Лекция22фмп (1246177), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Предел не существуетПонятие предела функции нескольких переменных предполагаетодновременное стремление всех аргументов к своим предельнымзначениям. Наряду с понятием предела вводится понятие повторногопредела.Определение 12.10.Предел называется повторным, если он получен при последовательномстремлении каждого аргумента к предельному значению при фиксированныхостальных аргументах аргумента x , затем y .yN x, y M  x0 , y 0 xПример.Найтиповторныепределыфункцииx2  y2f x , y   2, x  4 , y  1 при x  0 , y  0 .2x yРешение.

Функция f x , y  определена всюду, кроме точки O0,0 . Устремимпеременную x к нулю, оставляя переменную y постоянной и не равной нулю. Затемустремим переменную y к нулю. Тогда  y2 x2  y 2 lim  lim 2 1  -1 .  lim 2   limy 0 x  0 x  y 2y 0y0 y Теперь оставляем постоянной величину y , а переменную x устремим к нулю.Потом находим предел при x  0 x2 x2  y2 lim  lim 21  1 .  lim   limx 0 y 0 x  y 2x 0 x 2y 0 -4-2010.50-0.5-12x4y10.50-0.5-1Нетрудно показать, что имеют место теоремы о пределах, сформулированные идоказанные для функции одной переменной f (x), в частности, теоремы определе суммы, разности, произведения и частного двух функций несколькихпеременных.lim  f1 M   f 2 M   lim f1 M   lim f 2 M M M 0M M 0,M M 0lim  f1 M   f 2 M   lim f1 M   lim f 2 M M M 0M M 0M M 0f1  M  f1  M   MlimM 0lim ( lim fM M 0f 2  M  M M 0 f 2  M   MlimM 02 M   0)Непрерывность функцииПонятие непрерывности, подробно рассмотренное ранее для функции однойпеременной, можно обобщить также и для функции нескольких переменных, причем,как и ранее, понятие непрерывности тесно связано с понятием предела функции вточке.

Приведем несколько различных определений непрерывности функции в точке,которые эквивалентны между собой..Определение 12.11. Функция f M  называется непрерывной в точке M0, еслиlim f M   f M 0 M M 0.Для функции двух переменных то дадим более развернутое определение.Определение 12.12.

Функция f  x, y  называется непрерывной в точке M 0 x0 , y0 ,если для любогочто для всех точекM 0  x0 , y 0 0      0,всегда можно указать такое числоM  x, y , попадающих в проколотую   окрестность точки, будет выполняться неравенствоf  x, y   f  x0 , y 0   z  f x, y Т.е. для функции непрерывной в некоторойточке достаточно малым изменениямкоординат этой точки соответствуют малыеизменения значения самой функции.a aAa yЛинииуровняxОкружностьрадиуса M x 0 , y 0 Производя дальнейшие аналогии, будем называть функциюf  x1 , x2 ,, xn непрерывной в некоторой области D, если она непрерывна в каждой точке этойобласти.Если в некоторой точке функция не является непрерывной, то она называетсяразрывной в этой точке.Функция нескольких переменных может претерпевать разрыв не только вточке, но и на некоторой кривой и т.п.Для функций, непрерывных в точке, можно сформулировать несколько теорем,аналогичных соответствующим теоремам, рассмотренным ранее для функцииодной переменной.Теорема 12.1.f1 x1 , x2 ,, xn  иЕсли функции00M 0 x1 , x 2 ,, x n0f 2  x1 , x2 ,, xn  непрерывны в точке , то в этой точке:непрерывно произведениенепрерывна суммаc  const ;f1 M   f 2 M ;непрерывно произведениенепрерывно частноеc  f1 M  , гдеf1 M   f 2 M ;f1 M f 2 M , f 2 M 0   0 Функции нескольких переменных, непрерывные в области, обладают такими жесвойствами, что и функции одной переменной, непрерывные на отрезке..Теорема 12.2.

Если функцияограниченной областиf  x1 , x 2 ,, xn непрерывна в замкнутойD , то в этой области она принимает наименьшеезначение k и наибольшее значение K, т.е. существуют точки M1 и M2 такие, чтоf M   k , f M   K и при этом для всех точекM  D : k  f M   K12Теорема 12.3. Если функция f  x1 , x2 ,, xn замкнутой областиD , то внепрерывна в ограниченнойD она принимает по крайне мерехотя бы один раз любое значение, заключенное между ее наименьшим значениемk и наибольшим значение K.Теорема 12.3. Если функциязамкнутой областиR0существует.Df  x1 , x 2 ,, xn непрерывна в ограниченной, то она в этой области ограничена, т.е.такое, чтоM  D:f M   R.

Характеристики

Список файлов лекций