Лекция15и (1246167)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 22ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5)Интегрирование некоторых иррациональныхфункцийКвадратичные иррациональностиВыделение полного квадратаТригонометрическая подстановкаИнтеграл видаПодстановки ЭйлераДробно-линейная подстановкаИнтегрирование некоторыхиррациональных функцийДалеко не каждая иррациональная функция может иметьинтеграл, выраженный элементарными функциями.Рассмотрим приемы для интегрирования некоторых типовиррациональных функций, с помощью подстановок, позволяющихпреобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой можетбыть найден как известно всегда..Квадратичные иррациональностиИнтегралы типаназывают неопределенными интегралами от квадратичныхиррациональностейИх можно найти следующим образом:Под радикалом выделяют полный квадрати делают подстановку х + b/a =tПри этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий —к сумме двух табличных интегралов.ПримерПримерТригонометрическая подстановкаИнтегралы типаприводятся к интегралам от функций, рационально зависящих оттригонометрических функций, с помощью следующихтригонометрических подстановок:х = а • sin t для первого интеграла;х = а • tg t для второго интеграла;х = a/sint , для третьего интеграла.Пример.Интеграл видаЗдесь подынтегральная функция есть рациональная функцияотносительно х иВыделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановкуинтегралы указанного типа приводятся к интегралам ужерассмотренного типа, т.

е. к интегралам типаЭти интегралы можно вычислить с помощью соответствующихтригонометрических подстановок.Пример.ЗамечаниеИнтеграл типацелесообразно находит с помощью подстановки x=1/tПодстановки ЭйлераОни являются частным случаем общего класса интегралов R ( x,ax 2  bx  c ) dx . На квадратный трехчлен накладывается условие – егокорни не равны. Рационализация (или добавление нового радикала) достигаетсяподстановками Эйлера.1.Пусть а>0.Тогда положимax 2  bx  c  ( x)  t  a x .Имеем: ax 2  bx  c  t 2  2 xt  a  ax 2 или bx  c  t 2  2 xt a , так чтоt2  cx,2 at  bt2  cat 2  bt  c aax  bx  c  t  a;2 a t  b2 a t  b2a t 2  bt  c adx  2dt2(2 at  b)22tb2ta2at c t ct c 2dt  R x, ax  bx  c dx   R  b  2t a , t  a b  2  a 2b2 a  R * (t )dt  22P (t )dtQ (t )где P(t) и Q(t) – многочлены.Чтобы вернутся к исходной переменной надо положитьt   ( x)  axПодстановка применима и для случая с>0.

Тогда полагаемимеем( x)  xt  c ,ax 2  bx  c  x 2 t 2  2 c xt  c , ax  b  xt 2  2 сt –сновауравнение I степени относительно переменной х. Отсюда после несложных1.2 ct  bвыкладок получим x ,a  t2 ( х) сt 2  bt  с a,a  t2с t 2  bt  adx  2dt .2 2(a  t )Подставляя эти соотношения в исходный интеграл  R ( x,  ( x ))dx ,осуществим его рационализацию. Проинтегрировав, необходимо положитьt( х)  с.хЕсли многочлен ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2,т.е. ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2), то допустимы такие подстановки:ax 2  bx  c  t ( x  x1 )ax 2  bx  c  t ( x  x2 )Дробно-линейная подстановкаПрименяется к интегралам видагде n- натуральное числоС помощью подстановкифункция рационализируетсяТогдаЕсли в состав иррациональной функции входят корни различныхстепеней, то в качестве новой переменной рационально взять кореньстепени, равной наименьшему общему кратному степеней корней,входящих в выражение.Пример.Пример.В общем случае интегралы типагде а, b, c,d — действительные числа, α,β,γ,δ,—натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональнойфункции путем подстановкигде к — наименьшее общее кратное знаменателей дробейДействительно, из подстановки следует, чтот.

е. х и dx выражаются через рациональные функции от t.При этом и каждая степень дробивыражается через рациональную функцию от t.ПримерО "неберущихся" интегралахПри вычислении производной, наличие формул для производнойсуммы, разности, произведения, частного и композиции - всех техопераций, при помощи которых элементарные функции образуютсяиз минимального набора - приводит к тому, что производная любойэлементарной функции снова является элементарной функциейПри нахождении неопределённых интегралов, однако, формулдля первообразной произведения, частного и композиции нет.Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любойэлементарной подынтегральной функции можно "взять интеграл",то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральнойфункции в виде некоторого выражения, использующего лишьэлементарные функции.Дело в принципиальной невозможности: никакая из первообразныхв случае "неберущегося" интеграла никаким образом не может бытьвыражена как комбинация элементарных функций, связанных знакамиарифметических действий и знаками композиции.В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинахприменяются многие неэлементарные функции; часто их называютспециальными.

К специальным функциям относятся и многиепервообразные для элементарных функций, причём часто не стольуж "сложной" структуры.Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются(по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимисяОпределениеИнтегралне берётся, если функция F(x) не является элементарной.Некоторые неберущиеся интегралы(неопределенные интегралы, являющиеся неэлементарными функциями)ПримерНеберущимся является интегралФункция Ф(х), которая выделяется из всего набора первообразныхусловием Ф(0)=0. называется функцией Лапласа. Она широкоприменяется в теории вероятностей, физике, математической иприкладной статистике и других разделах науки и её приложений.ПримерНеберущимся также является интегралДоопределим подынтегральную функциюполагая её равной 1 при x=0.

В соответствии с тем, чтодоопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси.Среди её первообразных F(x) выделим ту, для которой F(0)=0.Эта неэлементарная функция называется интегральным синусоми обозначается Si(x).ПримерОдна из первообразных -обозначается Ci(x) и называетсяинтегральным косинусомОдна из первообразных, Ei(x) , - специальнаяфункция, называющаяся интегральной экспонентойПримерВыразим через функцию Лапласа следующий интегралДля этого сделаем замену переменнойПервообразнаядля которой F(0)=0 обозначаетсяФункция erf x называется в теории вероятностей и статистикефункцией ошибок..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций