние уравнения из (5.40) и (5.43), получим а го гн ян а~о откуда также видно, что переход через углы, близкие к кратным 180' (половине периода по времени), требует больших величин скорости. В дальнейшем при анализе примеров зависимости требуемых скоростей от начальных условий (5.35) и углов перехода будем различать пространственное движение и движение в плоскости опорной орбиты. В случае сближения без ограничения скорости встречи требуемая скорость находится из соотношений (5.40, 5.41, 5.42).
Для заданных величин начальных параметров движения (5.35) величина скорости У", зависит только от времени сближения или угловой дальности и,=в(,. Оптимальная величина угловой дальности может быть определена из уравнения (у*,)„= о, решение которого в явном виде относительно Ы, получить не удается. Выписывать выражение для условия оптимальности не имеет смысла, так как вместо численного решения его относительно и„ „~ представляется более наглядным просчитать ве- гго дичины потребных скоростей (5.42) в интересующем диапазоне времени с какой-то величиной шага по времени.
Приближенное решение (5.45) можно получить, если восгпользоваться разложением з(п«41, н соз«т1, в ряд. Как показано в1155], уравнение (5.45) в линейном приближении записывается в виде ха+ Уа+ но+ (ха ха+ Уа Уа+ ииа) «' 1» = О. 2 2 2 Из этого уравнения находится оптимальная величина угла перехода хо+ уо + аа Пк ора «З 1к ор! 4« хха + Ура+ тта или га а (5.46) га поскольку ра У«6 гаро, где 7« — проекция относительной скорости ра на линию визирования. Формулой (5.46) рекомендуется пользоваться при углах перехода, не превышающих 45 ... 50'. На рис. 5.17 для определенных начальных условий показана общая зависимость потребной скорости от угла перехода. Первый (абсолютный) минимум соответствует времени перехода, который меньше периода обращения.
Увеличение требуемой скорости при уменьшении времени перехода понятно, так как из (5.40) В ПрЕдЕЛЕ МОЖНО ПОЛуЧИтЬ Прн 1к-г-0 Х,— м — (Ха/4„) И у -м -а ( — У«гак). УВЕЛИЧЕНИЕ СКОРОСТИ ПОСЛЕ МИНИМУМа (ПРаВаЯ ВЕТВЬ кривой на рис. 5.17) происходит при приближении угла перехо- у,ям/с со Рис. 5.17. Зависимость импульса скорости при сближении от угла пере- хода и ГРРР тп Зт «,г Рис.
5.18. Зависимость суммарной скорости для днухимпульсного перехода от времени сближения для различных начальных условий движения; оравтв круговая вмсотоа 464 км; à — к,=зб,а км; 2 — к, =6,2 км 221 да к и„=220. В этом случае знаменатели в соотношениях (5.40) стремятся к нулю, н если у,~О или гочьО, то скорость стремится к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
