Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, в отличие от непрерывного случая, в общем случае нельзя доказать, что дискретная эквализация гистограммыа б вpr (rk)ps (sk)sk.257,0.25.205,6.20.154,2.102,8.051,4.15T (r).10.0501234Рис. 3.19.567skrkrk0123456701234567Иллюстрация эквализации гистограммы трехбитового изображения(8 уровней яркости). (а) Исходная гистограмма. (б) Функция преобразования. (в) Эквализованная гистограмма168Глава 3.
Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияприводит к равномерной гистограмме. Однако, как скоро будет видно, использование уравнения (3.3-8) имеет тенденцию к растягиванию гистограммы исходного изображения, и уровни яркости эквализованного изображения занимают более широкий диапазон шкалы яркостей. В итоге результатом являетсяповышение контрастов.■Ранее в настоящем разделе обсуждались многие преимущества изображения, уровни яркости которого покрывают весь диапазон возможных значений.Рассмотренный только что метод, кроме того, что формирует изображение,близкое к выдвинутому критерию, обладает тем дополнительным преимуществом, что является полностью «автоматическим».
Иными словами, получаяна вход изображение, процедура эквализации гистограммы сводится к выполнению преобразования по формуле (3.3-8), опираясь лишь на информацию, которая может быть извлечена непосредственно из обрабатываемого изображениябез указания каких-либо дополнительных параметров. Стоит также отметитьпростоту вычислений, которые требуются для реализации этого метода.Обратное преобразование из s в r определяется следующей формулой:rk = T −1 (sk )k = 0,1, 2,..., L − 1 .(3.3-9)Может быть показано (задача 3.10), что это обратное преобразование удовлетворяет условиям (а') и (б) только в том случае, если не утерян ни один из уровнейяркостей rk, k = 0, 1, 2, … , L – 1 исходного изображения. Хотя при эквализациигистограммы обратное преобразование и не используется, оно играет центральную роль в схеме приведения гистограмм, рассматриваемой в следующем разделе.Пример 3.6. Эквализация гистограммы.■ В левом столбце рис.
3.20 представлены те же четыре изображения, что и нарис. 3.16, а в центральном столбце — результаты выполнения преобразованийэквализации гистограммы по каждому из этих изображений. Первые три результата сверху вниз демонстрируют значительное улучшение. Как и ожидалось, на четвертом изображении эквализация гистограммы не приводит к появлению заметной визуальной разницы, поскольку яркости данного изображенияизначально занимали весь диапазон значений. Графики функций, по которым производились преобразования изображений на рис. 3.20, представленына рис. 3.21.
Эти функции были получены по формуле (3.3-8). Заметим, что график преобразования (4) близок к линейной форме, опять-таки показывая этим,что уровни яркости на четвертом изображении близки к равномерному распределению.Гистограммы изображений после эквализации представлены в правомстолбце на рис. 3.20. Интересно отметить, что хотя все эти гистограммы и различаются, тем не менее эквализованные изображения выглядят весьма похоже.Это не является неожиданным, поскольку основная разница между изображениями в левой колонке заключается только в их контрастах, а не содержании.Другими словами, поскольку изображения имеют одно и то же содержание, тоувеличения контраста, получаемого путем эквализации гистограммы, достаточно, чтобы компенсировать разницы в яркостях и сделать эквализованные3.3.
Видоизменение гистограммы169Рис. 3.20. Левый столбец: изображения из рис. 3.16. Центральный столбец: соответствующие результаты эквализации гистограммы. Правый столбец: гистограммы изображений в центральном столбце170Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрация255192(4)(1)128(2)(3)640Рис. 3.21.064128192255Функции преобразований для эквализации гистограммы. Функции(1)—(4) были получены на основе гистограмм изображений, находящихся в левом столбце (сверху вниз) на рис.
3.20, с помощью уравнения (3.3-8)изображения визуально неотличимыми. На этом примере с изображениями,изначально имеющими значительные разницы в контрастах, иллюстрируютсявозможности эквализации гистограммы как адаптивного инструмента улучшения изображений.■3.3.2. Приведение гистограммы (задание гистограммы)Как обсуждалось выше, эквализация гистограммы автоматически находитфункцию преобразования, которая стремится сформировать выходное изображение с равномерной гистограммой. В случае необходимости автоматическогоулучшения это является хорошим подходом, поскольку результаты данного метода предсказуемы и он прост в реализации.
В настоящем разделе мы покажем,что в некоторых случаях улучшение, основанное на модели равномерной гистограммы, не является наилучшим подходом. В частности, иногда полезно задатьиную желаемую форму гистограммы для обрабатываемого изображения. Метод,позволяющий получить обработанное изображение с задаваемой формой гистограммы, называется методом приведения гистограммы или задания гистограммы.Вернемся ненадолго к непрерывному представлению яркостей r и z (рассматриваемые непрерывные случайные переменные), которые обозначают уровни яркостей входного и выходного (обработанного) изображений, и пусть pr(r)и pz(z) соответственно означают их непрерывные плотности распределения вероятностей.
