Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. момент достижения ппп а зависит от времени завершения конца вертикального участка полета (~ и параметра а. При замене е'(" ') в выражении (5.35) ее значением при экстремальном г (т. е. („„р) найдем, что при е'(" ' ~) = О, 5, а,„= — а„р. Таким образом, кривая, задающая график изменения угла а, довольно быстро достигает своего минимального значения, затем столь же быстро возрастает, а по мере увеличения времени — медленнее, стремясь к нулю при г — ~ оо.
Для одноступенчатых БР, АУТ которых целиком проходят в атмосфере, семейство программ изменения угла тангажа, следовательно, зависит только от двух параметров, т. е, является двухпараметрическим. !87 где а„р — предельное значение угла атаки на дозвуковом участке полета; а — некоторый постоянный коэффициент для рассматриваемого типа БР. Заметим, что траектория наиболее чувствительна к величине а„р, которая и рассматривается как второй параметр семейства программ движения. Для получения связи между а„р и а,„необходимо исследовать функцию (5.35) на экстремум, т.
е. найти м я!2 О 0 !2 13 13 (3 й а Рис. 8.1. Программа угла тангажа для одноступенчатой БР и график изме- нения угла атаки При составлении программного уравнения предполагаем, что продольная ось ракеты идеально выполняет намеченные программой угловые повороты. Типичные графики д„р[1) и а„р[!) для активного участка траектории при вертикальном старте одноступенчатой баллистической ракеты дальнего действия представлены на рис.5.! [4). На первом участке 0 < 1 < 1! полета ракеты д„р — — 90' = сопка На втором участке программы [1! < ! < !з) угол тангажа плавно изменяется от 90' до значения О„ры соответствующего заданной дальности х„причем угол а здесь меняется согласно (5.35); время 1з характеризует момент достижения чисел М = 0,7... 0,8.
Третий участок программы (!з < ! < 1ь) — зто участок движения ракеты в относительно разреженных слоях атмосферы при небольших д = р$'з/2, когда можно принять а > О, необходимый для обеспечения программы движения с д„рь = сонм. В интервале времени 1з — 1з происходит переход программы на прямолинейные участки с углами д„ры. обеспечивающими диапазон дальностей х: „,;и ° ° ° х . тах. Программа длр[1) для криволинейного участка траектории хорошо описывается уравнением д„я[1) = 90'+ [90' — д„гь)[1~ — 21), (5.37) !88 5 — 1, где 5 = — относительное (безразмерное) время полета ракетз — 51 ты на втором (криволинейном) участке программы, которое меняется от нуля до единицы. При движении БР на безатмосферном участке АУТ при зу = О программа угла тангажа может быть аппроксимирована линейными функциями или даже выбрана из класса линейных функций, что часто и осуществляется на практике.
Определение конкретных числовых значений функций, которые зависят от конкретно поставленной перед БР задачи, связанной с попаданием ГЧ в цель, требует решения краевой задачи. Решение параметрических краевых задач будет рассмотрено позже. 5.3. Программы максимальной дальности — Хз = й — хг = Й д — хз = й Х4 = ~й д — Х5 = 4Й Х2~ И~,ф 1т( соа д, х5 (5. 38) Х41 И',ф 1т) — а)п д — я, Х5 189 Проблемы синтеза программ максимальной дальности уже были частично затронуты в 5.1.
Выбор критерия в форме (5.9) по существу предопределял соответствующую постановку задачи. Однако ее решение было ориентировано на этап баллистического проектирования. Здесь же предполагается иной, несколько более высокий уровень строгости постановки задачи. Анализ начнем, как и ранее, с обсуждения модельной задачи оптимального управления, позволяющей оценить предел возможного», к которому следует стремиться при решении практических задач.
Предположим отсутствие заметного влияния атмосферы на движение БР постоянство ускорения силы тяжести, а поверхность Земли на интервале АУТ будем считать плоской. Тогда, приняв обозначения Х1 = х, х2 = х1 = х, хз = у, х4 = хз = у, х5 = т, запишем исходную систему состояния в виде для системы заданы начальные условия (НУ) в виде х,=хо (1=1 5)' (5,39) конечные условия (5.40) хз(кк) = 01 х5(кк) = тк~ где З„= Т вЂ” полное полетное время по рассматриваемой ветви траектории. Кроме того, введено ограничение 0 < )т~ < ~т~, которое в совокупности с тривиальным соотношением з)п д+соз д= 1 (5.41) опрелеляет область допустимых управлений и = (соя д, я1п д, )т))'.
