Учебник - Физика плазмы для физиков - Арцимович Л.А. (1239321), страница 69
Текст из файла (страница 69)
$ 2.6). В набор величин, определяющих плазму и поля, входят: п, Н, и« (скорость плазмы в направлении распространения волны, т. е. по оси х), иэ (скорость электронов, переносящих ток), Е« (напряженность электрического поля вдоль оси у). Поле Е, можно исключить, пользуясь условием квазинейтральности. В системе отсчета, где фронт волны покоится, для этих пяти неизвестных имеется пять уравнений; 1) уравнение сохранения потока частиц; 2) уравнение сохранения потока импульса; 3) уравнение движения электронов в направлении переноса электрического тока — по оси у; 4) и 5) уравнения Максвелла для соответствующих компонент го( Е и го( Н. Исходную систему после несложных преобразований можно свести к дифференциальному уравнению второго порядка для одной из переменных, например Н.
Выпишем зти уравнения с учетом сделанных приближений; 293 (д/г(х) пи=О; (с((с(х) (Мпи')2+Н'/6н)=0; (2.369) тпи(с(и„|г(х) = — епЕ„+ (е(с) пиН вЂ” ттпи; г)Ец(г(х = 0; г(Н) г(х= (4япе(с) иа. Последний член в правой части уравнения движения для электронов соответствует силе трения электронного газа об ионный. Исключая из этих уравнений все переменные, кроме Н, можно получить одно уравнение второго порядка для Н. Если на время не учитывать вклад силы трения, это уравнение примет вид (с точностью до членов с т,/тг) тс' ггх [ ох (акп,трое ф ) ~ (8япатгоф ф ) = (8 "— оф ) Н+ ифНа' (2.370) 4яп,е'оф Это уравнение определяет профиль изменения Н в исследуемой установившейся волне. Интегрируя один раз, приведем его к виду ° Н вЂ” Не, (Н вЂ” Н ) !бялатго ф (Н Нр) — а'Н" — пф) =- +С; 8кгготгоф ~ запилг (2.
37! ) (здесь аз=т,с94ппеез=се/гоар,). В зависимости от выбора константы интегрирования С мы получаем различные решения. Удобно проследить за характером решений в зависимости от С, построив (рис. 2.67) интегральные кривые на фазовой плоскости (Н, Н'), Решения уравнения (2.371) должНр ны описывать периодические волны Н,„Н конечной амплятуды (кноидальные волны). Исключение составляет решение, соответствующее частному случаю С=О. Этот случай относится крещениюю типа магнитозвукового солитона. Действительно, такой выбор соответствует условию г(Н!г(х=О при Н= =Н,. При этом уравнение принимает вид + НН (и — Н,) — 02 а „вЂ”,, ' (16нп,пг,.) Х Х )/ 1бкп,тго'ф — (Н+Н,)' . (2.372) Рис.
2.67. Фазовые кривые для нелинейных магнигозвуковых волн Если выбрать определенный знак перед корнем в равенстве (2.372), то получим, что нельзя построить физически разумное решение для Н на всей оси х. Однако существуют решения всюду 294 непрерывные (до второй производной включительно), в которых при некоторых х=х, производная Н' меняет знак. В этой точке Н достигает своего максимального значения Н зх Уравнение (с/Н/с(х) (х1)=0 связывает амплитуду магнитного поля Н а»со скоростью распространения волны и играет роль, аналогичную дисперсионному уравнению ! 6ппзтзозф — (Низах+Нз) з=0. (2.373) Отсюда находим для скорости солитона и ф=(Нзвзх+Нз) ~/16зспзто (2.374) В предельном случае малых амплитуд (Н, — вНз) находим скорость магнитного звука.
Характерный пространственный масштаб солитона 6 -с/зз„„ что соответствует длинам волн, при которых появляется дисперсия фгзовой скорости. Простое аналитическое выражение для профиля магнитного поля в уединенной волне легко получить для малых амплитуд (Н,х — На<Но). Оно имеет вид (2.375) На рис. 2.68 показаны профили солитона для различных значений числа Маха М=иф(Н,/) '4чвп,тс) Решение солитонного типа исчезает при достаточно больших оф и Н.
Критической является амплитуда Н „,=ЗН, (т. е. оф= =2Нз/1Г4япзтз). При приближении амплитуды волны к критической плотность ионов на гребне волны стремится к бесконечности. Физически это означает следующее. Уединенная волна представля- М=з ет собой «горб» электрического потенциала ~р. В си- Л л с волной, поток ионов из х=оо набегает на этот потенциальный барьер со ско- и л ф р ростью о .
При не слишком Рис. 2.68. Профили нагнитозвуховых соли- больших амплитудах на- тонов длн различных чисел Маха чальная кинетическая энергия иона т,о'ф/2 превышает высоту потенциального барьера е~р „, и ионы, несколько задержавшись, переваливают через него. Однако, как следует из решения, с ростом амплитуды волны потенциальный барьер становится настолько высоким, что есртзх>газо'ф/2.
