Лекция26фмп (1246181), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Найти наибольшееи наименьшее значение функцииz  3  x 2  y 2 в области D , ограниченной прямыми x  1 , y  1 .Решение.zz 2 x , 2 y .xyПриравниваем к нулю частные производные :  2 x  0 ,  2 y  0 .Получаем точку 0,0   точку, подозрительную на экстремум.2z2z2zВычисляем 2  2 , 2  2 , 2  2 .xyxСледовательно   A  C  B 2  4  0 , A  0 .Значит, в точке 0 , 0  функция имеет максимум.Исследуем теперь поведение функции на границе области, т.е. наконтуре ABCD , где A 1,1 , B1,1 , C 1,1 , D  1,1Dy11AC11BxDy11AC11xBНа AB : y  1 , z1  z x, y  y 1  2  x 2 , x   1,1 ; z1  x   2 x ; точка x  0подозрительна на экстремум: z1 0   2 ; z1  A  z1  1  1, z1 B   z1 1  1 .На BC : x  1 , z 2  z  x, y  x 1  2  y 2 , y   1,1 ; z 2  y   2 y ; точка y  0подозрительна на экстремум: z 2 0   2 ; z 2 B   z1 B   1 , z 2 C   z 2 1  1.НаDC :y  1,z3  z  x, y  y 1  2  x 2 ;z3  2 x ;точкаx0подозрительна на экстремум: z3 0   2 ; z3 C   z 2 C   1 ; z3 D   z3  1  1 .На AD : x  1 , z 4  z  x, y  x 1  2  y 2 ; z 4  x   2 y ; точка y  0подозрительна на экстремум: z 4 0   2 ; z 4  A  z1  A  1 ; z 4 D   z3 D   1.Вывод.

Внутри квадрата функция z  x, y  имеет максимум в точке 0 , 0  :z max  3 .На границе области функция принимает наименьшее значение в точкахA, B , C , D :z  A  z  B   z C   z D   1 ,анаибольшеевточках0,1, 1, 0, 0 ,1,  1, 0 , причем z 0,1  z 1, 0  z 0 ,1  z D  1, 0   2 .Ответ. наибольшее значение функция принимает в точке 0 , 0 , оносовпадает с максимальным значением функции z max = zнаиб.

= z 0 , 0  3 ;наименьшее значение функция принимает в точках A, B, C , D ; причемzнаим.=1.УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖАМы рассмотрели экстремумы функции нескольких переменных, считаятолько, что эти точки лежат внутри некоторой области D.Такие экстремумы называются безусловными.Однако часто приходится отыскивать экстремумы функции f  x, y  вобласти D в предположении, что кроме того выполняются условия вида: x ,y   0Экстремумы, удовлетворяющие таким условиям, называются условными.В этом случае аргументы x и y данной функции f  x, y  нельзя считать независимымипеременными.Очевидно, что их связывает уравнение  x , y   0 , которое и называется уравнениемсвязи.Будем предполагать , что для фукции φ выполняются условия для неяно заданнойфункцииГеометрически это означает, что условный экстремум отыскивается не длявсех точек  x, y  , принадлежащих области D, а для точек, принадлежащихобласти D, и лежащих на некоторой кривой l, уравнение которой  x ,y   0 .Например, очевидно, что функция z  1  x 2  y 2 достигает безусловногомаксимума в точке 00,0 : z max  1 (рис.

3.10.1)z 1 3M 0  0, , 2 2 10x1y 12yЕслижепотребовать:найтиусловныйэкстремумфункции1z  1  x 2  y 2 на прямой y  , то очевидно, что он достигается в точке2 1 0 ,  и равен 3 .2 2Отыскание условного экстремума функции можно свести к отысканиюбезусловного экстремума некоторой другой функции.Например, в данном случае достаточно исследовать функциюz  x, y  y  1 23 x2 .4Однако такой способ не всегда бывает удобенРассмотрим другой способ отыскания условного экстремума, которыйназывается методом множителей Лагранжа.Итак, допустим, что нам нужно найти условный экстремум функцииz  x, y  , причем уравнение связи x, y   0(1)Допустим, что точка M 0  x0 , y0   точка условного экстремума, значит, вэтой точке производная по x от функции z  f  x, y  с учетом уравнения связидолжна быть равна нулю, что равносильно равенству нулю df x, y  в точкеM0 .Итак в точке M 0  x0 , y 0 df  x, y  df  x, y df  x , y  dx  dy  0xy(2)С другой стороны, продифференцируем уравнение связи x, y   0 , получимd x, y  d x, y d x, y  dx  dy  0xy(3)Умножим соотношение (3) почленно на некоторый множитель  иприбавим к соотношению  x, y   0 : f  x , y   x , y    x , y   f  x , y   dy  0  dx  xxyy(4)Выберем теперь число  так, чтобы выполнялось условие:f  x , y   x , y 0yy(5)Заметим, что это возможно, т.

к. мы предполагаем, что выполняются условия теоремы существования неявно заданной функции в силу которойy  x, y   0 .Тогда очевидно, что выполняется и второе условие:f  x , y   x , y 0xx(6)Рассмотрим теперь функцию F  x, y   f  x, y      x, y  .Очевидно, что условияf  x , y   x , y f  x , y   x , y 0 и0yyxxдают нам необходимые условия экстремума функции F x, y  , котораяназывается функцией Лагранжа, параметрмножителем Лагранжа.при этом называетсяИтак, для того, чтобы найти точки, в которых данная функция z  f  x, y может иметь условный экстремум, определенный уравнением связи x, y   0 , необходимо решить систему таких трех уравнений:f x , y  x , y  0xx x , y   0f x , y  x , y F y  x , y   0yyFx  x , y  Найденныетакимобразомдополнительному исследованию.точки,естественно,подлежатПример. Найти наибольшее значение функции u  3 xyz при условии,что x  y  z  a , a  0  .Решение.

Итак, необходимо найти условный максимум функцииu  3 xyz , если уравнение связи x  y  z  a  0 .Рассмотрим вспомогательную функцию F  3 xyz     x  y  z  a  .Найдем ее частные производные по x, y и z и приравняем их к нулю, атакже добавим к ним уравнение связи:2113 Fx  xyz  3  yz   332113 Fy  xyz  3  xz   3332 F   1  xyz  3  xy    1 z 33x  y  z  a  0xyz0xxyz0yxyz0zРешая эту систему и исключая параметр  , получим x  y  z Следовательно, данная функция3a.3a a axyz имеет максимум в точке  , , 3 3 3aи при этом umax  .3Таким образом, для любых положительных чисел x, y, z связанныхaсоотношением x  y  z  a , выполняется неравенство 3 xyz  ,3но a  x  y  z .Следовательно, имеем3xyz x yz.3Обобщая полученный результат на любое число переменных, можемсделать полезный вывод:Среднее геометрическое нескольких чисел не превосходит ихсреднего арифметического..

Характеристики

Список файлов лекций