Лекция22фмп (1246177)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 12ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХОбласти в n-мерном пространствеПонятие функции нескольких переменныхЛинии уровняПредел функции нескольких переменныхНепрерывность функции нескольких переменныхОсновные теоремы о непрерывных функцияхФункции нескольких переменных. Основные понятияРассмотрим множество различных систем n упорядоченных вещественных чиселвида x1 , x 2 ,, x n  , которые мы назовем n – мерным пространствома каждую такую систему чисел  x1 , x 2 ,, x n Rnбудем называть точкойэтого пространства и будем обозначать ее M x1 , x2 , , xn .Числаx1, x2xnназываются координатами точки M.

Точку 0 (0,0,…,0)будем называть нулевой точкой пространстваРассмотрим две различные точки M1ВеличинаM 1 , M 2  x1 , x2 ,, xn и M2  y1 , y 2 ,, y n  y1  x1 2   y2  x2 2     yn  xn 2,называется расстояниеммежду точками M1 и M2..Рассмотрим некоторуюn – мерную фиксированную точку M0x100, x 2 , , x nОпределение 12.1Множество точек, удаленных от точки M0 менее, чем на называетсяилиR M 0 , где окрестностью точки M0 и обозначается U   M 0 00В частности, в трехмерном декартовом пространстве 0xyzM 0  x0 , y 0 , z 0 окрестность точкипредставляет собою множество точек, лежащих внутри шара радиусас центром в точке M0,а в двухмерном  окрестность точки M 0  x0 , y0  есть множество точек, лежащих внутри круга радиуса  с центром в точке M0.zyMM0M00xy0MxТаким образом,илиM U M ,       M0n nMUM, 0     x k  x k0 k 1Приn 1приn220,M    2x U x ,      x  x   00x , y  U  x 0 , y 0  ,     x  x 0 Введем понятие области n–мерного пространства.Определения дадим дляn2Однако их можно обобщить и дляn222 y .

y 0    2Определение 12.2 Множество точек M x, y  ,обладающее свойствамиоткрытости и связности, будем называть областью.При этом:1. Свойство открытости означает, что любая точка, принадлежащаяобласти, принадлежит ей вместе с некоторой своей   окрестностью.2. Свойство .связности означает, что любые две точки, принадлежащие области,можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек, целикомпринадлежащих области.Примером области может служить окрестность точки M 0  x0 , y 0 Определение 12.3.

Граничной точкой области называется точка области, ей непринадлежащая, но такая, что любая ее окрестность содержит, как точки,принадлежащие области, так и точки, ей не принадлежащие.Определение 12.4. Множество всех граничных точек области называетсяграницей этой области.Определение 12.5. Замкнутой областью называется множество точек,которое получается в результате присоединения к открытой области D всей ееграницы.Определение 12.6. Область называется ограниченной, если ее можнопоместить внутрь некоторого круга(шара) конечного радиуса R.Пример. Рассмотрим множество точека) x  y  0б)M  x, y , для которыхx  0, y  0Являются ли эти множества областью?x  y  0 областью. не является, так как в точке O(0,0)нарушается условие связностиа) Множествоб) множествообластьDx  0, y  0 представляет собою неограниченную замкнутуюОпределение 12.7.Число не связанных друг с другом частей, из которых состоит вся границаобласти, называется порядком связности области, например, область,ограниченная окружностями радиусов r и R с центром в точкеM 0  x0 , y0  представляет собой двухсвязную областьyR0(x 0 , y 0 )rxПонятие функции нескольких переменныхПеременная величина z называется функцией двух переменных x , y ,если каждой совокупности их значений из данной области Dсоответствует единственное определенное значение z .Соответствующая зависимость записывается в виде z  f x , y  илиz  z x , y  .

Если имеется n переменных величин x1 , x 2 , ..., xn , тофункциональная зависимость имеет вид z  f  x1 , x2 ,..., xn  .Область D, в каждой точке которой определена данная функция, называетсяобластью определения функции.В случаеприприи т.д.n  1 имеем функцию одного аргументаn2n3имеембудетf  x, y  ;u  f  x, y , z f x  ;Пример . Функцияz  ln  x  y  1определена, если аргументлогарифма положителен, т.е. x  y  1  0Множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, представляет собоюобласть определения данной функции. Это есть точки, расположенныеправее и выше прямойx  y 1 0Пример .

