Лекция21и (1246176), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Он, разумеется, и не подозревал,что его именем назовут столь простой иважный принцип.«Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2кроликов»Доказательство.Пусть F - первообразная для f. Интегрируя по частям произведение fg наотрезке [а, b], имеемУменьшаемое в правой части стремится, очевидно, к конечному пределупри b→ + ∞. Вычитаемое стремится к абсолютно сходящемуся интегралу.Для определенности положим g' >0.Отсюда следует, что интеграл сходится.Теорема 28.7 (признак Абеля).Пусть1-функция f непрерывна на [а, + ∞ ) и сходится интеграл2- функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна на[а, + ∞ );Тогда интегралсходитсяНильс Хе́нрик А́бель (норв.
Niels HenrikAbel; 5 августа 1802, Фингё — 6 апреля1829, Фроланд близ Арендаля) —норвежский математикСёрфинг на плечах гигантов (памятникматематику Нильсу Хенрику Абелю)Доказательство.Покажем, что признак Абеля вытекает из признака Дирихле.Заметим сначала, что функция f имеет на [а, b) первообразнуюограниченность которой следует из ее непрерывности и существованияконечного пределаВ силу монотонности и ограниченности функции g существуетравный некоторой константе c.
Тогда функциянепрерывно дифференцируема и монотонна на [а, + ∞ ) иПоэтому интегралсходится как сумма двух сходящихся интегралов-первый из нихпо признаку Дирихле,- второйпо условию теоремы.Примеры несобственных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
