Лекция26фмп (1246181)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 16ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(5)Частные производные и дифференциалы высших порядковИнвариантность формы дифференциалов второго порядкаФормула Тейлора для функций нескольких переменныхЭкстремумы функции нескольких переменныхНеобходимые условия экстремума функции нескольких переменныхДостаточные условия экстремумаЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВРассмотрим дифференцируемую функцию z  f  x, y  .Очевидно, что выполнив частное дифференцирование, найдемz  x, y z  x, y  f1 x, y  , f 2 x, y  , где f1  x, y  и f 2  x, y   некоторыеxyфункции, и если они в свою очередь дифференцируемы, то можно найтиf1 x, y  f1 x, y f x, y  f 2  x, y ,, а также 2и; в этом случае говорятxyxyо частных производных второго порядка функции z  f  x, y  .При этом используются следующие обозначения  z  x, y    2 z  2  f xx  x, y  ;x  x  x  z  x, y    2 z f xy  x, y  ;y  x  xy  z  x, y    2 z  z  x, y    2 z f yx  x, y  ; f yy  x, y  .x  y  yxy  y  y 2Аналогично вводятся в рассмотрение частные производные 3го, 4го,…, nгопорядка.Например, n z def    n1 z   n1  ,nx  x x n z def    n 1 z   n 1  и т.п.n 1y x x  y Остановимся на так называемых смешанных производных второго порядка2z2zи.xyyxОчевидно, что эти смешанные производные отличаются только порядкомвыполнения операции дифференцирования.

Возникает вопрос, при выполнении каких условий эти смешанные производные совпадают, т.е. независят от порядка дифференцирования.Теорема 15.1 (Шварца)Если у функции z  f  x, y  в некоторой области существуют непрерыв 2 z  x, y   2 z  x, y ные смешанные производныеи, то они совпадают в каxyyxждой точке этой области, т.е. z xy  x, y   z yx  x, y   x, y   D .Пример. Убедиться, что у функции z  sin xy 2 совпадают смешанныепроизводные.z2z22Решение. y cos xy ; 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 ;xx  y2z 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 .y xМы видим, что смешанные производные z xy и z yx совпадают.

Их непрерывность на всей плоскости x0y очевидна.Пример ШварцаТо есть смешанные производные в примере Шварца не равныСмешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны вточке (0,0).Дифференциалы высших порядковИтак, рассмотрим дифференцируемую функцию двух независимых переменных z  z  x, y  .zzЕе полный дифференциал равен dz   x  y .xyОчевидно, что приращения независимых переменных  x и  y независят от того, в какой точке выполняется дифференцирование функцииz  z  x, y  .Будем считать, что выбрав эти приращения, мы их зафиксировали.Тогда полный дифференциал dz может рассматриваться как некотораяфункция независимых переменных x и y, а тогда можно ставить вопрос о еедифференцировании,т.е.осуществованиидифференциалаотдифференциала, т.е. d dz  .Если дифференцируема не только функция z  x, y  , но и ее частные проzzизводныеи, то тогда существует дифференциал от дифференциаyxла, который называется вторым дифференциалом функции z  x, y  , иобозначаетсяdefd z  x, y  , т.е.

d z  x, y   d  dz  x, y  22Очевидно, чтоz  x, y   z  x, y d z  x, y     x  y x x  xy2z  x, y   z  x, y   x  y y y  xy 2 z  x, y  2 z  x, y  2 z  x, y 22 x  2  x y  y .22xxyyНапомним, что что x и y – независимые переменные и  x  dx ,  y  dy ;Обозначая их квадратыдифференциал так: x 2  dx 2 ,  y 2  dy 2 ,можем записать второй2z2 z2 z2d z  x, y   2  dx  2 dx  dy  2  dy 2xyxy2Совершенно аналогично, определяя полный дифференциал третьегопорядка функции z  z  x, y  как полный дифференциал от дифференциалавторого порядка,defd z  x , y   d d 2 z  x, y 3выполнив аналогичные преобразования, получим3z3z3z3z322d z  3  dz  3 2  dx  dy  3 dx  dy  3  y 33xx yxyy3Для удобства записи полного дифференциала любого порядка вводяттакую символическую запись:n d n z    dx   dy  z ,y xкоторую следует понимать как некий “оператор”, применение которого кфункции z  z  x, y  предполагает выполнение частного дифференцированияфункции z  z  x, y  , причем порядок этих частных производныхопределяется степенью соответствующего слагаемого в правой части,которая раскрывается как формула бинома НьютонаЗамечаниеЕстественно предполагается, что функция z  z  x, y  дифференцируема nраз.Формулу для полного дифференциала, приведенную выше, можно доказатьметодом полной, т.е.

математической индукции.Нетрудно доказать, что если некоторая функция u  u  x, y , z  зависит оттрех независимых аргументов, и ее полный дифференциал имеет видuuudu  dx  dy  dz ,xyzто для обозначения полного дифференциала nго порядка такой функции, если онсуществует, имеет место такая символическая запись:n d nu  x, y, z     dx   dy   dz   u  x, y, z yz xПример. Найти третий дифференциал от функции двух переменных.Решение.