Значения pr(r) мы можем оценить по исходному изображению, в товремя как pz(z) является задаваемой плотностью распределения вероятностей,которую должно иметь выходное изображение.Пусть s — случайная переменная со следующими свойствами:rs = T (r ) = (L − 1)∫ pr (w )dw ,0(3.3-10)3.3. Видоизменение гистограммы171где, как и ранее, w — переменная интегрирования. Это выражение есть не чтоиное, как непрерывная форма эквализации гистограммы — повторение уравнения (3.3-4).Предположим также, что z — еще одна случайная переменная со свойствомzG (z ) = (L − 1)∫ pz (t )dt = s ,0(3.3-11)где t — переменная интегрирования. Из этих двух уравнений следует, чтоG(z) = T(r), а значит, z должно подчиняться следующему условию:z = G −1 (s ) = G −1[T (r )].(3.3-12)Преобразование T(r) может быть получено из уравнения (3.3-10) сразу, как только pr(r) оценена по входному изображению.
Подобным образом, используя уравнение (3.3-11), можно получить функцию преобразования G(z), поскольку задана pz(z).Из уравнений (3.3-10)—(3.3-12) следует, что изображение с заданной плотностью распределения вероятностей может быть получено из исходного изображения с помощью следующей процедуры.1. Получить pr(r) исходного изображения и использовать уравнение (3.3-10)для получения s.2. Используя выбранную ПРВ pz(z), с помощью уравнения (3.3-11) получитьфункцию преобразования G(z).3. Вычислить функцию обратного преобразования z = G –1(z); поскольку zполучена из s, эта процедура есть отображение s в z, что и является искомымзначением.4. Получить выходное изображение путем первоначальной эквализации исходного по формуле (3.3-10); значения пикселей данного изображения являютсязначениями s.
Для каждого пикселя s эквализованного изображения выполнитьобратное отображение z = G –1(s), чтобы получить значение соответствующегопикселя выходного изображения. В результате обработки всех пикселей с помощью такой процедуры получится изображение, ПРВ которого будет совпадатьс выбранной ПРВ.Пример 3.7. Приведение гистограммы.■ Полагая значения яркостей величинами непрерывными, предположим, чтоизображение имеет ПРВ яркости, равную pr(r) = 2r/(L – 1)2 для 0 ≤ r ≤ (L – 1)и pr(r) = 0 для остальных значений r. Найдем функцию преобразования, которая даст в результате изображение с ПРВ яркости, равной pz(z) = 3z2/(L – 1)3 для0 ≤ z ≤ (L – 1) и pz(z) = 0 для остальных значений z.Во-первых, найдем преобразование эквализации гистограммы на интервале [0, L – 1]:rs = T (r ) = (L − 1)∫ pr (w )dw =0r2r2.w dw =∫(L − 1) 0(L − 1)По определению, это выражение равно 0 для значений вне отрезка [0, L – 1].
Таким образом, возводя значения входных яркостей в квадрат и деля их на (L – 1),получаем изображение, значение яркостей пикселей s которого имеет равно-172Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрациямерно распределенную ПРВ, поскольку это есть преобразование, эквализующее гистограмму, как было обсуждено ранее.Нас интересует получение изображения с заданной гистограммой, поэтомунаходим функцию G(z), равнуюzG (z ) = (L − 1)∫ pz (w )dw =0z3z32wdw=(L − 1)2 ∫0(L − 1)2на интервале [0, L – 1] и 0 вне этого интервала. Наконец, мы требуем, чтобыG(z) = s. Но G(z) = z3/(L – 1)2, а значит, z3/(L – 1)2 = s, и мы получаем:1/3z = ⎡⎣(L − 1)2 s ⎤⎦ .Тем самым, если мы умножим значение каждого элемента изображения с эквализованной гистограммой на (L – 1)2 и возведем в степень 1/3, то в результатеполучим изображение, значения яркостей s которого будут иметь ПРВ, равнуюpz(z) = 3z2/(L – 1)3 на интервале [0, L – 1], что и требовалось.Поскольку s = r 2/(L – 1), можно получить значения z напрямую из значенийяркостей r исходного изображения:1/31/3z = ⎡⎣(L − 1)2 s ⎤⎦⎡r2 ⎤= ⎢(L − 1)2(L − 1)⎥⎦⎣1/3= ⎡⎣(L − 1)r 2 ⎤⎦ .Таким образом, возводя в квадрат значение каждого пикселя исходного изображения, умножая результат на (L – 1) и возводя произведение в степень 1/3, получим изображение, яркости элементов которого имеют заданную ПРВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
