Лекция25фмп (1246180)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 15ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(4)Производная по направлениюГрадиентСвойства градиентаЧастные производные и дифференциалы высших порядковПроизводная по направлениюzzипредставляют собойxyприращение функции вдоль соответствующей оси ( xили y ) приНапомним, что, частные производныенеизменной второй переменнойz zx xиy constz zy y.x  constВо многих приложениях функций векторного аргумента, включаяэкономические, требуется определять изменение функции не только вдоль осиx или y , но вдоль любого направления на координатной плоскости xOy .Пусть функция z  z  x , y  задана в некоторой окрестности точкиM 0  x0 , y 0  и описывает поверхность SОбозначим l - ось, в направлении которой нужно найти производную.При перемещении в направлении l от точки M 0 x0 , y0  в точку M x , y функция получит приращение  l z  z x , y   z x0 , y 0  ,соответствующее приращению l .yось ly  y 0  l cos lM 0 x0 , y 0 M x, y x  x 0  l cos xПоскольку x  x0  x , y  y0  Δy ,приращение в направлении l составит l x 2  y 2 .Определение 15.1.l zпри l  0 называетсяlпроизводной по направлению l от функции z  z x , y  в точке M 0 x0 , y 0 Предел отношенияl zz liml l 0 lВозьмем произвольную перемещающуюся вдоль оси l точку M x , y  ,отстоящую от стационарной точки M 0 x0 , y 0  на расстояние lyось ly  y 0  l cos lM 0 x0 , y 0 M x , y x  x0  l cos xКоординаты точки M x , y  связаны с координатами точки M 0 x0 , y 0 соотношениями x  x0  l cos  , y  y0  l cos  .Рассмотрим функцию z  z x , y  , как сложную функцию переменной lи найдем ее производную по lz z dx z dy zz cos   cos l x dl y dl xyИз рисунка видно, что   .2Производную по направлению в двухмерном случае можнозаписать иначеz zz cos   sin l xyДля трехмерного случая производная по направлениюдля функции u  u x , y , z  имеет видu uuucos  cos  cos  ,l xyzгде  ,  , - углы между направлением l и координатными осямисоответственно Ox , Oy , Oz .Пример.

Найти производную функции z  x 2  y 2 в точке M 1,2 внаправлении радиус-вектора этой точки.Решение. Найдем углы, задающие направление радиус-вектораcos  x0x02y 0215, sin  y0x02y 0225.Производная по направлению равнаz zl xx0 1y0  2cos  zysin   2 x0 1y0  215 4252 5ГРАДИЕНТCкалярным произведением двух векторов a и b называется число,которое определяется по правилу a , b   a b cos  , где a , b - длинывекторов,  - угол между векторами.Координатами вектора называются координаты его конечнойточки x , y  , если начальная точка вектора совпадает с началом координат.Пусть a  x1 , y1  , b  x2 , y 2 Тогда1) a  x12  y12 , b  x22  y 222) a  b  x1  x 2 , y1  y 2 3) a, b   x1 x2  y1 y 2  z1 z 2Определение 15.2Градиентом функции z  z x , y  в точке M x , y  называется векторс координатамиzzи.yxДля градиента введено обозначение zgrad z   , xz .y Построим в некотором направленииединичный векторla  cos  , cos   и найдем скалярное произведение векторов gradz и azz grad z , a   cos   cos  .xyВведем угол  между градиентом gradz и вектором a и перепишемскалярное произведение в другом видеz gradz , a   gradz  a  cos   gradz  cos lОтсюда видно, что при   0 производная по направлениюдостигает своего максимального значенияgradz  z x2  z y2zl gradzmaxТаким образом, градиент характеризует направление ивеличину максимальной скорости изменения функции вточке.

Направление вектора gradz указывает направлениевозрастания функции.В этом состоит физический смысл градиентаРассмотрим линию уровня функции z  z x , y z  x , y   z1d  z  x, y   zzdx  dy  0xyПоследнее равенство можно представить как скалярное произведение градиентафункции zgrad z   , xzyна вектор с координатами  dx, dyк линии z  x, y   z1 в точке M  x, y  . , лежащий на касательнойВсилуравенстваскалярногопроизведениянулюградиентперпендикулярен (ортогонален) к этой линии в точке M  x, y  .Если   , то2z 0 , т.е. в этом направлении функция неlизменяется.

Это направление линии уровня функции.Например, у функции z  x 2  y 2 линии уровня представляют концентрическиеокружности x 2  y 2  C радиусами C .В каждой точке окружности градиент направлен перпендикулярно касательнойк окружности. Поле градиентов функции z  x 2  y 2 изображено на рисунке.321-3-2-11-1-2-323Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть нанего сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторынаправлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.Свойства градиента1.

Градиент перпендикулярен к линии уровня.2. Градиент направлен в сторону возрастания функции.3. Длина градиента равна максимальной величинепроизводной по направлению в данной точке.Другимисловами,производнаяпонаправлениюпринимаетмаксимальное значение в том направлении, куда «смотрит» градиент,причемzl gradz  z x2  z y2maxДля функции трех переменных u  u x , y , z  рассмотрим поверхностьуровня, описываемую равенствомu x , y , z   C .Дифференциал равенства в точке M x , y , z uuud u x, y, z dx dy dz  0xyzПоследнее равенство можно представить как скалярное произведение градиентафункции u u u gradu   ,, x y z на вектор с координатами dx , dy , dz  , лежащий в плоскости,касательной к поверхности u x , y , z   C в точке M x , y , z  .В силу равенства скалярного произведения нулю градиентперпендикулярен (ортогонален) к этой поверхности в точкеM x , y , z  .Использование градиентаАтлантический тропический шторм Франклин 2005 года — примертропического циклона со значительным градиентом ветраДиагностика рабочих колес гидротурбин и несущих конструкцийГрафик распределения поля остаточной намагниченности НрЛинии концентрации напряжений (линий КН) характеризуются линиямисмены знака остаточного магнитного поля Нр, и вдоль этих линий в процессеэксплуатации развиваются усталостные трещины.Характер распределения аномальных токов Непроводящий объект-100.-100.0.00.0100.100.YY Проводящий объект-50.0.050.100.X-100.-50.-100.-50.0.050.100.X-250.-200.-200.-150.-150.-100.-100.-50.-50.0.0 Z0.0 Z-100.-100.-50.0.050.100.Y0.050.100.Y3-мерная модель показывает что гравитация планеты Земля в настоящее времясильно деформирована и это увеличение механических напряжений в пределахпланеты , которое будет еще больше усугубить градиент температуры.Теорема 15.1 (Шварца)Если у функции z  f  x, y  в некоторой области существуют непрерыв 2 z  x, y   2 z  x, y ные смешанные производныеи, то они совпадают в каxyyxждой точке этой области, т.е.

z xy  x, y   z yx  x, y   x, y   D .Пример. Убедиться, что у функции z  sin xy 2 совпадают смешанныепроизводные.z2z22Решение. y cos xy ; 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 ;xx  y2z 2 y cos xy 2  2 xy 3 sin xy 2 .y xМы видим, что смешанные производные z xy и z yx совпадают. Их непрерывность на всей плоскости x0y очевидна..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций