Лекция21и (1246176)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 28ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(6)Несобственные интегралы 1-го родаЭталонный интеграл 1-го родаНесобственные интегралы 2-го родаЭталонный интеграл 2-го родаИсследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-города от неотрицательных функцийИсследование на сходимость интегралов от знакопеременныхфункцийПризнаки сходимости Дирихле и АбеляМы изучали понятие определенного интеграла для случая конечногопромежутка и непрерывной ограниченной функции. Обобщим понятиеопределенного интеграла на случаи бесконечного промежутка инеограниченной на промежутке функцииНесобственные интегралы 1-го родаПусть функция f ( x ) определена для всех x  a и интегрируема накаждом конечном отрезке [a ; t ] .Определение 28.1.Несобственным интегралом 1-го рода f ( x )dxназываетсяatlimt  f ( x )dx .aЕсли этот предел существует и конечен, несобственный интегралназывается сходящимся, в противном случае – расходящимся.Таким же образом вводятся понятия несобственного интеграла1-го рода на неограниченных промежутках [  ; a ] и [ ; ] .azaf ( x )dx  limf ( x )dxt tazf ( x )dx  limf ( x )dx  lim  f ( x )dx  lim  f ( x )dxt t z z  ttaПоследний интеграл называется сходящимся, если сходятся обаинтеграла в правой части равенства независимо от выбора числаa.Пример.

Вычислить интеграл или установить его расходимость0Решение.tdxdxtlimlimarctgxlimarctgtarctg020t   1  x 2t  t  21x00Данный интеграл сходится, его величина равна.2dx1 x2Эталонный интеграл 1-го родаРассмотрим интеграл1dx.xПо определениюtdxdxt lim lim ln x 1  lim ln t    ,t  x t   1 x t  1 т.е.

интеграл расходится.Рассмотрим интеграл1dx, где p  1 .xpВыясним условия сходимости этого интеграла.1p  1,t x1 p t   ,dxdx 1limlim.pptt,p11pxx11 p-1Таким образомнесобственный интеграл 1-го рода1dxxpсходится прирасходится при p  1 .Он называется эталонным интегралом 1-го рода.p 1 иЗамечание. Нижний предел интегрирования был взят из соображенийпростоты вычислений.Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x  1 взятьлюбое число a, удовлетворяющее условию a  0 .Полученные результаты имеют простой геометрический смысл.Рассмотрим область S, ограниченную сверху кривойy1xp,снизу - осью ОХ, слева прямой х=1..Ее площадь оказывается конечной величиной, если p>1 , и бесконечнобольшой величиной, если p≤1Несобственные интегралы 2-го родаПусть функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке[ a ; b) , причем lim f ( x )   .x b  0Определение 28.2Несобственным интегралом 2-го родаb f ( x )dxab на промежутке [a ; b) называетсяlim  0 f ( x )dx .aЕсли предел существует и конечен, несобственный интегралназывается сходящимся, в противном случае – расходящимся .Аналогично,если функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке ( a; b] , причемlim f ( x )   ,x a 0или если функция y  f ( x ) неограниченна на конечном промежутке [ a; b] ,причем во внутренней точке этого промежутка обращается в бесконечностьlim f ( x )   a  c  b ,x cто несобственный интеграл 2-го рода определяется так:bbf ( x )dx f ( x )dx  lim 0 abилиa c bf ( x )dx  lim  f ( x )dx . f ( x )dx  lim 0   0aac Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла вправой части равенства.1Пример.

Вычислить интеграл или установить его расходимость0Решение. Подынтегральная функция f ( x ) 11 x2dx1 xПри x  1  0 функция f ( x )   .Следовательно,0dx1 x21 lim  00dx1 x21 lim arcsin x 0 0  lim arcsin(1   )  2 0.интегрируется наконечном промежутке.12Эталонный интеграл 2-го рода1dxРассмотрим два интеграла иx010dx, где p  1 .xpИх величины11dxdx1ln 1  ln     ,limlimlnx x  0  x  0   lim 00101 x1 p 1 dxdx  lim  1 1  δ 1 plimlimx p δ 0 δ x p δ 0 1  p δ  δ 0 1  p 1, p  1,   1  p  , p  1Суммируя результаты, можем сказать, что несобственный интеграл 2-го рода1(он называется эталонным интегралом 2-го рода)сходится при p  1 и расходится при p  1 .dx xp0Замечание.

