Лысенко Л.Н. Наведение и навигация баллистических ракет (2007) (1242426), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(5.!3) Неизвестными функциями являются Ъ', 'рр, б, Х~ и Хз, а отно- Р шение — согласно допущению о постоянстве расхода топлива предгп ставляет собой известную функцию времени. Вычислим производные, необходимые для составления уравнений Эйлера — Лагранжа, — = — 2рх+ )~Н = — 2$'р+ Хз, д = — 21~~+ Х!,— й дС д1'р Н = — 2Ъ' + Хз ' ж дС ( Х~ а!и Π— Х~ соз О); —. = О. д6 Уравнения для определения 3ц имеют вид Х =О, Х,=О, Хдшп Π— касоа б = О.
Решая уравнения (5.! 4) — (5.1б), получим Таким образом, оптимальная программа тангажа предполагает, что угол наклона оси БР к горизонту остается постоянным на всем АУТ. Величина б* = сопя! определяется из граничных условий. !80 дС вЂ” 2;; —. рд' дС д1'р дС Р дб т (5.14) (5.!5) (5.16) родного. Для выявления общих закономерностей синтеза программы для внеатмосферного участка несколько расширим постановку ранее рассмотренной задачи, вспомнив, что программа управления движением БР на АУТ не ограничивается только программированием изменения угла тангажа. При построении математической модели движения примем следующие допущения, несколько отличающиеся от использованных ранее: ° движение БР осуществляется в центральном гравитационном поле; ° вращение Земли, как и ранее, не учитывается; ° влияние атмосферы отсутствует; ° сила тяги совпадает с продольной осью ракеты и является линейной функцией секундного массового расхода топлива.
Поскольку под программой движения понимают зависимости, определяющие закон целенаправленного изменения модуля тяги и ориентации ее вектора относительно базовой системы координат, в качестве последней удобно выбрать стартовую. В силу неучета вращения Земли выбранную СК следует рассматривать как инерцнальную. Матрица направляющих косинусов между связанной и стартовой СК имеет вид АвАяАт = я)п д соя дсоя у)у я!и у)уя!и у — гйп дсоя !)усов'у соя дсоя у — соя дгйп у соя !!уя!и у+ яш дяш усов у я!и у!усов.у+ я!и дсоя у)уя)п у — соя дя)п у соя !Рсоа у — яш дгйп у)уя)п у (5.18) 18! Таким образом, на основании решения рассмотренной вариационной задачи получен классический, лежащий в основе построения любой программы управления движением на АУТ БР, вывод о том, что на рассматриваемом этапе движение должно осуществляться с постоянным углом тангажа. «Модельностья задачи в данном случае не требует коррекции данного вывода при построении реальных программ, поскольку на высотах порядка 60 км действие атмосферы, как отмечалось, проявляется незначительно, а поле тяготения мало отличается от одно- Очевидно, что ориентация вектора тяги в стартовой СК не зависит от угла крена т, что дает основание положить в (5.18) т = О.
Тогда, обозначив через х! = х, хг = у, хз = г, х4 = х! = х, хз = хг = у, хо = хз = г и учитывая, что Р направлена по оси ОХ связанной СК, получим х4 = а( а х5 = а( а! хо = а'! Р ко — сов дсоз 1р — — хы т гз Р ло — — 61п д сов ~(! (хг + .~~3) ! т .3 Р, ло — гйп ц~ — — хз гз хз: х) а( — хг =Р! аг ат — хз = г! (5.19) где Р = И',ф[т['„г = ; т = то — [т[т.
В рамках обсуждаемой задачи должно быть введено ограничение вида [т[ ьх < [т[ ( [т[ (5.20) отражающее технические возможности ДУ БР. При этом следует иметь в виду, что предельным значением [т[ может быть нулевое, соответствующее «обнулению» тяги двигателя. В качестве функций управления, определяющих программное движение Ракеты выстУпают д„р(1), зк„р(!) и [т[„р(т), т. е. и = [ д (1), зв (!),[т[(!))' . (5.21) В качестве минимизируемого критерия качества управления примем значение 1 = ты (5.22) 182 где ть = то — [т[(ы что отражает минимизацию энергетических затрат на выведение полезной нагрузки заданной массы.
Таким образом, задача сводится к выбору оптимального управления (5.21) для динамической системы, состояние которой описывается уравнениями вида (5.19) при наложенном ограничении (5.20) с экстремумом критерия вида (5.22). В такой постановке рассматриваемая задача представляет собой задачу Майера на условный экстремум с дифференциальными связями в виде уравнений движения, решение которой методами классического вариационного исчисления связано с определенными трудностями.
Наиболее продуктивно эти трудности могут быть преодолены при применении приникла максимума Л.С. Понтрягина. Используя формализованную процедуру решения (113), запишем выражение гамильтониана для системы (5.19) в виде /Р по Н = Ч7 ] — соз Осоз Ч7 — — х1 3 ]Р ло 1 /Р по — Ч1 — 8!п Осоз Ч1+ — (Нз + х2) + Ч/ — 81п Ч/+ — хз + (7П тз з~ т где Чг ] Ч11 Ч12 Ч1з Ч74 Ч78 Ч18, Ч77]' — вектор сопряженных (вспомогательных) переменных.
Определяем вектор сопряженных переменных на основе известного соотношения 1ЧЗ дН вЂ” — — (1= 1,...,п), 1М дх1 ' (5.24) где и = 7. Тогда Ч11 Ч'41 Ч12 Ч151 Ч'з = — Ч'8 3 по Ч~2 (Нз + х2) + Ч1зхз] з х1~ Ч72 (ЛЗ + Х2) + Ч7ЗХЗ] Х (5.25) 3 по Ч12 (Нз+ хз) + Ч1зхз] з хз, 73 Чl — Ч/281П ОСОБ Ч1+ Ч1381П Ч7). Анализ гамильтониана свидетельствует, что его структура позволяет представить Н в виде Н = Н1 (х(1), п(1), Ч7(1)) + Н2 (х(1), Ч7(1)), (5.2б) где Н1 — часть гамильтониана, зависящая от управления. 183 по тз 71о Ч18 Ч'2 тз ] Ч11Х1 + 3 718 х —, (Нз + х2), тз 11о Ч78 = Ч1з — тз — (Ч'1Х1+ Р Ч'7 2 ( Ч71 соз О сов + Ч14Х4+ Ч78ХЗ+ Ч78хо — 1р тп, (5.23) Очевидно, что Р р Н~ = у — сов дсов у — ~у — гйп дсоа ж + тп 2 пз Р + з 3 — гйп т — ттт.
(5.27) дНз дН~ — = 0; — = О. аа ' Оу (5.28) После соответствующих преобразований, окончательно запишем (5.29) Исследование гамильтониана по переменной1т~ сложнее в силу введенного ограничения (5.20). Поскольку при этом все переменные, кроме 1т~, можно считать фиксированными, то, как вытекает из структуры Н~ и неравенства (5.20), / )т(~,„при б(1) ) О, (т(;„при О(1) < О, (5.30) где Б(1) — функция переключения, определяемая соотношением 6(1) = И',фт (у соз дсов у— ~/2шп псов ~/+ ц/звш ~/) ~/т (5.31) Момент переключения тяги с режима максимальной на минимальную (нулевую) тягу или наоборот определяется из условия б(1) = О.
Тогда, подставив в (5.31) значения у и уз, полученные из (5.25), после преобразований будем иметь И;фт ~ ~уз (сов дсов ~р) ' — Хт = О. (5.32) 184 Из условия абсолютного максимума гамильтониана по управлению нетрудно получить выражения, характеризующие ориентацию век- тора тяги (программ тангажа и рыскания) в стартовой системе коор- динат, Условие (5.30) позволяет определить оптимальный режим работы ДУ БР только в неособом случае, когда б(г) ф О.
Значение 1т( будет находиться внутри допустимого интервала изменения секундного массового расхода, определяемого (5.30), при Ь(1) = 0 только на нулевом интервале времени. В случае, когда Ь(() = 0 на ненулевом интервале (113), минимизируемый функционал не зависит от ~т~, и решение не является единственным.
Таким образом, оптимальная траектория движения БР вне плотных слоев атмосферы с точки зрения энергетических затрат может состоять не более чем из трех участков, чередующихся в такой последовательности; максимальная, нулевая, максимальная. Из полученных условий оптимального управления следует, что в принципе возможна реализация двух типов программ движения БР на АУТ: ° программы максимальной непрерывной тяги (Р(1) = Р ); ° программы, состоящей из двух участков максимальной тяги, разделенных временнбй паузой. При этом в обоих случаях ориентация вектора тяги подчиняется одним и тем же программным соотношениям (5.29). Дяя БР наиболее широкое применение нашел первый вид программы движения как наиболее простой, надежный и рассчитанный на относительно малые интервалы атмосферного участка движения.
Однако для высоких траекторий выведения он становится энергетически невыгодным. В этом смысле предпочтительным считается второй вид программы, соответствующий схеме выведения полезной нагрузки «с дожигом топлива», которой соответствует траектория АУТ с пунктирным участком. Особенно широкое применение данная схема получила при управлении движением ракет-носителей космических аппаратов. Однако она была использована и при синтезе программ управления движением БР комплексов оперативно-тактического назначения.
Примером в какой-то степени может служить БР «Першинг-2». Дяя относительно небольших по протяженности участков АУТ БР вполне допустимо дальнейшее упрощение модели, связанное с принятием допущения об однородном гравитационном поле, как это было сделано в ранее рассмотренном примере. В этом случае систе- 185 ма сопряженных переменных примет вид ч )4 Р4 0 !Рз = — !Рз Чь = 0 9з = — Чв Чв = 0 (5.33) Уравнение для определения чг можно не учитывать, поскольку вид программ тангажа и рыскания от него не зависит.
Система вида (5.33) допускает возможность получения аналитического решения. Нетрудно показать 1! 13), что в этом случае имеем тб о=а — Ьт, тб у = ( — с+ от)сов д, (5.34) где а, Ь, с и а — постоянные коэффициенты, выраженные через начальные значения компонентов вектора сопряженных переменных.
Их отыскание эквивалентно решению краевой задачи для системы обыкновенных лифференциальных уравнений, описывающих движение БР и системы сопряженных переменных. 5.2. Особенности и различия в выборе программ движения БР на атмосферном и внеатмосферном участках АУТ 18б Полученные выше результаты дают основание для краткого резюме, касающегося схем выбора программ движения на атмосферном и внеатмосферном участках АУТ.
Поскольку на атмосферном участке АУТ активно работает только первая ступень БР, то программу движения на этом участке часто называют, как уже отмечалось, программой движения первой ступени. Возможности вариаций параметров программного движения на этом участке весьма ограничены жесткими требованиями, сформулированными выше. На этой части АУТ значение тяги ДУ выбирается исходя, прежде всего, из обеспечения допустимых значений скоростного напора и нагрева, а программа по углу рыскания принимается тождественно равной нулю ( у(т) э— а О). Таким образом, выбор программы движения БР на атмосферной части АУТ сводится к следующей традиционной и в достаточной степени тривиальной процедуре.
1. Осуществляется расчет вертикального участка траектории до некоторого момента гз. Это время можно варьировать при выборе параметров траектории движения и поэтому его рассматривают как один из свободных параметров. 2. Расчет траектории от момента ~з продолжается при условии, что ненулевые углы атаки а могут допускаться только до значения числа Маха, не превышающего 0,9. После этого должно выполняться требование а = О до момента, когда влияние атмосферы, выражающееся через скоростной напор д, не окажется малым (д ( дл,„). Такому условию удовлетворяет зависимость вида (х(г) = 4 гх еа(п — О [еа(п — О 1] (5.35) Й» 4гг а(ц — О а(п-О 1~ + 4<~ ай — О аΠ— О и'а Приравняв — = О, получим в результате й 1п2 ~экстр — 11 + а (5.36) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
