Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поскольку система внешних сил удовлетворяет условиям равновесия и, следовательно, (Р„), + (Р„)„= (), то написанные ранее уравнения становятся тождественными. Это значит, что равнодействующая внутренних сил (Рл) в сечении А может определяться с равным успехом из условий равновесия либо левой, либо правой части рассеченного тела. Если вернуться к уравнениям равновесия, то, очевидно, при их помощи можно определить не закон распределения внутренних сил, а только их равнодействующие, да и то при условии, если все внешние силы заданы. Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате Рис.
6 получим главный вектор лт и главный момент М (рис. 6). Выберем далее систему координат х, у, г. Ось г направим по нормали к сечению, а оси х и у расположим в его плоскости. Спроектирован главный вектор и главный момент на оси х, у, г, получаем шесть составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называются внутренними силовыли факторами в сечении стержня. Составляющая внутренних сил по нормали к сечению (У) называется нормальной илн продольной силой в сечении.
вввдвнив Силы Я„и Я„называются поперечными силами. Момент относительно нормальной оси (М„) называется крутящим моментом, а моменты М„и Ме — изгибающими моментами относительно осей х и у. При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части стержня.
По аналогии с приведенными наименованиями производится классификация основных видов нагружения. Так, если на каком-то участке стержня в поперечных сечениях возникает только нормальная сила У, а прочие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет Рис. 7 место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы Ж. Если в поперечном сечении возникает только момент М„, то в данном сечении стержень испытывает кручение.
Йаконец в случае, если внешние силы приложены таким образом, что в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М„(или М„), имеет место чистый изгиб в плоскости уг (или хг). Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например М„) возникает и поперечная сила Яе.
Такой случай нагружения называется поперечным изгибом (в плоскости уг). Возможны случаи зь нхпгяжения 21 нагрузок, когда стержень работает на кручение и изгиб или растяжение одновременно. Лля того чтобы определить, на растяжение, кручение или изгиб работает стержень, необходимо воспользоваться методом сечений. Так, например, разрезая брус, показанный на рис. 7, а, в сечении АА, определяем из условий равновесия отсеченной части, что в этом сечении возникает только нормальная сила 7т'=ЗР(2.
Следовательно, здесь имеет место растяжение. В сечении ВВ возникают поперечная сила ~=Р~2 и изгибающий момент М=Ра~2. Таким образом, приходим к выводу, что горизонтальный участок бруса работает на изгиб. Для сечений АА, ВВ и СС стержневой системы, показанной иа рис.7, б, получаем соответственно поперечный изгиб с кручением, поперечный изгиб и растяжение. ф 4. Напряжения Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру.
За такую меру принимается напряжение. Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис. 8). В окрестности точки К выделим элементарную площадку ЛР, в пределах которой выявлена внутренняя сила ЛР. За среднее напряжение на площадке ЬР принимаем отношение ЛЯ/ЛР=Р, . Будем уменьшать площадку ЛР, стягивая ее в точку К. Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход приЬР-+О.
В пределе получаем 2)р !пп — = р. Лк АЕ О АР Рис. 8 Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К в сечении А. Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь. В технике напряжения обычно измеряют в килограммах на квадратный сантиметр или на квадратный миллиметр. В Международной системе единиц (СИ) напряжение из- меряется в паскалях (Па), т. е.
в ньютонах на квадратный ВВЕДЕНИЕ метр. Удобнее измерять его в мегапаскалях, 1 кгс/мм'= ° =9,81 МПа. Если напряжение в кгс/мм' задается числом п, а в кгс!ем* — числом 100п, то в мегапаскалях оно будет приближенно равно 10~. Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения (рис. 9). Составляющая вектора полного Рес.
9 напряжения по нормали обозначается через о и называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются через т. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения а и т снабжаются системой индексов, порядок которых будет установлен в дальнейшем. Если через точку К в теле провести другую секущую площадку, напряжение р в той же точке будет, вообще говоря, другим. Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке.
Напряженное состояние, как мы узнаем в дальнейшем, определяется шестью числовыми величинами и является в сопротивлении материалов одним из наиболее важных понятий. Оно будет подробно рассмотрено в гл. Ч11. Начало же курса связано с рассмотрением наиболее простых и часто встречающихся частных случаев напряженного состояния. й 6. Перемещения и деформации Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму (деформируют- $ Ь ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ сн).
Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само пп себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных инструментов. Под действием внешних сил точки тела меняют, свое положение в пространстве.
Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец — в соот- г ветствующей точке деформированного, называется вектором полного л' перемещения точки. Его проекции на оси координат носят название перемещений по осям. Они о обозначаются через и, о и ш соответственно о осям х, у и г (рис. 10). Кроме линейного Рис. 1О перемещения, введем понятие углового перемеи1ения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям х, у и г.
Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то система называется кинематически неизменяемой. Именно такие системы и рассматриваются, как правило, в сопротивлении материалов. В противном случае из перемещений всех точек исключается слагающая переноса тела как абсолютно жесткого и сохраняется та часть, которая характеризует только изменение формы. Тогда для большинства рассматриваемых в сопротивлении материалов систем перемещения и, о и ш любой точки являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела. На основе малости перемещений в сопротивлении материалов в методику анализа внутренних сил вводятся упрощения, носящие принципиальный характер.
Одно из них носит название принципа начальных размеров. Согласно этому принципу при составлении уравнений статики (урав- вввдвнип 24 пений равновесия) тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами.
Так, например, если в точке А системы, показанной на рис. 11, а, приложить некоторую силу Р, то канат АВ удлинится, стержень АС несколько укоротится, да и вообще система изменится (рис. 11, б). Лля определения внутренних ф Рис. 1! сил в канате и стержне надо воспользоваться методом сечений и составить уравнения равновесия для отсеченного деформированного узла А (рис. 11, в). Здесь, однако, возникает затруднение, связанное с тем, что новые геометрические размеры системы остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие, в свою очередь, от геометрических размеров. При малых перемещениях указанным обстоятельством можно пренебречь, поскольку деформированная система мало отличается от недеформированной.
В этом случае в соответствии с принципом начальных размеров уравнения равновесия составляются для я а недеформированного узла Р (рис. 11, г), и тогда У,= Рис. 12 =* Р )I 2; У, = — Р. Понятно, что изложенный принцип не может применяться в случае больших перемещений. Крометого, как исключение принцип начальных размеров может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется качественно. Например, для двух шарнирно связанных стержней, расположенных на одной прямой, условия равновесия узла А (рис. 12) должны составляться обязательно с учетом угла наклона сс, возникающего вследствие удлинения стержней, » Б. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ Системы подобного рода называются мгновенными механязмами.
Это означает, что в какой-то момент система является кннематически изменяемой, т. е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями. В данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения, в котором три шарнира находятся на одной прямой. В отличие от мгновенного обычный механизм обладает кинематической изменяемостью независимо от взаимного расположения составляющих элементов.
Особый класс задач, где, по существу, необходимо отступить от принципа начальных размеров, образуют задачи устойчивости (см. гл. !2). Для того чтобы характеризовать интенсивность изменения формы н размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные друг от друга на расстоянии з ((рис. 13). Пусть в результате изменения формы тела это расстояние уве- /' .л' личится на Лз. Отношение , л. » й о' приращения длины отрезка «, Ю о ~ Лак его начальной длине назовем средним удлинением на отрезке з: Лз/з= рас. !3 =е,р. Будем, далее, уменьшать отрезок з, приближая точку В к точке А. В пределе получим й» !пп — = ела е 5 величина ела называется линейной деформацией (или просто дефорл«ацией) в точке А по направлению АВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
