Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 8
Текст из файла (страница 8)
24). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстоянию от основания колонны. Нормальная сила в сечении з равна 14=аР=Рет~'з1~. Эпюра Ф показана на рис. 24. Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся в сопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочности.
Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будет постоянно для всех точек объема, такую конструкцию назым ~~(Я вают равнопрочной. В подобных конструкциях материал использу~г$ ется наиболее эффективно. П р и и е р 1.4. Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р Я (рис. 25). Требуется подобрать по- перечное сечение стержней АВ и ВС Рис. 25 с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину о. При этом угол а должен быть выбран из условия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна 1. Из условий равновесия узла В (рис. 25) находим нормальные силы в стержнях: Х,=Р с1яа, Й=Р)з)па.
Далее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжении и: Фт Р Фз Р ! Рх= — =ч — с1я еи Рз= — э= — —. и и ' и па!па Вес конструкции кронштейна пропорционален объему: т'=1тРз+1зРз. Подставляя длины и площади стержней, находим и ( ~ +эшасоза) Величина т' имеет минимум при созе а=1/3; а=55'. й 10. Потенциальная энергия деформации Рассмотрим процесс деформирования упругого тела с энергетической точки зрения. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела У. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т. е.
преобразуется в кинетическую энергию 1(. Баланс энергий имеет вид А=У+К, з пь потвнцилльнхя энвггия двфогмхции 4з Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия. В этом случае А=(/, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии.
Это свойство упругих тел широко Рис. 26 используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры, пружины, торснонные валы и др.). На рис. 26 показан растянутый стержень. Для большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе и соответственно отрезку И внизу показан график изменения силы Р. Поскольку на пути Ж сила Р не остается постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути. На элементарном перемещении б (ц/) работа текущей силы Р равна йА=Рй(Я. Очевидно, работа на перемещении И численно равна площади треугольника ОВС, т.
е. А=(/='т1РМ. Таким образом, работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения И. Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента 1/2 был бы получен какой-то другой коэффициент. В частности, при постоянной силе он равен единице. В дальнейшем при определении работы внешних сил коэф. фициент 1/2 будем ставить без пояснений. Исключая из по- Гл. ь РАстяжвнив и сжхтив лученного для У выражения о(, найдем РЧ и= —. 2Ее (1.8) Если нормальная сила )У меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам дз (рис. 26).
Для злементараиее ного участка е(У = —,„, а для всего стержня (!.9) Энергетические соотношения широко используются при определении перемещений в сложных упругих системах. Общие теоремы, относящиеся к этому вопросу, будут рассмотрены в гл. 5. $11. Статически определимые и статически неопределимые системы Р р Р Ла Ф 4 Рас. 27 части. Но такое определение нормальных сил, да и вообще внутренних снл, далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, н для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно.
Такие системы называются статически неопределимыми. На рис. 27, а показан обычный кронштейн, состоящий нз двух стержней, Усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна Во всех рассмотренных до сих пор задачах нормальные силы в поперечных сечениях стержня определялись при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной з и. стдтичвски нвопнвднлимыв системы 45 усложнить, добавив еще один стержень (рнс. 2?, б), то усилия в стержнях прежним способом уже определены быть не могут: для узла А может быть по-прежнему составлено тол око два уравнения равновесия, а число неизвестных снл равно трем. В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни, можно получить два раза статически Рис.
28 неопределимую систему (рис. 27, в), три раза и т. д. На рис. 28 показано еще три системы. Первая из них статически определимая, вторая и третья — один и два раза статически неопределимые. Можно сказать, что под л раз статически неопределимой системой понимается такая, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на л единиц. Определение всех неизвестных снл, или, как говорят, раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Этн дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и условно называются уравнениями перемещений. )(ля стержневых систем, показанных на рис. 27, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для всех стержней.
В примере, показанном на рнс. 28, уравнения перемещений в случае, если брус АВ— жесткий, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т. п, Рассмотрим принципы составления уравнений перемеще- ний на простейших примерах раскрытия статической неопределимости систем. П р и и е р 1.5.
Прямой однородный стержень (рис. 29) жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Требуется определить наибольшие напряжения, возникающие в стержне. ГЛ. 1. РАСТЯЖННИВ И СЖАТИВ Система, очевидно, один раз статически неопределима, поснольку две реакции опор Ил и ))н не могут быть определены из одного уравнения равновесия йд+Кн=Р.
Уравнение перемещений должно выразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько уллинится верхняя часть, на стольно же сократится нижняя. Следователь- а'л но, (б!лс(=(Ивс) Выражая удлинения через силы, получим 1 2 ВА-з. 1 11в — 1 3 а ЕР ЕР илн ЙА 2Вл Решая зто уравнение совместно с чравиением равновесия, находим: РА=ЧаР, )(и= (зР Наи- 2Р )ал большее напряжение ом,„= —, ЗР ' Рнс. 29 П р и и е р 1.6. Система трех стержней одинаковых сечений (рис. 30, а) нагружена вертикальной силой Р.
Определить усилия в стержнях. При состанлении уравнений равновесия узла А (рис. 30, б) пользуемся принципом неизменности начальных размеров, Поскольку под з)2 з9 Ф Рис. 30 действием силы Р угол м меняется незначительно, будем считать его неизменным. Тогда получаем )Ут — — ДГз, 2Ма соз а+ Из= Р. Полученных уравнений недостаточно для определения всех сил.
Необходимо составить дополнительно одно уравнение перемещений. Для етого сопоставим форму узла А до и после нагружения (рис. 30, в). Отрезок АА' представляет собой вертикальное перемещение узла А. Оно равно, очевидно, удлинениао среднего стержня АА' Из. Из точки А проводим, далее, дугу окружности АВ с центром в точке С. Отрезок А'В представляет собой удлинение бокового стержня А'В М,. Вследствие малости перемещений дугу АВ можно принять аа отрезок, перпендикулярный прямой А'С, и тогда, учитывая, что угол а й и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
