Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Условие (б) означает, что допустимый диапазонвыходных значений сигнала совпадает с диапазоном входных значений. Наконец, условие (а') гарантирует, что обратное отображение из s в r будет взаимнооднозначным, предотвращая неопределенности. На рис. 3.17(а) показан примерфункции преобразования, которая удовлетворяет условиям (а) и (б). Как видно,здесь допускается отображение многих значений в одно, но функция все ещебудет удовлетворять этим двум условиям. Это означает, что не строго монотонная функция допускает как отображения «один в один», так и «много в один».Это замечательно, если происходит отображение из r в s.
Однако с зависимостью на рис. 3.17(а) возникают проблемы, если мы хотим по полученным значениям однозначно восстановить значение r (обратное отображение может бытьпредставлено диагональным переворотом графика и переменой мест осей r и s).Обратное отображение возможно для точек вида sk на рис.
3.17(а), но для точкиsq оно приводит к диапазону значений, что, вообще говоря, не позволяет восстановить исходное значение r по sq. Как видно на рис. 3.17(б), требование, чтобыT(r) являлась строго монотонной, гарантирует, что обратное отображение будетоднозначным (т. е. отображение является взаимно однозначным). Это теоретически необходимые условия, которые позволяют реализовать некоторые важные методы видоизменения гистограммы, рассматриваемые позже в настоящейа бT(r)T (r)L–1L–1Единственноезначение, skT (r)T(r)skЕдинственноезначение, sq...r0Рис. 3.17.L–1Множество Единственноезначений значение0rkL–1r(а) Монотонно неубывающая функция, показывающая, что многозначений могут отображаться в одно.
(б) Монотонно возрастающаяфункция. Отображение является взаимно однозначным164Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияглаве. Поскольку на практике приходится иметь дело не с действительными,а с целыми значениями яркости, мы вынуждены округлять все результатыдо ближайшего целого. Таким образом, когда условие строгой монотонностине удовлетворяется, мы обходим проблему неоднозначности обратного преобразования отысканием ближайшего целого отображения.
Пример 3.8 дает этому иллюстрацию.Уровни яркости на изображении могут рассматриваться как значения случайной величины в интервале [0, L – 1]. Важнейшей характеристикой случайной величины является плотность распределения вероятностей (ПРВ). Пустьpr(r) и ps(s) означают ПРВ случайных переменных r и s соответственно, где индекс при p означает, что pr(r) и ps(s) являются, вообще говоря, разными функциями.
Из элементарной теории вероятностей следует, что если pr(r) и T(r) известныи T(r) является непрерывной и дифференцируемой на множестве интересующихзначений, то ПРВ результата преобразования (отображения) — переменной s —может быть получена с помощью следующей простой формулы:ps (s ) = pr (r )dr.ds(3.3-3)Таким образом, ПРВ значений преобразованного сигнала s задается через ПРВзначений яркостей входного изображения и выбранную функцию преобразования (напомним, что r и s связаны функцией T(r)).В обработке изображений особую важность имеет следующая функция:rs = T (r ) = (L − 1)∫ pr (w )dw ,(3.3-4)0где w — переменная интегрирования. Правая часть данного уравнения есть не чтоиное, как функция распределения (ФР) случайной переменной r.
Поскольку ФРвсегда положительна5, а интеграл функции равен площади под графиком функции, следовательно, функция преобразования в уравнении (3.3-4) удовлетворяет условию (а), т. к. площадь под графиком функции не может уменьшаться приувеличении r. Когда достигается верхний предел значений r = L – 1, интегралстановится равным 1 (площадь под кривой ПРВ всегда равна 1), а максимальноезначение s становится равным (L – 1); значит условие (б) также выполняется.Зная функцию преобразования T(r), ПРВ ps(s) можно найти из уравнения(3.3-3). Из дифференциального исчисления известно, что производная определенного интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральному выражению в точке верхнего предела (правило Лейбница).
Другими словами,ds dT (r )d r== (L − 1) ⎡⎢∫ pr (w )dw ⎤⎥ = (L − 1) pr (r ).⎦drdrdr ⎣ 0(3.3-5)Подставляя этот результат для dr/ds в уравнение (3.3-3) и предполагая, что всезначения плотности вероятностей больше нуля, получаем в результатеps (s ) = pr (r )dr11= pr (r )=ds(L − 1) pr (r ) (L − 1)0 ≤ s ≤ L − 1.(3.3-6)5Вообще говоря, неотрицательна, но поскольку далее авторы вводят условие, чтовсе значения плотности вероятностей больше нуля, то это утверждение допустимо.
—Прим. перев.1653.3. Видоизменение гистограммыа бps (s)pr (r)AEq. (3.3-4)1L–1L–10Рис. 3.18.rL–10s(а) Произвольная ПРВ. (б) Результат преобразования согласноуравнению (3.3-4) для всех уровней яркости r. Результирующиеяркости s имеют равномерную ПРВ независимо от формы ПРВзначений rТаким образом, мы получили, что ps(s) есть равномерная плотность распределения вероятностей.
Попросту говоря, было продемонстрировано, что выполнение градационного преобразования согласно функции, заданной уравнением(3.3-4), приводит к получению некоторой случайной величины s, характеризующейся равномерной ПРВ. Здесь важно заметить, что хотя T(r), как это следуетиз (3.3-4), зависит от pr(r), результирующая ПРВ ps(s), как следует из (3.3-6), всегда является равномерной, независимо от формы pr(r). Рис.
3.18 иллюстрирует этуконцепцию.Пример 3.4. Иллюстрация применения уравнений (3.3-4) и (3.3-6).■ Рассмотрим следующий простой пример. Предположим, что непрерывныезначения яркости изображения имеют ПРВ следующего вида:⎧ 2r⎪pr (r ) = ⎨(L − 1)2⎪0⎩для 0 ≤ r ≤ L − 1;в остальных случаях.Согласно уравнению (3.3-4),rs = T (r ) = (L − 1)∫ pr (w )dw =02 rr2.wdw =∫L −1 0L −1Предположим, что мы формируем новое изображение с яркостями s, полученными по этой формуле; т. е. значение s получается как квадрат значения яркости элемента исходного изображения, деленный на (L – 1). Например, пустьдля некоторого изображения L = 10 и пиксель в некоторой точке (x, y) имеетзначение r = 3.
Тогда значение пикселя нового изображения в этой точке будет s = T(r) = r 2/9 = 1. Проверить, что ПРВ яркостей нового изображения будетравномерной, можно, просто подставив pr(r) в уравнение (3.3-6) и используя тотфакт, что s = r 2/(L – 1); т.
е.ps (s ) = pr (r )dr2r=ds (L − 1)2⎡ ds ⎤⎢⎣dr ⎥⎦−1=2r(L − 1)2⎡ d r2 ⎤⎢dr L − 1⎥⎣⎦−1=2r L − 11,=2(L − 1) 2rL −1166Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрациягде последнее действие следует из того факта, что r является неотрицательным6и что L > 1. Как и ожидалось, результатом является равномерная ПРВ.■В случае дискретных значений вместо плотностей распределения вероятностей и интегралов мы имеем дело с вероятностями (значениями гистограммы)и суммами. Как упоминалось выше, вероятность появления на цифровом изображении пикселя со значением яркости rk приближенно равнаpr (rk ) =nkMNk = 0,1, 2,..., L − 1,(3.3-7)где MN есть общее число пикселей на изображении, nk — число точек яркостиrk, а L — максимально допустимое число уровней яркости на изображении (т.
е.256 для 8-битового изображения). Как отмечалось в начале данного раздела, зависимость pr(rk) обычно называют гистограммой.Дискретным аналогом функции преобразования, задаваемой уравнением(3.3-4), будетksk = T (rk ) = (L − 1)∑ pr (rj ) =j =0(L − 1) k∑njMN j =0k = 0,1, 2,..., L − 1 .(3.3-8)Таким образом, обработанное (выходное) изображение получается отображением каждого пикселя входного изображения, имеющего яркость rk, в соответствующий элемент выходного изображения со значением sk, согласно уравнению (3.3-8). Преобразование (отображение), задаваемое уравнением (3.3-8),называется эквализацией или линеаризацией гистограммы. Нетрудно показать(задача 3.10), что данное преобразование удовлетворяет условиям (а) и (б), которые были ранее сформулированы в настоящем разделе.Пример 3.5.
Простая иллюстрация эквализации гистограммы.■ Прежде чем продолжить, было бы полезно проработать простой пример.Предположим, что трехбитовое изображение (L = 8) размерами 64×64 пикселя(MN = 4096) имеет распределение яркостей, представленное в табл. 3.1; его уровни яркостей являются целыми в диапазоне [0, L – 1] = [0, 7].Гистограмма нашего гипотетического изображения схематично изображенана рис. 3.19(а). Значения функции преобразования для эквализации гистограммы получены при помощи уравнения (3.3-8). Например,0s0 = T (r0 ) = 7∑ pr (rj ) = 7 pr (r0 ) = 1,33 .j =0Аналогично,1s1 = T (r1 ) = 7∑ pr (rj ) = 7 pr (r0 ) + 7 pr (r1 ) = 3, 08j =0и s2 = 4,55, s3 = 5,67, s4 = 6,23, s5 = 6,65, s6 = 6,86, s7 = 7,00. Такая функция преобразования имеет ступенчатый вид, показанный на рис. 3.19(б).6В этих преобразованиях необходимо также условие, что r ≠ 0.
— Прим. перев.3.3. Видоизменение гистограммыТаблица 3.1.167Распределение яркостей и значения гистограммы для трехбитового изображения размерами 64×64 пикселяrknkpr (rk) = nk/MNr0 = 07900,19r1 = 110230,25r2 = 28500,21r3 = 36560,16r4 = 43290,08r5 = 52450,06r6 = 61220,03r7 = 7810,02В данный момент значения s все еще являются дробными, поскольку онибыли получены суммированием значений вероятностей; теперь они округляются до ближайшего целого:s 0 = 1,33 → 1s4 = 6,23 → 6s1 = 3,08 → 3s5 = 6,65 → 7s6 = 6,86 → 7s2 = 4,55 → 5s3 = 5,67 → 6s7 = 7,00 → 7Это значения эквализованной гистограммы. Заметим, что в ней всего пять различающихся уровней яркости. Поскольку в s0 = 1 отображаются лишь r0 = 0, на изображении с эквализованной гистограммой будет 790 пикселей со значением 1(см.
табл. 3.1). Также на этом изображении будет 1023 пикселя со значением s1 = 3и 850 пикселей со значением s2 = 5. Однако r3 и r4 отображаются в одно и то же значение 6, так что на эквализованном изображении будет (656 + 329) = 985 пикселейс этим значением, а также (245 + 122 + 81) = 448 пикселей со значением 7. Делениемэтих чисел на MN = 4096 получаем эквализованную гистограмму на рис. 3.19(в).Поскольку гистограмма есть приближение ПРВ и в процессе преобразования новые уровни яркости не образуются, а могут лишь сливаться, получениев результате эквализации совершенно ровной гистограммы является на практике весьма редким случаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