Пусть функция z  z x , y  имеет непрерывные вторыечастные производные. Для раскрытия скобок в выражении для третьегодифференциала3d 3 z x , y    dx dy  zy  xвоспользуемся алгебраической формулой сокращенного умноженияa  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3 .Получим33z 33z3 z3z 322d z   dx  dy  z  3 dx  3 2 dx dy  3dxdy  3 dy .2y xx yxyy x3Инвариантность формы дифференциалов второго порядкаРассмотрим полный дифференциал второго порядка:2 z2 z2z2d z  2  dx  2 dx  dy  2  dy 2xyxy2и выясним, сохраняется ли форма второго полного дифференциала, если переменные x и y не независимые, а являются функциями некоторого аргумента t, т.е x  xt  , y  y t  ;другими словами, выясним, обладает ли полный дифференциал второгопорядка свойством инвариантности своей формы ?Итак, полагаем z  zxt , y t  .zzТогда dz  z t  dt   dx   dyxy(т.е.

первый дифференциал свойством инвариантности своей формыобладает).'' zz zzd 2z  d dz     dx  dy  dt    x t  dt  yt dt  dt yy xt xt  2z 2zz2xxyx't ttt 2  txxyx zz2  dt 2    xt  yt  dt    2zy 2zz2 xt ytx t  2 yt   ytt yy y x22 2zzzzz 2 dx 2  2 dxdy  2  dy 2  dx   dy  xx yyxyzz d 2z x , y   dx   dy   d 2zxyВывод: второй дифференциал не обладает свойством инвариантностисвоей формы. Аналогично не обладают такими свойствами идифференциалы более высоких порядков.ЗамечаниеИсключение составляет тот случай, когда x и y являются линейнымифункциями аргумента t, т.е.

x  a1t  b1 , y  a 2 t  b2 .Причем это остается в силе для сложной функции любого числа аргументов,т.е. в этом случае полный дифференциал функции нескольких переменныхпорядка, выше второго, обладает свойством инвариантности своей формы.Формула Тейлора для функций нескольких переменныхФормула Тейлора для функции одного аргумента имеет видf a f n1 a f n   n 1nf  x   f a    x  a   ...  x  a   x  a  ,n  1 !1!n!где  лежит между x и a.Напомним, что для представимости функции y  f  x  формулой Тейлорадостаточно, чтобы в окрестности точки x  a функция y  f  x  была быдифференцируема n раз.Рассмотрим случай функции двух переменных z  f x, y .Допустим, что эта функция дифференцируема n раз по своимаргументам в окрестности U  x 0 , y 0  точки  x0 , y 0  , принадлежащейнекоторой области D плоскости xOy.Пусть точка  x0   x , yo   y  не выпадает из этой окрестности.Зафиксируем  x и  y и введем в рассмотрение сложную функцию аргумента t, определенную следующим образом: F t   f  x, y  , гдеx  x0  t x , y  y 0  t y , где t  0 ,1 .Нетрудно видеть, что параметрические уравнениянам уравнения отрезка x0   x, y o   y прямой,соединяющейy(x 0  x , y0  y )(x ,y )0M 0 (x 0 ,y0 )U  (x 0 ,y0 )xx  x 0  t x  даютy  y 0  t y точки  x0 , y0  иНапомним, что при такой зависимости переменных x и y от параметра t,обладает свойством инвариантности не только первый полныйдифференциал функции f x, y  , но и полные дифференциалы порядковd 2 f  x, y  , d 3 f  x, y  , …, d n f  x, y  , т.е.kd k F t   d k f x, y  x  x0 t xy  y0 t y   dx   dy   f  x, y  x  x0 t xy  y0 t yy xПри этом dx   x  dt , dy   y  dt .Напишем формулу Тейлора для функции F t  заменив в ней a на t, а x наt   t .

Тогда получимF t F n1 t F n  c n 1nF t   t   F t    t  ...   t    t  ,1!n  1 !n!где c  t     t ,  0    1 , т.е. c есть точка, лежащая между t и t   t .Эту формулу можно переписать так:F  t   t   F  t   dF  t  1 211 d F  t   ...  d n 1F  t    d n F  t     t 2!n! n  1 ! 0    1 .Положим теперь здесь t  0 ,  t  1 и напомним, что при t  0мы имеем точку x0 , y0  ,а при  t  1 точку  x0   x, yo   y  ,кроме того F 0  f  x0 , yo  , F 1   x0   x, y o   y  ,тогда получимf  x0   x, yo   y   f  x0 , y0   df  x, y  x  x0 y  y01 2 d f  x, y  x  x0  2!y  y011 d n 1 f  x, y  x  x0   d n f  x, y  x  x0 x ,y  y0y  y0 yn! n  1 !Здесь следует положить  x  dx ,  y  dy .т.к.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций