Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. Если рассматриваются деформации в направлении координатных осей х, у и г, в обозначение е вводятся соответствующие индексы. Тогда имеем е„, е» и е,. Следует подчеркнуть, что слово «деформация» имеет двоякий смысл. В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки.
В сопротивлении материалов и в теории упругости деформация имеет данное выше строгое определение и является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки. Деформация является безразмерной величиной (ее измеряют также в процентах Лз ввидзнив по отношению к г). Поскольку форма тела меняется незначительно, деформации имеют малую величину, Для конструкционных материалов, в частности, деформации практически лежат в пределах долей процента.
Кроме линейной деформации вводится н понятие угловой деформации. Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками ОР и ОС (см. рис. 13). Г1осле нагружения тела внешними силами этот угол изменится и примет значение С'О'0', Будем уменьшать отрезки ОС и ОР, приближая точки С и Р к точке О и оставляя при этом угол СОР прямым. Предел разности углов СОР и С'О'0' т сов ~В 11ш (СОР С О 0 ) ос- г оо- ь называется угловой деформацией или углом сдвига в точке О в плоскости СОР.
В координатных плоскостях углы сдвига обозначаются через у„„у,„и у„„. Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в точке. Деформированное состояние, так же как и напряженное состояние, определяется а Р шестью числовыми величинами. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 7. Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружины называют деформацией.
Это — не деформации, а перемещения. Заметим также, что если какой-то участок стержня перемещается, то это вовсе не значит, что он деформируется. Наглядный тому пример показан на рис. 14. Участок стержня ВС получает перемещении вследствие деформации участка АВ, но сам не деформируется. $ б. Закон Гука и принцип независимости действия сил Многочисленные наблюдения за поведением твердых тел показывают, что в большинстве случаев перемещения в определенных пределах пропорциональны действующим силам.
5 6. ЗАкон Гука Зта закономерность была дана Гуком в 1660 году в формулировке «каково удлинение, такова сила», что по латыни звучало «п1 1епяо з(с ч(з». Но закон был опубликован только в 1676 году в виде анаграммы «сеШпоззз11цч». Так выглядела приоритетная заявка того времени. Если рассмотреть перемещение произвольно взятой точки А (см. рис. 10) по некоторому направлению, например по оси х, то и„=б Р, (0.1) где Р— сила, под действием которой происходит перемещение и„, а 6„— коэффициент пропорциональности между силой и перемещением. Очевидно, этот коэффициент зависит как от физических свойств материала, так и от взаимного расположения точки А и точки приложения силы и вообще от геометрических особенностей системы.
Таким образом, выражение (0.1) следует рассматривать как закон Гука для системы. В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением н деформацией, а не между силой и перемещением. При этом устанавливаются линейные зависимости, свойственные состоянию материала в точке. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физические константы материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом. Закон, таким образом, выражает свойства сзмого материала.
На основе такой формулировки закона Гука могут быть получены линейные зависимости типа (0.1) между перемещениями и силами для конкретных систем. Физические константы материала будут введены в последующих главах при рассмотрении частных случаев напряженного и деформированного состояний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулирован в гл. 7. Пока же для выявления основных свойств напряженных тел ограничимся рассмотрением соотношения (О.1), типичного для подавляющего болыпинства систем.
Заметим сразу, что принятая линейная зависимость между перемещениями и силами сохраняется как при возрастании, так и при убывании сил и предопределяет, следовательно, упругие свойства системы. Зто же подтверждается и опытом, который показывает, что в случае указанной линейной зависимости твердое тело полностью восстанавли- 28 ВВЕДЕНИЕ вает свои первоначальные размеры и форму после устранения внешних снл. Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности мюкду перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу сулерпозиции или принципу независимости дейсемия сил. В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются не зависящими от порядка приложения внешних сил: если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы.
Положим, что к некоторой системе приложена сила Р,. Перемещение, которое вызовет эта сила в произвольной точке А по направлению, например, оси х, будет, согласно выражению (ОА), следующим: иа — 6„Р,. Примем теперь, что сила Р, снята и в некоторой другой точке упругого тела приложена сила Р,. Перемещение, которое вызовет эта сила в точке А, будет таким: (0.3) Коэффициенты пропорциональности б„и б„будут, понятно, различными, поскольку силы Р, и Р, приложены в разных точках тела.
Рассмотрим теперь совместное действие сил Р, и Р,. Приложим сначала силу Р„а затем, не снимая ее, силу Р,. Тогда перемещение, которое получит точка А, можно представить следующим выражением: и„б„Р, + 6; Р,. (0.4) Коэффициент б„будет тем же, что и в формуле (0.2), поскольку сила Р, прикладывалась к ненагруженной системе. Коэффициент же 6„', в отличие от формулы (0.3), помечен штрихом, так как сила Р, прикладывалась не к свободной системе, а к системе, предварительно нагруженной силой Р,.
Если коэффициенты 6;, и 6„ различны, то следует признать, что 6;. зависит от силы Р,. Но это противоречит принятому предйоложенню о линейной зависимости перемещений от действующих сил. Следовательно, 6;, от сил не зависит. Выражение (0.4) при Р,=О должно переходить в выра- з т. овщив пвинципы глсчетл констгэкции жение (0.3). Поэтому б„',=6„,, и тогда иА — б„Р,+ Ь„Р,. (0.5) Таким образом, перемещение определяется как сумма результатов независимых действий сил Р, и Р,. Если изменить порядок приложения сил, то можно путем аналогичных рассуждений прийти к тому же выражению (0.5). Следовательно, результат действия сил не зависит от порядка их приложения. Это, положение легко обобщается и на случай любого числа сил. Итак, в основе принципа независимости действия сил лежит предположение о линейной зависимости между перемещениями и силами, а также связанное с ним предположение об обратимости процессов нагрузки и разгрузки.
Системы, не подчиняющиеся изложенному в предыдущем параграфе принципу начальных размеров, обнаруживают нелинейные зависимости между силами и перемещениями, поэтому к таким системам неприменим также и принцип независимости действия сил (см., например, систему, представленную на рис. 12). Вместе с тем не всякая система, подчиняющаяся принципу начальных размеров, будет подчиняться и принципу независимости действия сил. Если при малых перемещениях сами свойства материала таковы, что перемещения зависят от сил нелинейно, то такая система, подчиняясь первому принципу, не подчиняется второму. Принцип независимости действия сил является основным руководящим правилом при решении большинства задач сопротивления материалов.
$7. Общие принципы расчета элементов конструкции В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям надежности, которые к ней предъявляются. Для этого необходимо прежде всего сформулировать те принципы, которые должны быть положены в основу оценки условий достаточной надежности. Без этого анализ конкретной конструкции сам по себе не может иметь целевого назначения. Так, если в конструкции определяются напряжения, надо предварительно четко представить себе, зачем это нужно и что с найденными напряжениями надлежит делать в дальнейшем.
Точно так же, если определяется форма деформированного введения тела, надо заранее наметить путь дальнейшего использования полученного результата в оценке надежности конструкции. Все эти вопросы находят свое решение в выборе общего метода расчета. Наиболее распространенным методом расчета деталей машин и элементов сооружений на прочность является расчет по напряжениям. В основу этого метода положено предположение, что критерием надежности конструкции является напряжение нли, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Последовательность расчета при этом выглядит следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