Момент в~ртах — тгазф/2 соответствует амплитуде Нм с 3Нз (иначе говоря, критическое число Маха равно двум). На гребне такой 298 волны ионы, потеряв скорость, «останавливаются», а их плотность возрастает до бесконечности. При еще больших амплитудах ионы просто «отражались» бы от барьера, но соответствующее такой картине движение уже не описгявается в рамках рассмотренной исходной системы уравнений, так как после отражения течение становится «многопотоковым» (взаимопроиикающие потоки набегающих и отоаженных ионов). Таким образом, видим, что, как и для ионно-звуковых волн (см.
5 1.20), эффекты дисперсии не могут остановить «опрокидывание» магнитного звука с достаточно большой амплитудой в холодной плазме. Рис. 2.б9. Эффективная потенпиал»ная яна итя >пгнитоавуковых солитонов и уларнои волны Если бы мы учли тепловой разброс скоростей ионов, то даже при малых амплитудах волны могли бы найтись ионы, отражающиеся от барьера (это ионы с малой относительной скоростью а,» — о„), т.
е. двигавшиеся первоначально в направлении распространения волны со скоростью, близкой к ое, их можно назвать резонансными. Они дают лишь один из возможных механизмов диссипации, который мал, если мало число резонансных ионов. Другой механизм диссипации дает сила трения электронов об ионы. Для волн небольшой амплитуды анализ можно упростить и посмотреть, к чему приводит диссипация. Вместо (2.370) в этом случае имеем Ванин>о я> оа Рассуждая, как и в 5 !.20, видим, что уравнение (2.376) представляет собой уравнение движения ангармонического осциллятора при наличии трения, роль обобщенной координаты здесь играет Н, роль времени х.
Форма ямы определяется потенциалом Г(Н)=(1(2) (Н вЂ” Но)г "1(Н+Но)г(16ппоттига> — 11 (2.377) 29Б На рис. 2.69 изображен вид функции )г(Н). При Н =Н« = — Н,~2+)/ Ь«п,гпго ф+ Н,]4 Н достигает минимума. Аналогия с осциллятором легко позволяет установить профиль Н внутри фронта ударной волны; Н осциллирует вокруг значения Нв с затухающей амплитудой до тех пор, пока не установится Н=Н', соответствующее магнитному полю позади фронта ударной волны. Для того чтобы Но соответствовало минимуму магнитного поля в волне, т. е.
чтобы )У(Н) имело вид, изображенный на рис. 2.69, необходимо, чтобы выполнялось условие о'ф>Нас(4ппать Профиль изменения Н внутри фронта волны можно представить следующим образом (рис. 2.70). Сначала в невозмущенной плазме появляется солитон, на гребне которого магнитное поле достигает максимального значения; вследствие наличия необратимой диссипации (трение или резонансные ионы) состояние плазмы после прохождения такой волны будет отличаться от исходного. На расстоянии порядка 6 = (а/) М вЂ” 1) 1п](оф/ та) )ГЛ~ — 1] (2.378) (число Маха М=оф/ал) вслед за первой волной движется вторая волна и т.
д. Если не интересоваться тонкой структурой осцилляций во фронте ударной волны и усреднить магнитное РЮХ поле по расстояниям, превышающим 6, то можно гозорить о 6 как об эффективной толщине фронта ударной волны, связываю- ! щей. два состояния плазмы: невозмушенной (до прихода Р Рнс. 9.79. Осцнлляторная структура ыагнн- дулированиой интенсивны- тоавуковой ударной волны ми колебаниями), вклад которых при таком подходе нужно включить в законы сохранения на «разрыве». В этом смысле роль затухания действительно часто символическая, так как в выражение для 6 (2.378) (ширина такой ударной волны) затухание входит под знаком логарифма.
Картина затухания нелинейных осцилляций позади фронта ударной волны имеет следуюший характер. В последующих «уединенных» волнах амплитуда все уменьшается и расстояние между двумя соседними «возвышениями» магнитного поля сокращается до аД'М вЂ” 1, когда совокупность возвышений и впадин становится затухающей синусоидой. Полная длина затухания осцилляций бУдет поРЯдка оф/т или ]У(На(8ппТ)(т,(гпа)7, ()с †дли свободного пробега электронов). При достаточно большой силе трения (частота столкновений т) 997 характер решения уравнения (2.376) полностью меняется.
~тат случай в бесстолкновительной плазме очень важен при аномальном сопротивлении. До сих пор мы считали затухание [последний член в уравнении (2.376)) малым. В противоположность этому случаю при с/сов,«стет,т/4ппе'пф можно пренебречь дисперсией, т. е. членом со второй производной в (2.376). Толщина фронта ударной волны тогда дается выражением Л са/4пппф (М вЂ” 1) . (2.379) Конкретную величину й получим, если для а воспользуемся выражением из теории аномального сопротивления при ионно-звуковой неустойчивости. До сих пор речь шла о структуре волны, распространяющейся строго поперек магнитного поля. Нетрудно обобщить предыдущее рассмотрение на случай волн, не перпендикулярных к Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
