Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 7
Текст из файла (страница 7)
21 равной (+Л( (рис. 21). Величину И называют абсолютным удлинением стержня. Будем считать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стерж- з к гдлинвния ствгжня и закон гукл зт Эта величина называется относительным удлинением стержня. Если бы в стержне (рис. 21) возникало неоднородное напряженное состояние, деформация в сечении А определялась бы путем предельного перехода к малому участку длиной йг, и тогда а (лг) е ° —.
ле (1.3) Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков аЬ (рис. 21), взятых на участке йг, оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуют плоскость, то и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении.
В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями: а =Ее. (1А) Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем уаругосгпи первого рода. Модуль упругости является физической константой мате- не.
В действительности имеются и другие факторы, влияющие на деформации. Так, например, деформации зависят от температуры и от времени действия нагрузки. Неупругие деформации зависят от «истории> нагружения, т. е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем. Поскольку у нагруженного стержня (рис. 21) напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформация е по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине 1: е= —.
И (1.2) Гл. 1. Рлстяжвниз и сжатия 38 риала и определяется экспериментально. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и о, т. е. в мегапаскалях. Вместе с тем, поскольку модуль упругости может иметь довольно большие числовые значения, его предпочтительнее измерять не в мега-, а в гигапаскалях: 1 ГПа=1000 А(Па. Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости Е в ГПа имеет следующие значения: до 690 до 530 170 Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду.
Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию в=((о) можно было бы о заданной точностью рассматривать как линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит гю-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения в=)(о) с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной из испытания материала, Сталь Мде Латунь Алюминий и алюминнево-магниевые сплавы Бериллий Вольфрам Молибден Титан Алмаз Дерево вдоль волокон Стекловолокио Кварпевое волокно Бороволокно Карбидное волокно Промышленное углеродпое волокно высокомодульное Промышленное углеродное волокно высокопрочное Эпоксидные смолы Усы (нитевидные кристаллы) Графит Сапфир (А!,Оа) Асбест !90 — 200 120 100 — 120 70 — 80 240 410 ззо юо 1050 8 — 12 70 — 85 70 430 4ЗО 310 †3 220 †2 2 — 3 э а удлинвння стегжня и закон гукл 39 Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем а на %г, а а на Л(г(г)Яг.
Тогда получим Ь(г(г)= —. Из ЕР Абсолютное удлинение стержня на длине 1 будет равно ! г иг И =~ —. ЕР о (1.5) При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением а, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурной деформации: о а ~+и), В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила И=Р не зависит от г.
Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения г", то из выражения (1.5) получаем М= —. Р1 ЕР ' (1.6) где а — коэффициент температурного расширения материала. Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем, очевидно, и -йр-+ ри1. Р1 (1.7) Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и величина а практически не зависит от напряжения о.
Для стали это имеет место до температуры порядка 300 — 400'С. Прн более высоких температурах необходимо учитывать зависимость Е от Г. Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия. Гл. 1.
РАстяжвиип и сжАтип 40 П р и м е р 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальныв сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, нагруженного на конце силой Р (рис. 22, а), определить числовые значения наибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Р=50 кН, Р=2 см', (=1 и. Материал — сталь, Е=200 ГПа.
Поскольку сила Р велика, собственный вес стержня можно не учитывать. у /у Рис. 22 Из условий равновесия любой отсеченной части стержня вытекает, что нормальная сила 5/ в каждом сечении стержня равна внешней силе Р. Построим график изменения силы /1/ вдоль оси стержни. Графики подобного рода называются в сопротивлении материалов влюрами. Оин дают наглядное предстаиление о занонах изменения различных исследуемых величин.
В данном случае зпюра нормальной силы представлена на рис. 22, б прямоугольником, поскольку /т'=Р=сопз(. На рисунке зпюра М ааштрихована линиями, которые проведены параллельно откладываемым на графике значениям /У. В данном случае значение силы А/ откладывается вверх, штриховка проведена вертикально. Для того чтобы получить знюру напряжений и, надо ордииаты зпюры А/ изменить обратно пропорционально величине Р (рис. 22, в). Большее значение а равно о ,„ = Р/Р ш = 50 кН/2 сме = 250 МПа.
Определим перемещение а (см) каждого сечения стержня по направлению силы Р. Перемещение г-го сечения равно удлинению отрезка данной з. Следовательно, согласно формуле (1.6) и=Рг/(ЕР). Таким образом, на участке изменения з от нуля до / перемещение и пропорционально а (рис. 22, г). На втором участке стержня перемещение равно и=Р//(ЕР)+Рхт/(2ЕР). Зависимость и от гт также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня: пм,„= =ЗР//(2ЕР) =1,87 мм. П р н и е р 1.2. Построить зпюры нормальных сил, напряжений и перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 23). Длина стержня 1, площадь по.еречного сечения Р, удельный вес материала у.
Нормальная сила в сечении з равна весу нижележащей части стержня: М=ТРг. Следовательно, нормальная сила пропорциональна а. Эпюра А( в данном случае штрихуется горизонтальными 4 в. ндлнннння стнр)кня н злкон гнил 41 п=~ *т — (Р— за). г ТР4п4 ,) ЕР 2Е Рис. 23 у(о итак = — ° 2Е ' Пр имер 1,3. Колонна (рнс, 24) нагружена силой Р и силами собственного веса. Требуется подобрать такой Рв " закон изменения площади па- рис.
24 перечного сечения Р=Р(г), чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны Р1Р,. Построить эпюры нормальных снл, напряжений и перемещений. На расстоянии г от торца нормальная сжимающая сила М равна )о'=Р+у ) Ро(ь. О По услови|о задачи Р+у ~ Р о)ь 1о' о Р Р Р = — = соло(, Ро откуда Р+у~ Роь= — Р. Р Ро Дифференцируя обе части Р лР Р уР= — —, или а)а=в Ро о(з ' уяо к= — (1п Р— Р уРо линиями, поскольку значения Ф откладываются в горизонтальном направлении. Напряжение в сечении равно о=уз (см. эпюру на рис.
23). Перемещение и в сечении а равно удлинению верхнего участка стержня. По формуле (1Л) Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией з. Наибольшее перемещение и ,„ име. ет нижнее торцевое сечение (а=0), этого равенства па г, получим оР— После интегрирования находим Р он.к !п С), или Р =Се Гл. 1. РАстяжвнив и сжАтив При г=б Р=Рэ, следовательно, С=Рэ, и тогда искомый закон изменения площади Р принимает вид Р=Рьет~ы1~. Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения о, которое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
