Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 9
Текст из файла (страница 9)
статичиски ииопнндилимын систнмы 47 в результате удлинений стержней меняется незначительно, получим 01ь 01ь соь а. Это и есть искомое уравнение перемещений, Вырезим удлинения через Фь) Фь( силы: 011 —, 01ь= —; тогда ЕРсоза* ЕР ' У1=Ль соз а. Решая зто уравнение совместно с уравнением равновесия, получим Р созь се Р~ 1+2созьсс' 1+2соз'а П р и м е р 1.7. Жесткая невесомая балка шарнирно закреплена в точке О и связана с двумя одинаковыми упругими тягами (рис.
31, а). Определить усилия, возникающие в тягах, при нагреве их на 01ь. г и Разрезаем тяги и вводим силы Ус и Фь (рис. 31, б). Далее, приравнивая ьн нулю сумму моментов сил относитель- дйа ьть но шарнира О, получим О Фьа+2йььа=О. Положим, далее, что в результате а а нагрева стержней жесткая балка по. «2 вернется и ааймет положение А'Вс т~с хт () ' ( ис. 31, б). Иа подобия треугольников АА' и ОВВ' получаем 01ь=201ь или„ согласно формуле (1.7), '-+1аб1= 2~ — +1а01) ь Рис. 31 откуда У вЂ” 2счт=ЕРабг. Решая полученное уравнение совместно о уравнением равновесия, найдем Дьс= — 1ьЕРсс01, йсь= 1ьЕРа01 Знак минус перед Ут указывает на то, что первый стер>кань не растянут, как зто предполагалось ранее, а сжат.
П р и м е р 1.8. При сборке стержневой системы (рис. 32, а) было обнаружено несоответствие длин стержней (см. узел А). Сборка была произведена путем принудительного совмещения шарниров А и С. Определить усилия в стержнях после сборки. Имеем пять стержней и, следовательно, пять искомых сил. Для узлов А н В может быть состанлено четыре уравнения равновесия, по два на каждый увел.
Следовательно, система одни раз статически не- определима. Из условий равновесия узлов А и В (рис. 32, б и в) получаем )У~= Иь= йь Ус= ьУь Мз+ 2Уь оса 30'=О. Положим, что после сборки шарнир А сместился вниз на величину ил и занял положение А', а шарнир В сместился вверх на ин (рис. 32, з и д). Тогда, очевидно, 01ь ал ьш 30', 014= — ин соз 30'. ГЛ.
Ь РАСТЯЖЯНИЯ И СЖАТИЯ 48 .Удлинение среднего стержня Д1з= Д вЂ” ил — ив. Исключая из этих выражений ил и ил, получим уравнение перемещений 2 Дгз=Д вЂ” 2Д1х+ = Д1ю р 3 Преобразуем это уравнение, выразив удлинения через силы, д ЗМг — 2йэ+Мз = — ЕР. После совместного решения уравнения перемещений с уравнениями равновесия получим А'х = А'е Л'з = 1ГЗ Д 1 Д вЂ” — А1а= 1ра=— — ЕР. 2+За' 3 1 2+3$' 3 1 Рассмотренные примеры уже дают достаточное представление о принципиальной стороне приемов, используемых при раскрытии стати- Рис. 32 чсской неопределимости.
Прочное овладение этими приемами может быть достигнуто при решении достаточно большого числа задач. Более общий метод раскрытия статической неопределимости будет рассмотрен ниже, в гл. 6. В заключение необходимо обратить внимание нз два последних примера.
В одном определялись температурные, а в другом — монтажные усилия. И те и другие могут возникать только в статически неопределимых системах. И это достаточно очевидно. Температурные и монтажные деформации принимаются в расчет только при составлении уравнений деформаций. А для статически определимых систем в этих уравнениях нет никакой надобности, $12. Напряженное и деформированное состояния при растяжении и сжатии Рассмотрим более детально особеннсстн напряженного состояния, возникающего в однородною растянутом стержне.
Определим сначала напряжения в некоторой наклонной з нь нлгп'яженнов и дефогмиговлнное состояния яэ площадке, составляющей угол а с плоскостью нормального сечения (рис. 33). Полное напряжение р на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодей- ствующая же внутренних а сил в сечении должна быть с э направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силы оР, т, е. л> с рР„=оР, я где Є— площадь косого сечения: и> е> Р„=— Рис. 33 сова ' Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке р=о соз а. Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис.
33, в), находим о„=рсоза, т„=рз(па, или о„= осозс а, 1 т = — оз1п2а. а — я Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня значения возникающих в сечении напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня. Если положить а=О, то из выражений (1.10) и (1.11) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т. е. т„= О. о„=о, При а=90', т. е. в продольных сечениях, о„=т„=О. Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям.
В этом смысле расти>кение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных друг с другом параллельных нитей. ГЛ. Ь РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Касательное напряжение т„, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 464 к оси растянутого стержни: т,„п/2 Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис. 34, а), то на его гранях АВ и СР следует приложить 4З напряжения о„и т„, определяемые выражениями (1.10) и (1.11).
На рис. 34, б эти напряжения отмечены сверху штрихом. На гранях ВСи АР напряжения определяются из техжевыражений, в которых только угол а заменяется углом сс+Ы2. Эти напряжения отмече- 40 Рис. 34 ны двумя штрихами. Таким образом, то напряженное состояние, которое пока- вано на рис. 34, б, представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе. Существенно отметить, что переход от произвольной площадки (а) к площадке (я+90') не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения т„.
Действительно, ~ 2 о з1п 2ы ~ ~ 2 11 з1п 2 (1х+ 90') ~ . Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.
Этому закону можно дать наглядное толкование. Если рассмотреть произвольно взятый элемент АВСР (рис. 34, а), то легко заметить, что, независимо от величин нормальных напряжений о' и о", касательные напряжения т' и т" должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались (рис. 34, б). Для проиавольно взятого элемента, имеющего толщину й, очевидно, что с'АВйАР т" АРЬАВ.
Р!Р. НАПРЯЖИННОЕ И ДВФОРМИРОВАННОВ СОСТОЯНИЯ Ц Таким образом, т' т'. При этом, как видно из рис. 34, б, векторы касательных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (ребра А и С), либо от общего ребра (В и Р). Закон парности касательных напряжений в самом общем виде сложного напряженного состояния будет рассмотрен еще раз в гл. 7 6 51), Теперь обратимся к анализу деформированного состояния растянутого стержня. Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис.
35). Таким образом, при растяжении ог р Г $ ! ! $ г à — — — — пег — — — Л Рис. 35 возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня, Я ап зарод е е апопер Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной, апопер рапрод> (1.12) где р — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона. Величина р характеризует свойства материала и определяется экспериментально.
Для всех металлов числовые значения р лежат в пределах 0,25-.-0,35. В дальнейшем, в гл. 7, будет показано, что для изотропного материала величина 1д вообще нв может превышать 0,5. Вернемся к рис. 34, а. Полоса удлиняется в продольном направлении и сужается в поперечном. Стороны прямоугольника АВСР, начерченного на поверхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекоснтся и превратится в параллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и ГЛ. Ь РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 0 — увеличатся. Зто изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повернутся отрезки АВ и А0, Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига.
Начнем с отрезка АВ (рис. 36). Построим на нем, как на диагонали, вспомогательный прямоугольник АКВА, стороны которого КВ и АЛ ориентированы по продольной оси Рис. 36 стержня. Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол вв, вк 4В- соз м = А и ап род соз й' В результате поперечного сужения отрезок АВ получит дополнительный угол поворота Впво . АК В з ~П ЛВ попер Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ: в„= (еп,„+ зп,п„) з!п и соз а, или в„= —,(1+ )д) з1п 2и. Изменяя угол сд на 90', найдем угол поворота отрезка А0 (рис. 34, а): 0 ее.|- оо зй(1 + о".) з(п 2м' Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно, а Та= дра рдпеоо'= — (1+9) з1п2ех.
Е э пь испытании митегиллов Сопоставляя выражение у„с выражением (1.1!), выведенным для напряжения т„, замечаем, что угол сдвига между плоскостями АВ и АС независимо от а пропорционален касательному напряжению, т. е. 2(!+и) уа= и та Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гуно для сдвига. Опуская индекс а, напишем последнее выражение в виде 7 (1.13) где величина О называется модулем сдвига или модулем упругости вп|орого рода: (1.14) Модуль б измеряется в тех же единицах, что и модуль Е. Таким образом, если закон Гука для растяжения постулируется при помощи соотношений (1.4) и (1.12), то для сдвига он вытекает из них как следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