Требуется найти такое управление п(1), при котором бы достигалась максимальная дальность полета х1(Т), причем полное время Т и составляющие скорости в момент достижения цели полета на рассматриваемом интервале движения заранее не фиксируются. Как и ранее, гамильтониан представим в виде суммы двух составляющих: Н (х(1), и(1), Чг(1)) = Н1 (и(к), Чг(1)) + Н2 (х(1), Чг(1)), (5.42) где Н1 (п(1), Чг(2)) = ~т~ [)ф",фх~ ( Ч12 соз д + Ч14 5)п д) — Чгз], (5.43) Н2 (х(1)~ Чl(к)) = Ч11х2+ Чкзх4 Ч14х5. (5.44) Систему дифференциальных уравнений для определения составляющих вектора сопряженных переменных запишем в виде Ч'з = 0 Ч/1 = 0 (5.45) Ч~З Ч~11 Ч'4 Ч~З > Ч 5 ~ф)т(х5 ( Ч~2 соз д + Ч14 51п д). Терминальные условия для системы сопряженных переменных представим как Ч11(Т) = — 1, Ч12(Т) = О, Ч14(Т) = О, (5.46) !90 вектора сопряженных переменных д Х1 Х2 (т ~1 И",ф ~т~ ( Ь) Х2 = , чт+Сг' д — ХЗ = Х4, Ж С И',ф ~т1 ( Ь) Х4 Я Ж хз Л+Сз Н вЂ” хз = — ~т~(Ь).
ж (5.53) Последнее уравнение сопряженной системы (5.45), определяющее величину чр . легко преобразуется (107] к виду — — (Т вЂ” 1) ~/1 — Сзз. (5.54) ~~ Ф~™~(Ь) ' г Остается исследовать нули функции переключения с помощью ее производной — Ь(1) =— ог хз ч (5.55) 192 Из приведенного соотноц)ения вытекает, что Ь(1) < О, следовательно, сама функция Ь(1) монотонно убывает и может иметь не более одного нуля. Для определения возможных режимов работы ДУ на интервале [О, Т) необходимо рассмотреть две возможных ситуации, связанные с поведением функции переключения.
Первый вариант отвечает Ь(0) Ь(Т) > О. Функция переключения не меняет своего знака. При Ь(т) > 0 ДУ должна работать до окончания полета в режиме максимальной тяги. Очевидно, что при этом располагаемого запаса топлива не хватит. Если же Ь(1) < О, то двигатель не включается, т.
е. полет невозможен. Таким образом, делаем вывод, что в рамках рассматриваемой задачи данный вариант не представляет практического интереса. Второй вариант соответствует Ь(0) Ь( Т) < О, т. е, функция переключения будет менять свой знак с плюса на минус в момент времени 1„, что соответствует реализации схемы полета БР. д= а+ О= а+агс18 —, )'р У ' (5.56) можно считать программу в виде а„р(1), удовлетворяющей предьявляемым требованиям; для нахождения д„р(~) следует проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения БР. Программу ачр(1) легко перестроить в программу а„(М), которую затем аппроксимируют аналитическими зависимостями а = — а„р7" (М), (5.57) причем 7" (М) в свою очередь может быть представлена [113] в виде экспоненты или параболы (М вЂ” М ~)(М вЂ” 0,8)з (О, 8 - М,)з (5.58) где а — константа, М и М| — текущее значение числа Маха и соот- ветствующее концу вертикального участка полета БР. 193 Наконец отметим, что особое управление здесь невозможно, поскольку Ь(г) ф О.
Еше раз подчеркнем, что рассмотренная задача является модельной. При этом все приведенные рассуждения касались только одной ступени БР. Однако они обладают достаточной общностью и представляют интерес с точки зрения общего подхода к синтезу программ максимальной дальности (МД). Применительно к практически значимым ситуациям процедура синтеза программы МД сводится к следующему. Прежде всего отметим, что эта задача решается на этапе, когда БР уже создана, т. е. известны все конструктивные, массовые и другие ее характеристики, в том числе и выступаюшие в качестве ограничений. Задача выбора программы угла тангажа подразделяется, как и ранее, на две части. Сначала выбирается программа для атмосферной части АУТ (т. е.
для первой ступени), затем для внеатмосферной (для второй ступени). Для готовой БР значение времени 1, фиксировано. Следовательно, варьированию может быть подвергнут только один свободный параметр а„р, изменение которого влияет на параметры конца АУТ. Учитывая, что Используя зависимости максимально допустимых значений скорости для различных высот, учитывающих необходимый уровень перегрузочного и теплового режимов, устанавливают максимально допустимый угол ал,„, при котором требования к программе будут удовлетворяться. Понятно, что если принимать а„р разными, соблюдая условие а,р< ая,„, то значения параметров движения в конце работы первой ступени будут отличаться, соответственно будет различаться и дальность полета.
Для достижения оптимальной комбинации параметров движения в конце интервала работы первой ступени необходимо выбирать программу изменения угла тангажа второй ступени. При ее решении можно, как отмечалось ранее, не учитывать влияние сопротивления внешней среды. Однако трудности решения все же остаются существенными, поскольку рассматриваемый тип задач ищется в классе краевых, рассмотрению которых будет посвящена гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