Верхний предел интегрирования был взят из соображений простотывычислений, как и в случае несобственного интеграла 1-го рода.Рассуждения останутся справедливыми, если вместо числа x  1 взятьлюбое число a, удовлетворяющее условию a  0 .Геометрическая интерпретацияРассмотрим область S, ограниченную сверхукривой y 1, снизу — осью ОХ, слева иpxсправа прямыми х=0 и х=1Ее площадь оказывается конечной величиной, еслиp  1 , и бесконечно большой величиной, если p  1Исследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-города от неотрицательных функцийКак известно, нахождение интеграла может представлять собой достаточносложную задачу.Поэтому представляют интерес методы, позволяющие без серьезныхвычислений по одному виду функции сделать заключение о сходимости илирасходимости несобственного интеграла.Теоремы сравнения, которые будут рассмотрены ниже, в значительнойстепени помогают исследовать несобственные интегралы на сходимость.Пусть f ( x )  0 .

Тогда функцииtF1 ( t )   f ( x )dx и F2 (  ) ab  f ( x )dxaявляются монотонно возрастающими от переменных t или  (поскольку берем   0 ,   стремится к нулю слева).Если при возрастании аргументов функции F1 t  и F2    остаютсяограниченными сверху, это означает, что соответствующиенесобственные интегралы сходятся.На этом основана первая теорема сравнения для интегралов отнеотрицательных функций.Теорема 28.1 (признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода)Пусть для функций f ( x ) и g( x ) при x  a выполнены условия:1) 0  f ( x )  g ( x ) ;2) функции f ( x ) и g ( x ) непрерывны.Тогда из сходимости интеграла g( x )dxследует сходимость интегралаaaа из расходимости интеграла f ( x )dxa f ( x )dx ,следует расходимость g( x )dx .aДоказательствоПусть интеграл g ( x)dx сходится.aПоскольку 0  f ( x )  g ( x ) и функции непрерывны, то f ( x )dx   g ( x )dx .aaПо условию интеграл g( x )dxсходится, т.е.

имеет конечную величину.aСледовательно, интеграл f ( x )dxaсходится также.Пусть теперь интеграл f ( x )dxрасходится.aПредположим, что интеграл g( x )dxсходится также, ноaтогда должен сходиться интеграл f ( x )dx , что противоречитaусловию.Наше предположение неверно, интеграл g ( x )dxaрасходится.Теорема 28.2 (признак сравнения для несобственных интегралов 2-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [ a ; b )выполнены условия:1) 0  f ( x )  g( x ) ;2) функции f ( x ) и g( x ) непрерывны;3) lim f ( x )   и lim g ( x )   .x b  0x b  0bТогда из сходимости интеграла g( x )dxследует сходимостьabинтеграла f ( x )dx ,bа из расходимости интегралаa f ( x )dxabследует расходимость  g( x )dx .aДоказательство теоремы для несобственных интегралов 2-го родав точности совпадает с доказательством теоремы длянесобственных интегралов 1-го рода.Отличие состоит лишь в обозначениях несобственного интеграла.Замечание.Если интегралы умножить на произвольные не равные нулю числа m и n,выводы теорем останутся справедливыми.Пример.

Исследовать на сходимость интеграл2Решение.Функция y 13x xdx3x x.непрерывна и положительна1на промежутке [2;) , причемНесобственный интеграл23x xdxx11x1.2представляет собой эталонный интеграл 1-2го рода, который при p  1  1 является расходящимся, следовательно,2по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 1-го рода интегралdx x  3 x расходится также.22Пример. Исследовать на сходимость интегралdxx  x20Решение.Функция1y2непрерывна,положительнанаxxпромежутке [0;2] , неограниченно возрастает при x  0 .Для нее при x  0 справедливо неравенство2Несобственный интеграл0который приp  1 12dxx11xx21x1.2есть эталонный интеграл 2-го рода,2сходится, следовательно, по 1-й теореме2сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл0сходится также.dxx  x2Теорема 28.3 (предельный признак сравнения для несобственныхинтегралов 1-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [a;) выполнены условия:1) f ( x )  0 , g(x)  0 ;2) f ( x ) и g ( x ) непрерывны;3) limx f(x) k  0.g( x )Тогда интегралы f ( x )dx и  g( x )dxaaсходятся или расходятся одновременно.ДоказательствоИз равенства limx f(x) k по определению предела следует, чтоg( x )  0 x0 | x  x0f(x)k  .g(x)Возьмем любое  , например   k 2 .Тогдаf(x)-k k k .2 g(x)2Прибавим ко всем частям неравенства число k иумножим неравенство на g ( x )  0 .Получим0,5k  g( x )  f ( x )  1,5k  g ( x ) .По 1-й теореме сравнения из сходимости интеграла 1,5k  g( x )dxследуетx0сходимость интеграла f ( x )dx ,а из расходимости интегралаx0 0 ,5k  g ( x )dxx0следует расходимость интеграла f ( x )dx .x0Полученные выводы справедливы для интегралов f ( x )dxaaпоскольку интегралы f ( x )dxx0и g( x )dxпри a  x0 ,aaи g ( x )dxявляются собственными, а значит,x0конечными и на сходимость исследуемых несобственных интегралов не влияют.Теорема 28.4 (предельный признак сравнения длянесобственных интегралов 2-го рода).Пусть для функций f ( x ) и g ( x ) на промежутке [ a; b ) выполнены условия1) f(x)  0, g(x)  0 ;2) f ( x ) и g ( x ) непрерывны;3) lim f ( x )   , lim g ( x )  x b 04) limx b 0x b 0f(x)k 0.g( x )bТогда интегралы f ( x )dxabи  g ( x )dx сходятся или расходятся одновременно.aДоказательство справедливости утверждения в точности совпадает сдоказательством теоремы 28.3, следует лишь внести изменениявобозначения интегралов.Пример.

Исследовать на сходимость интеграл1xРешение. Функция y 5xdxx5  x  1непрерывна и положительна.x  x 1При x  x1~x5  x  1 x32x5Действительно, limx x  x 1 limx 1xНесобственный интеграл132dxx3xx5252x11 lim21x 1xx151.221x52есть эталонный интеграл 1-го рода, который при2p  3  1 сходится, следовательно, сходится и исходный интеграл.2Исследование на сходимость интегралов от знакопеременныхфункцийОпределение28.3.Интеграл f ( x )dxназывается абсолютно сходящимся, если сходитсяaинтеграл от модуля функцииf ( x ) dx .aОпределение 28.4.Если интеграл f ( x )dxaсходится, а интегралf ( x ) dx расходится, тоa f ( x )dxaназывается условно сходящимся интегралом.Теорема 28.5(о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)Если интегралДоказательствоaf ( x ) dx сходится, то интеграл f ( x )dxaИз очевидно верного неравенства f(x)  f(x) f(x)следует 0  f ( x )  f ( x )  2 f ( x ) .По 1-й теореме сравнения интеграл  f ( x )  f ( x )dxaсходится в силу сходимости по условию интеграла 2 f ( x ) dx .aсходится также.Представим f ( x )   f ( x )  f ( x )   f ( x ) ,откуда f ( x )dx    f ( x )  f ( x )dx  aaf ( x ) dx .aПервое слагаемое в правой части равенства сходится по доказанному, второеслагаемое конечно по условию, следовательно, интеграл  f ( x )dx есть конечнаяaвеличина, т.е.

он сходится.Замечание.В другой формулировке теорема выглядит так:если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.Пример. Исследовать на сходимость интеграл1sin xdx .x2Решение.Найдем для подынтегральной функции границу сверху и воспользуемся 1-йтеоремой сравнения для несобственных интегралов 1-го родаsin x1.22xxИнтеграл11dx сходится как эталонный интеграл 1-го рода.2xТогда сходится интеграл1sin xdx ,2xа по доказанной теореме и интеграл1sin xdx .2xУстановим два признака сходимости несобственного интеграла отпроизведения двух функций:Теорема 28.6 (признак Дирихле).Пусть1- функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(x) на[а, ∞) (│F(x)│<M);2- функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на [а, + ∞);3- g(х) —> 0 при х —> + ∞.Тогда интеграл.сходитсяПетер Густав Лежен Дирихле (18051859), великий немецкий математик,изучал арифметику (теорема Дирихле опростых числах в арифметическойпрогрессии), математический анализ(признак сходимости Дирихле, рядыДирихле), механику и математическуюфизику.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций