Лекция24фмп (1246179)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 14ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(3)Теорема о неявной функцииКасательная плоскость и нормаль к поверхностиИнвариантность формы дифференциалов функциинескольких переменныхПрименение полного дифференциалак приближенным вычислениям и оценке погрешностейТеорема о неявной функцииРассмотрим функцию аргумента x, заданную неявно, т.е. функцию y  x  ,заданную соотношением вида F  x, y   0 .Приведем без доказательства формулировку теоремы, дающей достаточныеусловия существования, единственности и дифференцируемости неявнозаданной функции y  y  x  , определяемой соотношением F  x, y   0 .Теорема 14.1 (о неявной функции)Если функция z  F  x, y  удовлетворяет следующим условиям:1) F  x, y  определена в окрестности точки  x0 , y0  , причем F  x, y  и ее чаF  x , y  F  x , y стные производныеинепрерывны в указанной окрестности;xy2) F x0 , y0   0 ;3)F x , y y 0.x x 0y y 0Тогда существует единственная функция y  y  x  , которая определенав некоторой окрестности точки x0 и обладает следующими свойствами:1) функция y  y  x  дифференцируема в окрестности точки x0;2) y0  y  x0  ;3) F x, y  x   0 .Допустим теперь, что некоторая функция z  F  x, y  удовлетворяетусловиям, сформулированным в теореме.

Найдем производную неявнозаданной функции y x  x  .Продифференцируем по x обе части тождества F x, y  x   0 , принимая вовнимание, правило дифференцирования сложной функции, зависящей отнескольких переменных, получимF F dy 0,x y dxоткуда следуетFdy  xF .dxyАналогичное рассмотрение можно провести и для функции z  z  x, y  ,определяемой соотношением F x, y, z   0 .Если функция z  z  x, y  определяется этим соотношением,F x, y, z  x, y   0 . Выполняя частное дифференцирование, получимF F z0,x z xоткуда следуетF F z 0,y z yFz x ,xFzFyz .yFzтоПример.

Найти производную y x функции y  y  x  , заданной неявнымуравнением x 2  y 2  1  0 .Решение. Заметим, что данное уравнение определяет окружность. Дифференцируем уравнение x 2  y 2  1  0 почленно по x как сложную функxцию: 2 x  2 y  y x  0 . Откуда следует y x   .

Ясно, что в точках, где y  0 ,yпроизводная обращается в  (касательная перпендикулярна к оси 0x).F ( x, y )  x 2  y 2  1Fx  2 x; Fy  2 yyx  xyПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКасательная плоскость и нормаль к поверхностиПусть функция z = f(х; у) дифференцируема в точке (x0;y0) некоторойобласти D.

Рассечем поверхность S, изображающуюфункцию z. плоскостями х = x0 и у = у0Плоскость х = x0 пересекает поверхность S по некоторой линии z0(у),уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функцииz = f(х; у) вместо x числа x0. Точка М0(х0;у0; f(х0; у0) ). при надлежит кривой z0(у).В силу дифференцируемости функции z точке М0 функция z0(у) также являетсядифференцируемой в точке у = у0.

Следовательно, в этой точке к плоскости х = х0к кривой z0(у). может быть проведена касательная 11.Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у0, построим касательную 12к кривой z0(x)Прямые l1 и l2 определяют плоскость , которая называется касательнойплоскостью к поверхности  точке М0Составим ее уравнение.Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0;у0 ;z0) может бытьзаписано в видеИли, разделив уравнение на -С и обозначивУравнения касательных 11 и l2 имеют видКасательная 11 лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек11 удовлетворяют уравнениюЭтот факт можно записать в виде системыРазрешая эту систему относительно В1, получим, чтоАналогичноПодставив значения A1 и В1 в уравнение, получаемуравнение касательной плоскости:Если поверхность задана уравнением F(x;y;z) = 0, то уравнение касательнойплоскости имеет вид (с учетом того, что частные производные могут бытьнайдены как производные неявной функции):примет видилиFx  x  x0  M0Fy  y  y0  M0Fz  z  z0   0M0Определение 14.1Прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости,построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.Fx  x  x0  M0Fy  y  y0  M0   F F F N N,,xyzFz  z  z0   0M0Принимая за направляющий вектор прямой, перпендикулярной к поверхностив точке M 0 x0 , y0 , z 0 , вектор   F F F N N,, , получим каноническиеxyzуравнения этой нормали в точке M 0 x0 , y0 , z 0 для случая, когда поверхностьзадана уравнением F(x;y;z) = 0, x  x0   y  y 0   z  z 0 .FFFx M 0z M 0y M0В случае уравненияz = f(х; у)ЗамечаниеМы предполагали, что функция F  x, y , z  дифференцируема, и ни в одF F Fной точке поверхности S все три частные производные,,в нольx y zне обращаются, т.е.

на поверхности S нет особых точек.Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности Sв точке M 0 1,1,2  , если уравнение поверхностей z  x 2  y 2zM0Nx10y1Решение. Запишем уравнение поверхности (это параболоид вращения)FF 2y , 1.yz Следовательно в точке M 0 1,1,2  нормаль к поверхности N  2i  2 j  k .так:F  x, y , z   x 2  y 2  z  0 .НайдемF 2x ,xТогда касательная плоскость имеет уравнение 2x  1  2 y  1  1 z  2   0 ,т.е. 2 x  2 y  z  2  0 .Соответственно, прямая, на которой лежит нормальный вектор N ,такова:x 1 y 1 z  2221ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛОпределение 14.2. Дифференциалом функции z  f  x, y  называетсялинейная относительно  x идифференцируемой функции, т.е.defdz yчастьполногоприращенияz  x, y z  x, y x yxyЗаметим, что если x и y – независимые переменные, то дифференциалыэтих переменных совпадают с их приращениями, т.е.

dx   x , dy   y .Тогда можно уточнить форму дифференциала функции, зависящей от двухнезависимых переменных:defdz z  x, y z x, y  dx  dyxyЗапишем уравнение касательной плоскости в видеz z  x, y x x z  x, y y yОтсюда очевиден геометрический смысл полного дифференциалаПример. Найти полный дифференциал функции u  x 2  x  y  x  y  z 2 .Решение. Очевидно, что du uuu dx  dy  dz , при этомxyzu2 x  y  yz 2ux  xz 2u,,x 2 x 2  xy  xyz 2 y 2 x 2  xy  xyz 2 zxyz2x  xy  xyz2 x  y  yz  dx  x  xz  dy  2 xyz  dz .Следовательно, du 222 x 2  xy  xyz 22.ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХРассмотрим дифференцируемую функцию z  z  x, y  и запишем ее полныйдифференциалdz  x, y  z  x, y z  x, y  dx  dy .xyПокажем, что эта форма дифференциала обладает свойством инвариантностии в том случае, когда переменные x и y не независимые, а являютсяфункциями некоторого аргумента t, т.е.

z  z x t , y t  .Действительно: z dx z dy zzdz  zt  dt        dt   dx  dy ,xy x dt y dt т.е. dz zz dx  dy , где x  xt  , y  y t .xyТеперь предположим, что x и y зависят не от одного, а от двухнезависимых аргументов, т.е. x  xs , t  , y  y s , t  .Тогдаz  zxs , t , y s , t , причем функцииxs , t иy s , t предполагаются дифференцируемыми по переменным s и t. Очевидно, чтоdz zz z x z y  z x z y  ds  dt     ds    dt stxsysxtyt z xz y z x  z y ds  dt   ds  dt  x ty t x s  y sz  xxyz z  y zdsdtdsdtdx dy y  s xx  sttyТаким образом, окончательноdz zz dx  dy ,xyт.е. форма полного дифференциала сохраняется в том случае, если x и yзависят в свою очередь от двух независимых переменных s и t.Применение полного дифференциала к приближеннымвычислениямРассмотрим некоторую функцию z  f  x, y  , определенную в области D идифференцируемую в точке M  x, y   D .Тогда ее полное приращение можно записать так: z  f x  x, y    x  f y  x, y    y     x     y , где   0 ,   0при  x  0 ,  y  0 , т.е.

 z  dz     x     y .В приближенных вычислениях иногда заменяют полное приращениефункции ее дифференциалом, т.е. полагаютf x   x, y   y   f  x, y   f x  x, y    x  f y  x, y    yЗамечаниеПогрешность же таких вычислений можно оценить, оценив отброшенныеслагаемые    x     y . Делается это с помощью формулы Тейлора дляфункции нескольких переменных.1,012  2,992  6 ,x 2  y 2  6 в точке M 1, 3Пример. Вычислить приближенное значениезаменив полное приращение функции z  x, y  ее дифференциалом.Решение. Итак, примем во внимание, чтоz  x   x, y   y   z  x, y  zzx y,xyполучим x   x 2   y   y 2  6 x2  y2  6 x22x  y 6 x y22x  y 6 yПоложим здесь x  1 , y  3 ,  x  0,01 ,  y  0,01, тогда будет1,012  2,992  6  4  0,005  3,9951 9  6 0,013   0,010,01 0,034441 9  61 9  6Оценка погрешностей с помощью полного дифференциалаПри выполнении различных экспериментов приходится сниматьпоказания с приборов, а затем вычислять интересующую нас физическуювеличину по некоторой формуле.Естественно, что при этом экспериментатора интересуют погрешноститаких измерений.

Рассмотрение проведем для случая функции, зависящейот двух независимых переменных, т.е. z  f x, y .Пусть мы измеряем величины x и y с погрешностями  x и  y .Погрешности эти нам не известны, но мы можем оценить их сверху: x  1 ,  y   2 .Здесь положительные величины 1 и  2 дают нам абсолютныепогрешности измерений величин x и y.Допустим, что нам надо оценить абсолютную погрешность вычислениявеличины z  f  x, y  .Очевидно, что ошибка вычисления величины z : z  f  x   x, y   y   f  x, y  .Если приращения  x и  y малы по абсолютной величине, то, заменяяполное приращение функции ее дифференциалом, получим z  dz zzx   y.xyОтсюда следует, что абсолютную погрешность измерений можно оценить так:z zzzzzzx   y  x  y  1  2xyxyxyРазвертка четырехмерногокубаС.Дали.

Распятие.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций