Лекция26фмп (1246181), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 t  dt ,а мы положили t  1 ,следовательно, действительно из соотношений dx   x  dt , dy   y  dt следует, что в данном случае x  dx ,  y  dy .Итак, здесь в правой части равенства дифференциалы dx и dy совпали сзаранее взятыми приращениями  x и  y переменных x и y, т.е. в правойчасти стоят полные дифференциалы различных порядков функции f x, y двух независимых переменных x и y.Введем полное приращение этой функции f  x 0 , y 0   f  x0   x, y o   y   f  x0 , y 0  ,тогда выведенную формулу можно переписать так: f  x0 , y0   df  x0 , yo  1 21d f  x0 , y0     d n 1 f  x0 , y0  2! n  1 !1 n d f  x0   x, y0   y  ,n!(0    1).Полученная формула называется формулой Тейлора nго порядка.Последнее слагаемое, как и ранее, называется остаточным членом в форме Лагранжа.Rn 1  zz  x  y n!  xy n x0 x , y0 y Таким образом , справедливаТеорема 16.1.Пусть δ > 0 и функция f n раз непрерывно дифференцируема наδ -окрестности точки (х0,y0) .

Тогда для функции f при х  < δсправедлива формула ТейлораОтбрасывая остаточный член, мы получаем приближенное равенство,точность которого следует оценить, оценивая сверху модуль отброшенногоостаточного члена. И в частности, заменяя полное приращение функциидвух независимых переменных ее дифференциалом, мы можем оценитьпогрешность, оценивая модуль отброшенного остаточного члена21  f xx  x0   x, y0   y   x  2  f xy  x0   x, y0   y    x  y R  2!  f yy  x0   x, y0   y    y 2Аналогичная формула Тейлора имеет место для функции любого числанезависимых переменных.Замечание . Каждое слагаемое в разложении есть бесконечно малаявеличина по сравнению с предыдущим слагаемым при x  0 , y  0 . Дляобоснования этого факта найдем отношение k -го слагаемого a k к k  1 -му a k 1 .aka k 11  zz  x  y k!  xy k1  zz  x  y k  1!  xy k 1Разделим и умножим  x 2  y 2 .

Получимчислительизнаменательнаkaka k 11  z x z y    kk!  x  y  1  z x z y k  1!  x  y  k 1  k 1 K  ,величинуПри условииz x z y0x  y величина K конечна. При x  0 , y  0 величина   0 . Таким образом,каждый последующий член разложения, включая и остаточный, в  (   0 )раз меньше предыдущего, т.е. представляет собой бесконечно малуюфункцию по отношению к предыдущему членуa k  K    a k 1 или a k  oa k 1   o  k 1 .Замечание . Формулу Тейлора можно записать с остаточнымчленом в форме Пеаноz  x , y   dz  x , y  00001 21n 1d z ... d  z o   n 1  . x0 , y0 2! n  1! x0 , y0 Замечание.

Из формулы Тейлора легко получается, как частныйслучай, формула Маклорена, когда рассматриваетсяразложение вокрестности точки 0,0  . Положив x0  0 , y0  0, x  x , Δy  y , напишемформулу разложения в ряд Маклорена до третьего порядкаz x , y   z 0,0  z x 0 ,0   x  z y 0 ,0   y 1 0 ,0   y 2  o  2z xx 0 ,0   x 2  2 z xy 0,0xy  z yy2!  Экстремумы функции нескольких переменныхАналогично тому, как это было сделано для функции одной переменной,вводятся определения экстремума функции нескольких переменных.Рассмотрение проведем для функции двух независимых переменных.Пусть функция z  f  x, y  определена в некоторой области D плоскостиxOy, и пусть точка M 0  x0 , y 0  является внутренней точкой этой области.Определение 16.1.

В точке M 0 x0 , y 0  функцияf  x, y  имеетмаксимум, если существует   окрестность точки M 0 U  x 0 , y 0  такая, чтодля всех точек M из этой окрестности (причем M  M 0 ) имеет местонеравенство f M   f M 0  .Определение 16.2. В в точке M 0  x0 , y0  функция f  x, y  имеетминимум, если существует   окрестность точки M 0 U  x 0 , y 0  такая, чтодля всех точек M из этой окрестности имеет место неравенствоf M   f M 0  ( M  M 0 ).Максимальное и минимальное значение функции в точке M 0  x0 , y 0 называют просто максимум и минимум функции f  x, y  и обозначаютmax f  x, y  и min f  x, y  .Максимумы и минимумы, как и ранее, называют экстремумами. max f x ,y   f x ,y   (   0 , что  x ,y  U x000,y 0  ,0,y 0  ,M  M 0 : f  x, y   f  x0 , y0  ); min f x ,y   f x ,y   (   0 , что  x ,y  U x00M  M 0 : f  x, y   f  x0 , y0  ).Теорема 16.2.(Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных).Если функция f x, y  , определенная в области D плоскости xOy,имеет в точке  x0 , y0   D экстремум, то ее частные производныепервого порядка в этой точке обращаются в ноль, т.е.f  x, y  0x xyxy00.f  x, y  0y x  x0y  y0Или, что то же самое, в точке x0 , y 0  обращается в ноль полныйдифференциал первого порядка данной функции.ДоказательствоДопустим, что эта функция z  f  x, y  дифференцируема в окрестноститочки u   x0 , y0  и имеет в ней экстремумы (max и min).Пусть для определенности в этой точке функция z  f  x, y  имеетмаксимум.Это означает, что  x , y  U  x 0 , y 0  : f  x, y   f  x0 , y0  и, в частности,f  x, y 0   f  x0 , y 0  .Отсюда следует, что функция одной переменной f  x, y0  в точке (x0)имеет максимум.Но тогда в этой точке f x  x0 , y 0   0 .

Совершенно аналогично в этойточке f y  x0 , y0   0 .Если бы мы положили, что в точке M 0  x0 , y0  функция имеет минимум,то получили бы точно такой же вывод.Замечание. Отметим, что не всякая точка, в которой обращаются внуль все частные производные первого порядка данной функции, являетсяточкой, в которой функция имеет экстремум.Иными словами, равенство нулю частных производных первого порядкав точке  x0 , y0  есть необходимое, но не достаточное условие экстремума.Замечание.

Функция может иметь экстремумв точках, где хотя бы одна из частныхпроизводных не существует. Например, функцияz  1  x2  y 2имеет максимум в точке О(0;0) но не имеет вэтой точке частных производных.Точка, в которой частные производные первогопорядка функции z = f(x; у) равны нулюназывается стационарной точкой функции z.Однородные функцииОпределение 16.3Функция z  z x , y  называется однородной функцией степени p,если для любой точки  x , y  из области определения и переменной tвыполняется равенство z tx ,ty   t p z x , y  . Это равенство являетсятождеством, так как справедливо для любой точки  x , y  .

Например,функция z  xy 4  x 3 y 2 является однородной функцией 5-й степени.Действительно,432z tx ,ty   tx ty   tx  ty   t 5 xy 4  x 3 y 2   t 5 z x , y  .Соотношение Эйлера для дифференцируемых однородных функций.Если функция z  z x , y  на некотором множестве дифференцируема иявляется однородной степени p , то выполняется равенствоz x , y z x , y x y  p  z x , y xyCкалярное произведение градиентадифференцируемых однородных функций навектор своих переменных пропорциональносамой функции с коэффициентом, равнымпорядку однородностиДостаточные условия экстремумаПо-прежнему для большей компактности изложения будем рассматривать функцию двух переменных z  f  x, y  .Итак, допустим, что мы нашли точку M 0  x0 , y0  , в которой выполненынеобходимые условия экстремума, т.е. точку, в которой обращаются в нульf  x, y  f  x, y частные производныеи.yxКак и ранее, точку M 0  x0 , y0  мы можем назвать подозрительной наэкстремум.Каковы же достаточные условия, при выполнении которых вэтой точке функция будет иметь максимум или минимум?Допустим, что функция f  x, y  в точке M 0  x0 , y0  дифференцируема трижды.Напишем формулу Тейлора третьего порядка для этой функции в точке M 0 : f  x0 , y0   f  x0   x, yo   y   f  x0 , y0   df  x0 , y0  1 2 d f  x0 , y0  2!1 3d f  x0  1 x, yo   2  y  , (0  1  1), (0   2  1),3! x и  y  произвольные приращения, которые предполагаются достаточно малыми по абсолютной величине.В силу того, что необходимые условия экстремума выполнены,очевидно, что df  x0 , y0   0 , а тогдаf x 0   x , yo   y   f x 0 , y 0  1 2 d f x 0 , y 0  2!1 d 3 f x 0  1 x , yo   2  y 3 !Ясно, что если x и y достаточно малы по модулю, то знак правой частиэтого равенства определяется знаком его первого слагаемого,1 2т.е.

знаком d f  x0 , y0  , т.к. здесь в правой части стоят однородные2!многочлены относительно  x и  y соответственно второй и третьей степени.Рассмотрим подробнее выражение для этого слагаемого:2fx,yx 2  f xy  x0 , y0    x y  xx 001 21 d f  x0 , y 0    22!2!  f yy  x0 , y0    y Еслифункцияd 2 f  x0 , y0   0 , то в точкеM 0  x0 , y 0 минимум, т.к. в этом случае f  x0 , y 0   f  x0   x, yo   y  .Если d 2 f  x0 , y0   0 , то максимум,f  x 0 , y 0   f  x0   x, y o   y  .т.к.тогда f  x0 , y 0   0 ,имеетт.е.Может, однако, оказаться, что при одних сочетаниях  x и  yd 2 f  x0 , y0   0 , а при других < 0.Это означает, что в точке M 0 у функции f  x, y  экстремума нет.Говорят, что в этом случае функция имеет “минимакс”.Если же это выражение знака не меняет, но может обращаться в нуль, тоэто означает лишь то, что по знаку d 2 f  x0 , y0  нельзя судить о наличииэкстремума у функции f  x, y  в точке M 0 .В этом случае следует рассмотреть формулу Тейлора четвертого порядкаи провести аналогичные исследования.Аналогичные результаты справедливы для функции, зависящей отлюбого числа независимых переменных.Попытаемся теперь получить простые и удобные в применении достаточныеусловия экстремума для функции f  x, y  , выраженные через значения частныхпроизводных второго порядка функции f  x, y  в точке M 0  x0 , y 0  .Для этого обозначим f xx  x0 , y0   A ,обозначимf xy x0 , y0   B ,x t (для определенности считаем, что  y  0 ).yf yy  x0 , y0   C иОчевидно, что1 212 d f  x0 , y0    At 2  2  Bt  C   y  .2!2!Ясно, что знак этого выражения определяется знаком квадратноготрехчлена   t   At 2  Bt  C .Его дискриминант D  B2  AC .Если D  0 , то график функции t  не пересекает ось Ot (корникомплексные);если D  0 , то график функции t  пересекает ось Ot в двух точках(корни вещественные);если D  0 , то график функциивещественные и равные).t касается оси Ot (корниВведем теперь в рассмотрение величину   AC  B 2 = -D.Принимая во внимание все вышесказанное, можем сделать следующиевыводы:Если   0 , то для всех  x и  y  f сохраняет знак.При этом, если A  0 , то и  f  0 .Следовательно, в точке  x0 , y 0  функция f  x, y  имеет минимум.Если же A  0 , то и  f  0 , следовательно, в точке  x0 , y0  функцияf x, y имеет максимум.Если   0 , то для различных  x и  y функция t  имеет различныезнаки, в силу чего  f изменяет знак в окрестности точки  x0 , y 0  .Следовательно, в точке  x0 , y 0  функция экстремума не имеетЕсли   0 , то  f знака не меняет, но может обращаться в нуль.Значит, вопрос о наличии экстремума в точкеоткрытым. x0 , y 0 остаетсяЗаметим теперь, что функции нескольких переменных могут иметьf  x, y экстремум не только в тех точках, где частные производныеиxf  x, y обращаются в нуль, но и в точках, где функцияyнедифференцируема, лишь бы только в этих точках она была непрерывна.НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИПусть функция f  x, y  определена и непрерывна в некоторой замкнутойограниченной области D .Тогда заведомо функция в этой области имеет наибольшее и наименьшеезначение.Для их отыскания нужно исследовать точки, подозрительные наэкстремум и лежащие внутри области D.Затем нужно исследовать поведение функции на границе области, т.е.найти на границе наибольшее и наименьшее значение функции.И в заключение следует сравнить экстремальные значения, которыефункция принимает в области D с ее значениями на границе.Пример.

Характеристики

Список файлов лекций