Функцияz  1  x2  y 2на верхней половине сферыдает нам множество точек, расположенныхx2  y2  z 2  1Областью определения этой функции является кругxyx2  y2 1Пусть функция z  f x , y  определена в некоторой области D наплоскости xOy. Каждой точке x , y  на плоскости будет соответствоватьточка M x , y , z  трехмерного пространства.Множество таких точек M x , y , z  в трехмерной декартовой системекоординат представляет собой некоторую поверхность и называетсяграфиком функции z  f x , y  .Для построения графика функции z  f x , y  можно рассматривать функцииодной переменной z  f x0 , y  и z  f  x , y0  , представляющие сечения графикаплоскостями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz .10.5222x  y  z 10-0.5-1110.50.500-0.5-0.5-1-110.750.50.25z  x2  y 21010.50.500-0.5-0.5-1-110.5y2  z2 10-0.5-1-1-0.5-1-0.5000.50.51 110.750.5z  x2  y20.250110.50.500-0.5-0.5-1-120-21z  sin xy0.50-0.5-1-202Линии уровняОпределение 12.8Линией уровня функции z  f x , y  называется такая линия f x , y   C на плоскостиxOy , в точках которой функция принимает постоянное значение z  C .z  x2  y2ПримерФункция z  x 2  y 2 ,описывая поверхность,называемую параболоидом вращения, имеет линииуровня вида x 2  y 2  C .

Задавая параметру Cразличные значения из области C  0 , получимнесколько линий уровня в виде совокупностиконцентрических окружностей с центром в началекоординат.Этасовокупностьназываетсяфрагментом карты линий уровня.yxЛинииуровня32103210012332.521.510.50.511.522.53Пример.

Построение фрагмента карты линий уровня13функции Кобба-Дугласа z  x1 4 x2 4 .Поверхности уровняПоверхностью уровня скалярной функции u= f(x,y,z) называетсямножество точек пространства, в которых функция u принимает одно и тоже значение c, то есть поверхность уровня определяетсяуравнением f(x,y,z) =c.Предел функцииПусть функцияокрестности точкиf M , гдеM  M  x1 , x 2 ,, x n  , определена в некоторойM 0 x10 , x2 0 ,, xn 0 , причем в самой точке M функция0может быть и не определена.Определение 12.9.Число A называется пределомфункции z  f x , y  при x  x0 , y  y0(или в точке x0 , y 0  ), если длялюбого числа   0 найдется число  0 такое, что для всех точекотличныхотточкиM  x, y  ,M 0  x0 , y0  и отстоящих от этойточки на расстояние  ( 0     ),выполняетсянеравенствоМатематическоеf  x, y   A   .обозначение:lim f  x, y   lim f  x, y   Ax  x0y  y0M M 0.z  f x, y aaAa yЛинииуровняxОкружностьрадиуса M x 0 , y 0 Аналогичные определения предела можно дать и для случая, когда M0 –бесконечно удаленная точка, а A – имеет конечное или бесконечное значение.Эти различные формулировки определения конечного или бесконечного пределав конечной или бесконечной точке можно записать лаконично с помощьювведенных ранее логических символов.Например, пусть M0 – конечная точка, A   , то записьlim f M   AM M 0означает: lim f M   A     0,      0  :0  M , M 0     f M   1 M M0В случаеM  M  x, y , z  ,A  , x, y , z   , тогда lim f x , y , z       0,       0 :   x ,y ,z  1 1:  x 2  y 2  z 2  2   f x , y , z    Напомним, что если A – число, то предел называется конечным, если же A равно ,+ или , то предел называется бесконечным или несобственным.Нетрудно заметить, что определение предела функции несколькихпеременных аналогично соответствующему определению предела дляфункции одной переменной.Замечание.Вычисление пределов функции двух переменных является более сложной задачейпо сравнению с вычислением пределов функции одной переменной.Это связано с тем, что точка N может стремиться к точке M по любомунаправлению на плоскости в отличие от функции одной переменной, гдепеременная x может стремиться к числу x0 на числовой прямой только справа илислева.Получающиеся при этом многочисленные пределы функции двух переменныхдолжны совпадать друг с другом.Пример.

Найти предел функции f x , y   sin xy приyx  0, y  0 .Решение. Функция f  x , y  определена всюду, кроме линии y  0 . Функция в точке0,0 не определена. При нахождении предела следует умножить числитель изнаменатель на x , сделать замену xy   , а затем воспользоваться 1-м замечательнымпределом sin  sin xyx sin xy  0 . lim lim  x x 0x 0x 0yxyy 0y 0  0lim420-2-4420-2-4420-2-4Пример. Существует ли предел у функции f x , y  yxприx  0, y  0 ?Решение.

Выберем направление движения к точке 0,0  по линии y  kx . Ясно,что при x  0 переменная y  0 . Получимlimx 0y 0ykx lim lim k  k .x x  0 x x 0При различных значениях k предел имеет различные значения. Наблюдаетсязависимость величины предела от пути, по которому точка x , y  стремится к точке0,0  .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций